线性代数与空间解析几何试题

20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）
一. 填空题（每小题3分，共15分）
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B ，则行列式=AB .
2．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .
3．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1
A
4．设3阶方阵A 的三个特征值分别为1、2、3，又方阵E A A B +-=22，则方阵B 的特征值为.
5．若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012为正定矩阵，则a 的取值范围是.
二. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1． 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件【 】
(A)A 的行向量组线性相关; (B) A 的列向量组线性相关;
(C) A 的行向量中有一个为零向量; (D)A 为方阵且其行列式为零.
2． 设n 维行向量)2
1,0,,0,21( =α，矩阵ααT -=I A ，ααT 2+=I B ，其中I 为 n 阶单位阵，则=AB 【 】
(A) 0； (B)I -； (C)I ； (D) ααT +I .
3． 设321,,ααα是齐次方程组0=Ax 的基础解系，则下列向量组中也可作为0=Ax 的基础解系的是【 】
(A)32132212,,ααααααα++++; (B) 133221,,αααααα-++;
(C) ;(D) .
4． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】 (A) 2； (B) ； (C) 1； (D).
5． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是.【 】
(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；
(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.
321211,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21111
11
11321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =
三. (10分)已知方阵，试求行列式及逆矩阵. 四.（10分）设方阵，已知，求.
五. (12分)讨论为何值时，方程组
（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.
六.(10分)设向量组：，，，，
试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.
七. (12分)用正交变换化二次型为标准型，
并求出所用的正交变换及的标准型.
八. (8分)已知3阶方阵满足：，，其中为元素的代
数余子式，求
九.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：
向量组的秩为3.
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000011202310216A ||A 1-A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310120002A BA A ABA +=26B λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321
321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=f )(ij a A =ij ij A a =011≠a ij A ij a .||A 321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+
20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设矩阵，，则行列式.
2．设，若3阶非零方阵满足，则.
3．齐次线性方程组的基础解系为_. 4．曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为. 5．若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.
二. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1． 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【 】
(A)的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;
(C) 的行向量中有一个为零向量; (D)为方阵且其行列式为零.
2． 设维行向量，矩阵，，其中为阶单位阵，则【 】
(A) 0； (B)；(C)； (D) .
3． 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【 】
(A); (B) ;
(C) ;(D) .
6． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】
(A) 2； (B) ； (C) 1； (D).
7． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是【 】
(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；
(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B =AB ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211B 0=AB =t ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000201421321x x x ⎩
⎨⎧≤≤==)31( 0x z e x y
ox ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012a 0=Ax A A A A n )2
1,0,,0,21( =αααT -=I A ααT 2+=I B I n =AB I -I ααT +I 321,,ααα0=Ax 0=Ax 32132212,,ααααααα++++133221,,αααααα-++133221,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =
三. (10分)已知3阶方阵可逆且，试求的伴随矩阵的逆矩阵.
四.（12分）证明直线与直线在同一平面上，并求与交点的坐标，及平面的方程.
五. (12分)设向量，，，
，，问取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.
六.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：
向量组的秩为3.
七. (10分)已知方阵的特征值为
（1） 求的值；
（2） 是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵及对角矩阵，使得
.
一. (12分)用正交变换化二次型
为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型
九. 证明题（6分）（两题中选做一题）
1． 设3维欧几里德有两个标准正交基，.已知可
由线性表示为，试证：矩阵为正交矩阵. 2． 设为阶方阵，表示矩阵的秩，试证：
A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3330221011A A 112131:1+=+=+z y x L 2
43514:2-=-+=-z y x L π1L 2L πT 1)4 ,2 ,1 ,1(-=αT 2)2 ,3 ,1 ,0(=αT 3)14 ,10 ,2 ,3(+-=a αT 4)5 ,2 ,1 ,1(+-=a αT )10 ,6 ,1 ,2(+-=b βb a ,β4321,,,αααα321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3000201a b A .0,3321===λλλb a ,A P D D AP P =-1323121232221321828878),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=f V 321,,)I (ααα321,,)II (βββ)II ()I (⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
33223113333222211223312211111αααβαααβαααβa a a a a a a a a 33)(⨯=ij a A A n )(A R A ).()(1+=n n A R A R
20XX 年线性代数与空间解析几何试题（C ）
一. 填空题（每小题3分，共30分）
1. 已知3阶方阵的行列式，则行列式.
2. 已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行 列式，则行列式.
3. 已知阶方阵，满足，为单位阵，则.
4．设矩阵，为的伴随阵，则_____.
5．设，若3阶非零方阵满足，则____.
6. 设向量组：，，线性相关，则___.
7.设是维向量，令，，，则 向量组的线性相关性是.
8. 设为的矩阵且秩为2，又3维向量是方程组的两个 不等的解，则对应的齐次方程组的通解为.
9. 设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵必有一个特征值为.
10. 若二次型为正定二次型，则
的取值范围是______________.
二. (8分)已知方阵，试求行列式. 三.(12分)设方阵，又已知，求
以及.
四. (12分)讨论为何值时，方程组
(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解. 五.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.
六. (12分)用正交变换化二次型为标准型，
并求出所用的正交变换及的标准型.
A 0||≠=a A =-|2|A ),,(321βββ=
B 321,,βββB 2||-=B =-|,3,2|1213ββββn A 02=--E A A E =-1A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A *A A =-*1)(A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A B 0=AB =t T 1)0,0,1(=αT 2)4,2,0(=αT 3),3,1(t -=α=t 21,ααn 1212ααβ-=211ααβ+=211ααβ-=321,,βββA 34⨯21,ηηb Ax =0=Ax A 12)(-A 212322213212)1(2),,(x x x x x x x x f --++=λλλ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=y x x x x x y x x x x x y x x x x x y x A 322||A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200010002,100011021B A BA AX =X A ,1-5X λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321
321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α32232221321222),,(x x x x x x x x f +++=f
七. (8分)设方阵为阶正交阵且，为阶单位阵，试求行列式
八.(8分)设两向量组：，
的秩为，证明：可由向量组线性表出.
A n 0||<A E n .||E A +321,,)I (ααα4321,,,)II (αααα3)II ()I (==r r 4α321,,ααα
20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）
符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；T
A 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 若3阶方阵A 、B 的行列式分别为3)det(,2)det(==B A ，
则=--)2det(*1B A __________.
(2) 设4阶可逆方阵A 按列分块为][4321αααα =A ，方阵][2314αααα =B ，
已知线性方程组b Bx =有唯一解为T ) , , 753,1(=x ，则方程组b Ax =的解为x =__________ .
(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,221-===3 λλλ，T )3,2,1(1=α及
T )4,3,2(2=α均为A 的对应于特征值2的特征向量，则A 的对应于特征值1-的特征值向量为_________________.
(4) 设矩阵A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301,22310321b t p ，已知线性方程组b Ax =无解，则常数
p 与t 满足的关系式是____________.
二、单项选择题(每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为m ，n m ⨯矩阵B 的秩为s ，则
(A) (r AB s <). (B) (r AB s >).
(C) (r AB s =). (D) (r AB n >). 【 】
(2) 设方阵A 与B 相似，即存在可逆方阵P ，使B AP P =-1，已知ξ为A 的对
应于特征值λ的特征向量，则B 的对应于特征值λ的特征向量为
(A) ξP . (B) ξT P . (C) ξ. (D)
ξ1-P . 【 】 (3) 设A 为实对称矩阵，则0)det(>A 是A 为正定矩阵的
(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】
(4) 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则向量组
(A) 133221 , , αααααα+++不能作为0=Ax 的基础解系.
(B) 133221 , ,αααααα++-可作为0=Ax 的基础解系.
(C) 133221 , , αααααα--+可作为0=Ax 的基础解系.
(D) 132121 , , αααααα++-不能作为0=Ax 的基础解系. 【 】
三、(12分) 已知方阵=A 33)(⨯ij a 的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，
且知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=524735947*A ，求)det(A 及A . 四、（12分）设有向量组(I)：T 1)5 ,3 ,1 ,2(-=α，T 2)4,3 ,2 ,3(-=α，T 3)3,1,3 ,4(-=α，
T 4)17 ,15 ,1 ,4(-=α.问向量T )0 ,7 ,6 ,7(-=β能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.
五、（12分）求直线L ：z y x -==-11在平面π：12=+-z y x 上的投影直线0l （即L 上各点在π上的垂足点全体所形成的直线）的方程.
六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a b 32132143214321相似于对角矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010D . (1) 求常数a 、b 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使D AP P =-1.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=化成
标准形，并指出二次曲面0),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=101013A ，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=62734A . 证明：元素组321,,A A A 线性无关，而4321,,,A A A A 线性相关，并指出数域F 上
线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.
2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为() )()1()(x f x f x f T -+=,3]F[)( x x f ∈∀ 求T 在3]F[x 的基：32 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度.
九、（6分）设n 阶方阵A 的秩为1-n . 证明：A 的伴随矩阵*
A 相似于对角矩阵
的充要条件是02211≠+++nn A A A ，其中ii A 为)det(A 的),(i i 元素的代数余子式.
20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）
符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；T
A 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 若3阶方阵A 的行列式为2)det(=A ，则1*det(2)A A --=________.
(2) 设A 为43⨯的矩阵，秩3)(=A r ，已知方程组b Ax =有两个不等的特解21,ηη，
则方程组0=Ax 的通解为x =__________ .
(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ，又T )0,0,2(1=α为A 的
对应于特征值1的特征向量，则A 为_________________.
(4) 设A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t 22310321，已知非零矩阵B 满足0=AB ，则t =_________.
二、单项选择题(每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为2-m ，则矩阵*A 的秩为
(A) 2-m . (B)2. (C) 1. (D) 0. 【 】
(2) 设三阶方阵A 可逆，且各行元素之和均为2，则A 必有特征值
(A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】
(3) 2=a 是T 3T 2T 1),2,2,1( ,,0)(1,0, ,(1,1,-1,1)a a ===ααα线性无关的
(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】
(4) 设A 为n m ⨯矩阵且n m <，则下述结论正确的是
(A) )0(≠=b b Ax 必有解. (B) 0=Ax 必有无穷多组解.
(C) 0=Ax 只有零解. (D) )0(≠=b b Ax 必无解. 【 】
三、(12分) 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000001,410530602B A ，又三阶方阵X 满足
X AB B XA +=+，求101X .
四、（12分）已知方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=+++=+++122242432143214321x x x x ax x x x b x x x x ，讨论b a ,为何值时方程组
（1） 有解？（2）无解？并在有解时求出其通解.
五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程.
六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡210012003204321t 可以相似于对角矩阵， (1) 求常数t 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=化
成标准形，并指出二次曲面1),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=70113A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12314A . 试求数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.。