第六章信号与系统的时域和频域特性
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x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
1. 由 x(t) 得出 X ( j)。
2. 根据系统的描述求出 H ( j) 。 3. 由Y ( j) X ( j)H ( j) 求出Y ( j) 。 4. 做反变换，求出 y(t) 。
表征系统时，一般都限于对稳定系统。
• 对于由 h(t) 描述的系统： 直接对 h(t) 做傅里叶变换即可得到 H ( j)。
当系统互联时，很容易得出：
系统级联时，频率响应相乘；系统并联时，频率
响应相加。 H1( j) h1(t)
H2 ( j)
h2 (t)
H2( j) +
H1( j)
H ( j) H1( j)H2 ( j) H ( j) H1( j) H2 ( j)
则
x1(t) x2(t)
1
2
X1( j) X2( j)
两个信号在时域相乘，可以看成是用一个信号控
制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。通常把被
控制信号称为载波，把控制信号称为调制信号。
例：若 x(t) X ( j)
由于 cos0t ( 0) ( 0)
卷积特性的存在，使我们对LTI系统在频域进行分 析成为可能。从本质上说，卷积特性之所以成立,正 是因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。
时域积分特性的证明：
t
x( )d x(t) u(t)
由卷积特性有：
t
x( )d X ( j)U ( j)
U ( j) 1 ()
二. 系统的频率响应：
由于 h(t) 的傅氏变换 H ( j) 就是频率为 的复指
数信号 e jt通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称其为系统的频率响应。
鉴于 h(t)与 H ( j) 是一一对应的，因而LTI系统也
可以由其频率响应来完全表征。 并非任何系统的 H ( j) 都存在，因此用频率响应
叶变换来表示。在涉及信号通过LTI系统时, 会给分 析带来不便。但周期信号不满足傅里叶变换的收敛条
件,不能直接从定义出发，建立其傅里叶变换表示。
考查 X ( j) 2 ( 0 ) 所对应的信号
x(t) 1
2
X ( j)e jt d
(
0
1
X ( j) 1
T0 2
t
T0 2 2 0 2 T0 2
0 2
T0
4.6 连续时间傅里叶变换的性质：
（ Properties of the Continuous-Time Fourier Transform）
讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这
些性质来揭示信号的时域特性与频域特性之间的
T k
T
例4：周期性矩形脉冲：
前面已知周期性矩形脉冲信号的傅立叶级数系数为：
Ak
T0
Sa(k0
2)
T0
sin(k0 2) sin(k0
k0 2
k
2)
2sin( k )
X ( j) k
T0 ( 2 k)
k
T0
x(t)
所以 X * ( j) x*(t)e jtdt
即 x*(t) X *( j) 1 若 x(t)是实信号,则 x(t) x*(t)
于是有: X ( j) X *( j) 或 X ( j) X ( j)
•若X ( j) Re[X ( j)] j Im[X ( j)]则可得
2 0 2 TT
Ak
1 T
T /2
j 2 kt
(t)e T dt
1
T / 2
T
T / 2 (t)dt 1
T / 2
T
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
x(t) (t nT ) n
X ( j) 2 ( 2 k)
所以
x(t) cos 0t
1
2
X ( j) ( 0) ( 0)
1
2
X
(
j
)
(
0
)
(
0 )d
1 2
X
(
j(
0
))
X
(
j(
0 ))
X ( j)
M
M
C( j)
0
0
0 M 0 0 M
Xc ( j)
0 M 0 0 M
4.7 连续时间LTI系统的频域分析:
( Analysis for the Continuous-Time LTI Systems in Frequency-Domain ) 一. LTI系统的频域分析:
由时域分析法: y(t) x(t) h(t)
W /2
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
例如：可以从时移特性得到移频特性。
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
由时移特性有
X ( j(t t0 )) 2 x()e jt0
再次对偶得
2 x(t)e j0t 2 X ( j( 0 ))
2 如果 x(t) x(t)即信号是偶函数，则
X ( j) x(t)e jt dt
x(t)e jtdt x( )e j d X ( j)
表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数。
又因为 X ( j) X *( j) 所以有：
X ( jt) x()e jtd 1 2 x()e jtd 2
X ( jt) 2 x()
这就是傅里叶变换的对偶性。
x(t)
1
t
2 0 2
X ( jt)
X ( j)
2
0
2 x()
2
t
0
2
W 0
j
X
(Байду номын сангаас
j)U
(
j)
X
(
j)
1 j
()
于是有：
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——这就是时域积分性质
9. 调制特性:( Modulation Property )
若 x1(t) X1( j)
x2 (t) X 2 ( j)
)e
jt
d
e j0t
(
0
)d
e
j0t
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
若 x(t) e jk0t，则 X ( j) 2 ( k0 )
于是当周期信号表示为傅里叶级数时：
x(t)
A e jk0t k
k
X ( j) 2 Ak ( k0 ) k
这表明：信号的时移只影响它的相频特性，其相 频特性会增加一个线性的相移。
3. 共轭对称性: (Conjugate and Symmetry)
若 x(t) X ( j)
则
x*(t) X *( j)
由 X ( j) x(t)e jtdt
X *( j) x*(t)e jtdt
• 对由LCCDE描述的LTI系统：
N
ak
k 0
d k y(t) dt k
N
bk
k 0
d k x(t) dt k
对LCCDE两边进行傅里叶变换有：
N
N
ak ( j)k Y ( j) bk ( j)k X ( j)
6. 对偶性:（Duality）
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
由 X ( j) x(t)e jtdt
将式中的变量 与 t 交换，可得：
X ( jt) x()e jtd
将上式中的 换成 有：
这表明：周期信号的傅里叶变换由频域的一系列
冲激组成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频
率处,其强度正比于傅里叶级数的系数 Ak 。
例1：x(t)
Sin
0t
1 2j
[e
j0t
e
j0t
]
X
(
j)
j
[
(
0
)
(
0
)]
X ( j)
j
0
0
0
j
例2：x(t)
Re[X ( j)] Re[X ( j)] 即实部是偶函数 Im[X ( j)] Im[X ( j)] 虚部是奇函数
•若 X ( j) X ( j) e j X ( j) 则可得出
X ( j) X ( j)
X ( j) X ( j)
即:模是偶函数，相位是奇函数。
利用时域积分特性，从 (t) 1 ，也可得到: u(t) () 1
j
5. 时域和频域的尺度变换：（Scaling）
若 x(t) X ( j) 则： x(at) 1 X ( j )
a
a
特例:当 a 1 时,有 x(t) X ( j)
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍, 则其频谱相应地压缩a倍，反之亦然。这从理论上 证明了信号特性在时域与频域存在着相反关系， 也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。
关系。同时，掌握和运用这些性质可以简化傅里
叶变换对的求取。
1. 线性:（Linearity）
若 x(t) X ( j), y(t) Y ( j) 则 ax(t) by(t) aX ( j) bY ( j)
2. 时移:（Time Shifting）
若 x(t) X ( j) 则 x(t t0 ) X ( j)e jt0
X ( j) X *( j) 表明：X ( j)是实函数。
3 若 x(t) x(t)即信号是奇函数，可以得出：
X ( j) X ( j) 表明：X ( j) 是奇函数
X ( j) X *( j) 表明：X ( j) 是虚函数
4 若x(t) xe (t) xo (t) 则有
对傅里叶级数而言，Parseval定理表现为：
1
T0
|
T0
x(t) |2dt
|
k
Ak
|2
| Ak |2被称为功率谱
8. 卷积特性：（Convolution Property）
若 x(t) X ( j)
h(t) H ( j)
则 x(t)*h(t) X ( j)H ( j)
X ( j) X e ( j) jX o ( j) 其中
xe (t) X e ( j)
xo (t) jX o ( j) 即有
X e ( j) Re[ X ( j)] Xo ( j) Im[ X ( j)]
4. 时域微分与积分：（Differential & Integral ）
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
1. 由 x(t) 得出 X ( j)。
2. 根据系统的描述求出 H ( j) 。 3. 由Y ( j) X ( j)H ( j) 求出Y ( j) 。 4. 做反变换，求出 y(t) 。
表征系统时，一般都限于对稳定系统。
• 对于由 h(t) 描述的系统： 直接对 h(t) 做傅里叶变换即可得到 H ( j)。
当系统互联时，很容易得出：
系统级联时，频率响应相乘；系统并联时，频率
响应相加。 H1( j) h1(t)
H2 ( j)
h2 (t)
H2( j) +
H1( j)
H ( j) H1( j)H2 ( j) H ( j) H1( j) H2 ( j)
则
x1(t) x2(t)
1
2
X1( j) X2( j)
两个信号在时域相乘，可以看成是用一个信号控
制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。通常把被
控制信号称为载波，把控制信号称为调制信号。
例：若 x(t) X ( j)
由于 cos0t ( 0) ( 0)
卷积特性的存在，使我们对LTI系统在频域进行分 析成为可能。从本质上说，卷积特性之所以成立,正 是因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。
时域积分特性的证明：
t
x( )d x(t) u(t)
由卷积特性有：
t
x( )d X ( j)U ( j)
U ( j) 1 ()
二. 系统的频率响应：
由于 h(t) 的傅氏变换 H ( j) 就是频率为 的复指
数信号 e jt通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称其为系统的频率响应。
鉴于 h(t)与 H ( j) 是一一对应的，因而LTI系统也
可以由其频率响应来完全表征。 并非任何系统的 H ( j) 都存在，因此用频率响应
叶变换来表示。在涉及信号通过LTI系统时, 会给分 析带来不便。但周期信号不满足傅里叶变换的收敛条
件,不能直接从定义出发，建立其傅里叶变换表示。
考查 X ( j) 2 ( 0 ) 所对应的信号
x(t) 1
2
X ( j)e jt d
(
0
1
X ( j) 1
T0 2
t
T0 2 2 0 2 T0 2
0 2
T0
4.6 连续时间傅里叶变换的性质：
（ Properties of the Continuous-Time Fourier Transform）
讨论连续时间傅里叶变换的性质，旨在通过这
些性质来揭示信号的时域特性与频域特性之间的
T k
T
例4：周期性矩形脉冲：
前面已知周期性矩形脉冲信号的傅立叶级数系数为：
Ak
T0
Sa(k0
2)
T0
sin(k0 2) sin(k0
k0 2
k
2)
2sin( k )
X ( j) k
T0 ( 2 k)
k
T0
x(t)
所以 X * ( j) x*(t)e jtdt
即 x*(t) X *( j) 1 若 x(t)是实信号,则 x(t) x*(t)
于是有: X ( j) X *( j) 或 X ( j) X ( j)
•若X ( j) Re[X ( j)] j Im[X ( j)]则可得
2 0 2 TT
Ak
1 T
T /2
j 2 kt
(t)e T dt
1
T / 2
T
T / 2 (t)dt 1
T / 2
T
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
x(t) (t nT ) n
X ( j) 2 ( 2 k)
所以
x(t) cos 0t
1
2
X ( j) ( 0) ( 0)
1
2
X
(
j
)
(
0
)
(
0 )d
1 2
X
(
j(
0
))
X
(
j(
0 ))
X ( j)
M
M
C( j)
0
0
0 M 0 0 M
Xc ( j)
0 M 0 0 M
4.7 连续时间LTI系统的频域分析:
( Analysis for the Continuous-Time LTI Systems in Frequency-Domain ) 一. LTI系统的频域分析:
由时域分析法: y(t) x(t) h(t)
W /2
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域。
例如：可以从时移特性得到移频特性。
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
由时移特性有
X ( j(t t0 )) 2 x()e jt0
再次对偶得
2 x(t)e j0t 2 X ( j( 0 ))
2 如果 x(t) x(t)即信号是偶函数，则
X ( j) x(t)e jt dt
x(t)e jtdt x( )e j d X ( j)
表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数。
又因为 X ( j) X *( j) 所以有：
X ( jt) x()e jtd 1 2 x()e jtd 2
X ( jt) 2 x()
这就是傅里叶变换的对偶性。
x(t)
1
t
2 0 2
X ( jt)
X ( j)
2
0
2 x()
2
t
0
2
W 0
j
X
(Байду номын сангаас
j)U
(
j)
X
(
j)
1 j
()
于是有：
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——这就是时域积分性质
9. 调制特性:( Modulation Property )
若 x1(t) X1( j)
x2 (t) X 2 ( j)
)e
jt
d
e j0t
(
0
)d
e
j0t
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
若 x(t) e jk0t，则 X ( j) 2 ( k0 )
于是当周期信号表示为傅里叶级数时：
x(t)
A e jk0t k
k
X ( j) 2 Ak ( k0 ) k
这表明：信号的时移只影响它的相频特性，其相 频特性会增加一个线性的相移。
3. 共轭对称性: (Conjugate and Symmetry)
若 x(t) X ( j)
则
x*(t) X *( j)
由 X ( j) x(t)e jtdt
X *( j) x*(t)e jtdt
• 对由LCCDE描述的LTI系统：
N
ak
k 0
d k y(t) dt k
N
bk
k 0
d k x(t) dt k
对LCCDE两边进行傅里叶变换有：
N
N
ak ( j)k Y ( j) bk ( j)k X ( j)
6. 对偶性:（Duality）
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
由 X ( j) x(t)e jtdt
将式中的变量 与 t 交换，可得：
X ( jt) x()e jtd
将上式中的 换成 有：
这表明：周期信号的傅里叶变换由频域的一系列
冲激组成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频
率处,其强度正比于傅里叶级数的系数 Ak 。
例1：x(t)
Sin
0t
1 2j
[e
j0t
e
j0t
]
X
(
j)
j
[
(
0
)
(
0
)]
X ( j)
j
0
0
0
j
例2：x(t)
Re[X ( j)] Re[X ( j)] 即实部是偶函数 Im[X ( j)] Im[X ( j)] 虚部是奇函数
•若 X ( j) X ( j) e j X ( j) 则可得出
X ( j) X ( j)
X ( j) X ( j)
即:模是偶函数，相位是奇函数。
利用时域积分特性，从 (t) 1 ，也可得到: u(t) () 1
j
5. 时域和频域的尺度变换：（Scaling）
若 x(t) X ( j) 则： x(at) 1 X ( j )
a
a
特例:当 a 1 时,有 x(t) X ( j)
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍, 则其频谱相应地压缩a倍，反之亦然。这从理论上 证明了信号特性在时域与频域存在着相反关系， 也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。
关系。同时，掌握和运用这些性质可以简化傅里
叶变换对的求取。
1. 线性:（Linearity）
若 x(t) X ( j), y(t) Y ( j) 则 ax(t) by(t) aX ( j) bY ( j)
2. 时移:（Time Shifting）
若 x(t) X ( j) 则 x(t t0 ) X ( j)e jt0
X ( j) X *( j) 表明：X ( j)是实函数。
3 若 x(t) x(t)即信号是奇函数，可以得出：
X ( j) X ( j) 表明：X ( j) 是奇函数
X ( j) X *( j) 表明：X ( j) 是虚函数
4 若x(t) xe (t) xo (t) 则有
对傅里叶级数而言，Parseval定理表现为：
1
T0
|
T0
x(t) |2dt
|
k
Ak
|2
| Ak |2被称为功率谱
8. 卷积特性：（Convolution Property）
若 x(t) X ( j)
h(t) H ( j)
则 x(t)*h(t) X ( j)H ( j)
X ( j) X e ( j) jX o ( j) 其中
xe (t) X e ( j)
xo (t) jX o ( j) 即有
X e ( j) Re[ X ( j)] Xo ( j) Im[ X ( j)]
4. 时域微分与积分：（Differential & Integral ）