【解析分类汇编系列二北京2013(一模)数学理】7立体几何Word版含答案

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何
1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视
图如图所示，则这个几何体的体积为
A. 4
B.
C.
D. 8 【答案】D
由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的
边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为
1
22482
⨯⨯⨯=。

2．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．
正确的是 （ ）
A ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β
B ．若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n
C ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥n
D ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】C
C 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。

3.（2013届北京海淀一模理科）
设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：
①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；
③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是
（ ）
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．②③
【答案】B
我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出
此时 BC ＜AB=AC ．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC （这是可以做到的，只要 A 、B 的速度满足一定关系），而当A 、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角 A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC 成为直角三角形（而且还是等腰
的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示为方
便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设 A 是⊤，那么由 AD ⊥AB ，AD ⊥AC 知 L 3⊥△ABC ，从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB ⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；假设 C 是⊤，那么由 BC ⊥CA ，BC ⊥CD 知 BC ⊥△CAD ，而 l 1∥△CAD ，故 BC ⊥l 1，从而 BC 为 l 1与 l 2 的距离，于是 EF ∥BC ，EF=BC ，这样就得到 EF ⊥FG ，矛盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i （i=1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
4．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最
大的面积是
（ ）
A ．2
B ．22
C ．3
D ．32
【答案】D
将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为11D BD C -,由直观图可知，最大的面为1BDC .在等边三角形1BDC 中
，BD =,所以面
积
212S =⨯=，选
D.
5．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长
为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）
A
．6+B
．12
．12+D
．24+【答案】C
由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2
，所以底面积为21222⨯
⨯=，（7题图）
侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是12+，选C.
6．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上
的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是
（ ）
A ．线段
B ．圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
【答案】A
连接1A P ，由题意知1,A A A P ⊥因为1P E A C
⊥，且P A P E
=，所以11A AP A EP ∆≅∆,所以11=A A A E ，即E 为定点。

因为PA PE =所以点P 位于线段AE 的中垂面上，又点P 在底面ABCD 上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即
点P 的轨迹是线段。

选A.
7．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，
最大的是（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．
【答案】C
由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱AD 垂直底的三棱锥。

其中
4,4,3A D B D E C ===,取
BC
的中点F ，则
23)27A ==ABC ∆的面积为1
42
⨯⨯=
选C.
8．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A ．
21B ．13C ．6
5
D ．1 【答案】C
由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，
其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为111
11
326
⨯⨯⨯=，所
以该几何体的体积为
15
1
66
-=，选C.
9．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.
【答案】2
由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．因为PO⊥底面ABC，所以平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AC．
PC=．．．
所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是2+．
10.（2013届北京石景山区一模理科）12．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱
长度是
由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．
所以则最长的一条侧棱PB=
D是等边三角形，11．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，ABC D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．
证明：（I ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11A ACC 是矩形。

连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在1ADC ∆中，1//OD A B 。

因为1A B ⊄平面1ADC ，OD ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC 。

（II ）因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥。

以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -。

由已知12AB BB ==，得：
(0,0,0)D
，A
，1A ，1(0,1,2)C -.
则(3,0,0)DA =，1(0,1,2)DC =-，设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =。

由1
0n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得到020y z =-+=⎪⎩，令1z =，则0x =，2y =，所以(0,2,1)n =.
又1(3,0,2)DA
=，得1020122n DA ⋅=⨯+⨯=。

所以1cos ,DA n <>=
=
设1A D 与平面1ADC 所成角为θ
，则1sin |cos |DA n θ=<>=。

所以1A D 与平面1ADC。

12．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，
NB ∥MD ，且NB=1，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求
ME
MN
的值. .
【解析】（Ⅰ）∵ABCD 是正方形,
∴BC ∥AD.
∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,
∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB ∥平面AMD. ∵NB BC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,
∴
平
面
AMD
∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD, ∴
AM
∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分) （Ⅱ）
⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直
线分别为
x,y,z
轴，建立空间直角坐标系（如
图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .
∴)1,2,0(=AN , ……………………………………
…6分
)1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,
设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,
则⎩
⎨⎧=-=-+0220
22z y z y x ，
令2=z ，则()
1,2,2,n =- (7)
分
设AN 与平面MNC 所成角为θ,
∴55
23
52122sin =
⨯⨯+⨯=
=θ. ……9分
（Ⅲ）设(,,)E x y z ，ME
MN
λ=，ME MN λ∴=， 又
(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，
∴E 点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………11分
AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，
欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，
(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，
23λ∴=
∴23ME MN =. …………………………………………14分
13．（2013届北京海淀一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC
∆
是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，
120CDA ∠=，点N 在线段PB
上，且PN =．
（Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．
证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，
所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分
又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA
AC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分
又PC
⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，
BM =5分
在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥
，所以AD CD =
120CDA ∠=，所以DM =
:3:1BM MD = (6)
分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =
所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=， 所以AB AD ⊥
，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z
轴建立如图的空间直角坐标系，
y
x
所以(4,0,0),(0,0,4)
B C D P
由（Ⅱ）可知，
(4,
3
DB=-为平面PAC的法向量………………10分
4)
PC=-，(4,0,4)
PB=-
设平面PBC的一个法向量为(,,)
n x y z
=,
则
n PC
n PB
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，即
240
440
x z
x z
⎧+-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
令3,
z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)
n=………………12分设二面角A PC B
--的大小为θ，则
7
cos
7
n DB
n DB
θ
⋅
==
⋅
所以二面角A PC B
--余弦值为7………………14分
14．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD
P-的底面ABCD为菱形，
60
=
∠ABC，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：⊥
PQ平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角
C
BD
M-
-的大小为
60，求
CP
CM
的值.
(Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面
PAB ，
所以⊥PQ 平面ABCD . ………3分（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，
则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,2
1
,23(
-P ，………5分 )3,2
1,233(--
=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，
则1030
34
1
4273||
||||,cos |sin =++==><=PD m m
α. ………8分 （Ⅲ）设t =)3,23,23(
t t t -=，则M )3,12
3
,23(t t t +-， =)3,12
3
,323(
t t t +--，)0,0,1(32=， ………10分 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =
，则00·=⇔=⇔⊥x n n
，
⇔=⇔⊥0·n n 03)12
3
()323(=++-+-tz y t x t ，
取3=z ，得)3,2
36,
0(-=t t n
，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
………12分 所以|60cos ||,cos |||
||·|
=><=n m n m n m ，所以
21
)
2
36(332=-+t t ，
解得2=t （舍去）或5
2=
t .所以，此时CP CM 52=. ………14分
15．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD
为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，
60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．
（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；
（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．
（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，
在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，
所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分
所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．
设1BC =，所以11
(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22
C A B
D
E --． 所以 )1,2
1
,23(
-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=．
设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
所
以
1
0,2
20.x y z -+=⎨= 取1z =，得
=n (0． ………………8分
设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则
||sin |cos ,|||||
CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ， 所
以
BC
与平面
EAC
所成角
的
正
弦
值
为
5
5
2． ………………9分 （Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面Q B C ．证明如下： ………………10分 假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(
t Q - )10(≤≤t ，所以),2
1
,23(t -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,
0.
CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
所以 0,
1
0.2
b b t
c =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分
要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，
………………13分 即 002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分
16．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥
平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，1
2
ED AB =， P 是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；
（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．
证明（Ⅰ）取AB 的中点F ，连结PF ，EF ．
因为P 是BC 的中点，
所以AC FP //，AC FP 2
1
=
．
因为//ED AC ，且11
22
ED AB AC ==， 所以FP ED //，且ED FP =， 所以四边形EFPD 是平行四边形．
所以EF DP //．
因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， 所以//DP 平面EAB ．
（Ⅱ）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ， 所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内．
由已知可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,1,E ，
(0,2
,3)D ．
所以(2,1,EB =--，(0,1,0)ED =， 设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0.EB ED
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以20,0.x y y ⎧-
=⎪⎨=⎪⎩
取2z =，
所以 ,0,2)=n ．
又因为平面ABC 的一个法向量为
(0,0,1)=m ．
所以cos ,⋅<>=
=
n m n m n m ． 即平面EBD 与平面ABC ．
17．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD
为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，1
12BC CD AD ==
=，PA PD =，E F ,为AD PC
,的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF ；
（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO
BC //AD ,AD BC 2
1
=
, E 为AD 中点 ∴ AE//BC ，且AE=BC
∴ 四边形ABCE 为平行四边形
∴ O 为AC 中点 ………………………………….………………..1分
又 F 为AD 中点
∴ OF //PA ……………………………………………...….2分 ,O F B E F P A B
E F ⊂⊄平面平面 ……………...….3分 ∴ PA //平面BEF ………………………………………..……..…..4分
（Ⅱ）解法一：
PA PD E AD PE AD =∴⊥为中点
,,PAD ABCD PAD ABCD AD PE PAD ⊥⋂=⊂侧面底面侧面底面平面 ∴PE ABCD ⊥平面………………………….…………………6分
易知 BCDE 为正方形 AD BE ∴⊥
建立如图空间直角坐标系xyz E -，t PE =（0>t ） 则()()()()()0,1,1,,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0-C t P B A E
∴()()0,1,1,,1,1-=--=t 045所成角为与AB PC
∴2
2
45cos 2
2011cos 02=
=+++=
=
><t PC ，…….………8分 解得：2=
t ∴2=PE …………… ………….9分
解法二：由BCDE 为正方形可得
EC =
=
由ABCE 为平行四边形 可得EC //AB
∴PCE ∠为PC AB 与所成角 即045PCE ∠=…………………………………..…5分
PA PD E AD PE AD
=∴⊥为中点
,,PAD ABCD PAD ABCD AD PE PAD ⊥⋂=⊂侧面底面侧面底面平面 ∴PE ABCD ⊥平面 ……………………… ………………….…7分 ∴EC PE ⊥ ………………… …………………………….8分
∴PE EC ==…………………………………..………9分
（Ⅲ）F 为PC 的中点，所以
11,22F ⎛=- ⎝⎭，
()0,1,0=EB ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=22,21,21EF
设()z y x n ,,=是平面BEF 的法向量
则 ⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=⋅==⋅．022
2121,
0z y x EF n y EB n 取2=x ，则2=
z ，得()
2,0,2= ……………………………………………….11分
()2,0,0=
EP是平面ABE的法向量………………………………………………….12分
∴
3
3
cos=
=
<n………………………………………………….13分由图可知二面角B
AC
E-
-的平面角是钝角，
所以二面角B
AC
E-
-的余弦值为
3
3
-．………………………………………….14分
D
F
E
C
B
A
P
18．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD中，//
AD BC，
1
2
AD BC
=
，60
ABC
∠=，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABC D''（如图）．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC'；
（Ⅱ）求证：//
C N'平面ADD'；
（Ⅲ）求二面角A C N C
'
--的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为
1
2
AD BC
=，N是BC的中点
所以AD NC
=，又//
AD BC
所以四边形ANCD是平行四边形，所以AN DC
=
又因为等腰梯形，60
ABC
∠=，
所以AB BN AD
==，所以四边形ANCD是菱形，所以
1
30
2
ACB DCB
∠=∠=所以90
BAC
∠=，即AC AB
⊥
由已知可知平面C BA
'⊥平面ABC，
因为平面C BA
'平面ABC AB
=
所以AC ⊥平面ABC ' ……………………………4分 （Ⅱ）证明：因为//AD BC ，//AD BC ''，
,AD AD A BC BC B ''==
所以平面//ADD '平面BCC ' 又因为C N '⊂平面BCC '，
所以 //C N '平面ADD ' …………………………8分 （Ⅲ）因为AC ⊥平面ABC '
同理AC '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系 设1AB =，
则(1,0,0)B
,C
, C '
，1(2N ， ……………………………9分
则(BC '=-
，(0,CC '=
设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z =，有 0BC n '⋅=，0C C n '⋅=，
得 (3,1,1)n = ……………………………11分
因为AC '⊥平面ABC ，所以平面C AN '⊥平面ABC 又BD AN ⊥，平面C AN '平面ABC AN =
所以BD ⊥平面C AN '
BD 与AN 交于点O ，O 则为AN 的中点，
O 1(4 所以平面C AN '
的法向量3(,4OB = ……… ……………12分 所以5
cos 5n OB
n OB
θ⋅=
=
⨯ …………………13分 由图形可知二面角A C N C '-
-为钝角
所以二面角A C N C '--的余弦值为5
-
14分 A
C
D D '
C '
19.（2013届北京朝阳区一模理科）（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面A B C D ，且P A A C ⊥，
2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别
为侧棱,PB PC 上的点，且 PE PF PB PC
λ==．
（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；
（Ⅱ）当1
2
λ=
时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，
试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 证明：（Ⅰ）由已知，PE PF
PB PC
λ==， 所以 EF BC ． 因为BC
AD ，所以EF
AD ．
而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF
平面PAD ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，
平面ABCD
平面PAC AC =，且PA AC ⊥，
所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥， 所
以
,,PA AB AD 两两垂
P
D
A B
C
F
E
直． ……………………………………………………5分
如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,
()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．
当1
2
λ=
时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22
F ,
所以11(,,1),(1,1,0)22
BF CD =-=-． 设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，
所以11
|(,,1)(1,1,0)|
cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==， 所以异面直线BF 与CD
．…………………………………9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，
所以000
,,22.x y z λλλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．
设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,
所以110,0.
AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩
令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．
设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,
所以220,0.
PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩
令21x =，则2(1,1,1)=n ．
若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得2
3
λ=． 所以当2
3
λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分
20.（2013届北京石景山区一模理科）17 ．（本小题满分14分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中,//,90AD BC ABC ∠=︒，P D ⊥平
面ABCD ，A D =1
，A
B 4B
C =． （Ⅰ）求证：B
D PC ⊥；
（Ⅱ）求直线AB 与平面PDC 所成的角； （Ⅲ）设点E 在棱PC 上，P E P C
λ=，若 DE ∥平面PAB ，求λ的值.
证明：（I ）在直角梯形ABCD
中，1,AD AB ==
所以2,BD CD ==BD CD ⊥. …………2分 又因为ABCD PD ⊥面，所以PD BD ⊥ 由PD BD D ⋂=，所以PCD BD ⊥面
所以BD PC ⊥ …………4分 （II ）如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ， 分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由条件知A （1，0，0），B （1
，0），
设P D a =，则(1,3,0),(3,)
B D P
C a =--=--， …………5分 由（I ）知B
D PDC DB PDC ⊥面就是平面的法向量，
(0,3,0),(1,30)A B D B ==.
设A B P D C θ
与面所成角大小为，
A
P
E
C
D
B
B
则||s
i n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅ …………7分
09060,θθ
︒<<︒∴=︒， 即直线A B P
D C 与平面所成角为60︒. …………8分 （III ）由（
2）知C （－3，0），记P （0，0，a ），则
A B =
），(0,0,)
D P a =，P A a =（1，0，-）
，P C a =--）， 而P E P C
λ=，所以P E a
=-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=
+(0,0,)()a a =+-，=3,.aa λ--）
…………10分
设n x y z =（
，，）为平面PAB 的法向量，则00
A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0
0x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.
1z x a ==取，得， 进而,,n a =（01）， …………12分 由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，
∴30a a a λλ
+=--，1
0.
4a λ≠∴=而，
…………14分。