分类加法计数原理与分步乘法计数原理PPT教学课件
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故任选一名学生任学生会体育部长有30+30+20=80种不同 的方法.
11．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一 种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞 的各1人，有多少种不同的选法？
解析：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人， 既会唱歌又会跳舞的有2人．按“多面手”2人当选情况分四 类．
(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A、 B中的正数，同样分两类．N＝2×2＋2×2＝8(个)．
即这些点中，位于第一象限的有8个点．
跟踪练习
3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水 彩画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不 同的选法？
解析：要完成的“一件事”是“从现有的这些画中选出2 幅不同种类的画”．分3类，每一类又分两步：
点评：明确要完成一个圆的方程的实质是得到一组a，b， r的值，应分三步完成，应用分步乘法计数原理来解．
1．对分类计数原理的理解
(1)分类计数原理的特点：各类中的每一种方法都可以完 成要做的事情．
(2)应用分类计数原理要注意的问题．
第一类办法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的 方法；
第二类办法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的 方法；
第三类办法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的 方法．
只要在书架上任意取出一本书，任务即完成．由分类加 法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．
(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，可以分成三个步骤完成：
自测自评
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学 课代表，则不同选法的种数是___5_0____．
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路， 从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地 不同走法的种数是______2_4_．
3．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送 书方法( B )
解析：完成4个学生分到3个不同的班级这件事，可按每 个学生对班级选择分四步完成，每一步中每一个学生在3个班 级中选择一个，有3种选法，由乘法原理得共有34＝81种不同 的分法．
跟踪练习
2．集合A＝{a，b，c，d}，B＝{1,2,3,4,5}． (1)从集合A到集合B可以建立多少个不同映射？ (2)从集合A到集合B的映射中，若要求集合A中元素的象 不同，这样的映射有多少个？
第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；
第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；
第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法． 由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝ 30(种)．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语 书各一本，共有30种不同的取法．
分析：集合A中四个元素在B中找到对应元素才得到映射， 因此应用分步乘法计数原理．
解析：由映射的定义和分步乘法计数原理得： (1)完成这件事需要4个步骤： 第1步安排元素a有5种方法， 同理安排元素b，c，d各有 5种方法．故共有5×5×5×5＝54个不同的映射．
(2)因A中元素的象不同，故第1步安排1个元素有5种方法， 第2步安排另1个元素有4种方法，依此类推，共有5×4×3×2 ＝120个不同的映射．
A．26 B．24 C．20 D．19
7. 如图，从A→C有___________________种不同走法. 答案：6
8. 某校会议室有四个出入门，若从一个门进，另一个门 出，不同的走法有_______1_2_______种.
9. 一项活动，需要从3名老师，8名男同学和5名女同学中 选人参加.
第1类，先选1幅国画，再选1幅油画，有5×2＝10种选法； 第2类，先选1幅国画，再选1幅水彩画，有5×7＝35种选 法；
第3类，先选1幅油画，再选1幅水彩画，有2×7＝14种选 法．
而 每 种 选 法 都 能 独 立 完 成 这 件 事 ， 所 以 共 有 10 ＋ 35 ＋ 14＝59种不同的选法．
（1 （2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种 不同选法？ （3）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？
解析： (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种 方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人， 有5种方法.
由分类计数原理，共有3+8+5=16种选法. (2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男 同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法. 由分步计数原理，共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类，每一类分两步. 第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8=24种选法；
(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各 一本，有多少种不同的取法？
分析：判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看 这种方法能否独立地完成这件事情．如果能完成就是分类，如 果不能单独完成，就是“分步”．
解析：(1)从书架上任取一本书，有三类办法：
1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有 30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些 英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语 单词卡片，则不同的取法种( B )
A．20种
B．600种
C．10种
D．30 000种
2.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
共有3×2＝6种不同的选法；
第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有 1种选法．
由分类计数原理知，共有15＋10＋6＋1＝32种不同的选 法．
12．已知a∈ {3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
解析：确定一个圆的方程分三步：第1步确定a的值有3种 方法，第2步确定b的值有4种方法，第3步确定r的值有2种方 法，根据分步乘法计数原理，不同的圆的个数为：N＝ 3×2×4＝24(个)．
跟踪练习
1．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选 一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___9_____种； 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不 同的选派方法___2_0____种．
分类乘法计数原理的应用
4个插班生分到甲、乙、丙三个班，有多少种不同 的分法．
分析：一个学生分到甲、乙、丙中的某个班，有3种不同 方法，一个学生确定到哪个班后，这件事情并没有完成，只 有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成，故应 用乘法原理解决．
A. 7个
B. 10个
C. 25个
D. 52
解析：A∩B={ 0, 1}，A∪B {－1, 0, 1, 2, 3}，x有2种取法, y 有5种取法，由乘法原理得有2×5=10个元素，故选B.
答案：B
6．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段 表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间 内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息 可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信 息量为( D )
A．7
B．12
C．64
D．81
解析：要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件中 任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中 任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．
答案：B
5. （2012年深中期末）设集合A={－1, 0, 1}，集合B= {0, 1, 2, 3}，定义A＊B={（x, y）| x∈A∩B, y∈A∪B}，则A＊B
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
答案：C
3. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ D）
A.1条 C.3条
B.2条 D4条
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果 一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
计数原理
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学
预
典
课
方
习
习
例
堂
法
目
导
精
导
总
标学析练来自结1．正确理解“完成一件事情”的含义．
2．通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原 理．
基础梳理
1．分类计数原理(加法原理)． 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…， 在 笫 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 ． 那 么 完 成 这 件 事 共 有 _N_＝__m__1_＋__m__2_＋__…__＋__m_n____种不同的方法．原理的核心是每一 种办法都能将事情完成．
A．720种
B．7 776种
C．360种
D．3 888种
4．乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人
担任队长有___1_3____种方案；派出两人参加男、女混合双打 比赛有____4_2___种选派方案．
分类加法计数原理的应用
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层 放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书．
第一类方法：多面手一个不选．从只会唱歌的5人中任选 1人，从只会跳舞的3人中任选1人．
共有5×3＝15种不同的选法；
第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌 又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2＝10种不同的选法；
第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌 又会跳舞的2人中任选1人，
解析： (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班选一名，有50 第二类：从高二（2）班选一名，有60 第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30 第二类：从高二（2）班男生中选有30 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层有4个 扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人从底层到 三层的走法共有几种？
____8_种_____（直接写出结果）.
3．分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事
是__分__类____还是___分__步___．若是分类，则N＝m1＋m2＋…＋ mn；若是分步，则N＝m1·m2·…·mn.
例如：某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 在这天的不同时间中，火车有4班，汽车有3班，问此人的走 法有几种选择？
_____7_种_____（直接写出结果）.
2．分步计数原理(乘法原理)．
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种 不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn 种不同的方法．那么完成这件事有__N_＝__m__1_·_m_2_·…__·_m_n__种不同 的方法．原理的核心是每一个步骤都依次完成后，这件事情 才能完成．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
综合应用
集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，现从A、 B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个点？ 解析：(1)第一类：选A 中的元素为x，B中的元素为y，有 3×4＝12个不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12 个不同的点．故可以得到24个不同的点．
第二类：选一名老师再选一名女同学，有3×5=15种选法. 由分类计数原理，共有24+15=39种选法.
10. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2） 班有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其 中男生35人.
（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法? （2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班 女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.
11．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一 种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞 的各1人，有多少种不同的选法？
解析：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人， 既会唱歌又会跳舞的有2人．按“多面手”2人当选情况分四 类．
(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A、 B中的正数，同样分两类．N＝2×2＋2×2＝8(个)．
即这些点中，位于第一象限的有8个点．
跟踪练习
3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水 彩画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不 同的选法？
解析：要完成的“一件事”是“从现有的这些画中选出2 幅不同种类的画”．分3类，每一类又分两步：
点评：明确要完成一个圆的方程的实质是得到一组a，b， r的值，应分三步完成，应用分步乘法计数原理来解．
1．对分类计数原理的理解
(1)分类计数原理的特点：各类中的每一种方法都可以完 成要做的事情．
(2)应用分类计数原理要注意的问题．
第一类办法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的 方法；
第二类办法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的 方法；
第三类办法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的 方法．
只要在书架上任意取出一本书，任务即完成．由分类加 法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．
(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，可以分成三个步骤完成：
自测自评
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学 课代表，则不同选法的种数是___5_0____．
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路， 从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地 不同走法的种数是______2_4_．
3．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送 书方法( B )
解析：完成4个学生分到3个不同的班级这件事，可按每 个学生对班级选择分四步完成，每一步中每一个学生在3个班 级中选择一个，有3种选法，由乘法原理得共有34＝81种不同 的分法．
跟踪练习
2．集合A＝{a，b，c，d}，B＝{1,2,3,4,5}． (1)从集合A到集合B可以建立多少个不同映射？ (2)从集合A到集合B的映射中，若要求集合A中元素的象 不同，这样的映射有多少个？
第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；
第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；
第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法． 由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝ 30(种)．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语 书各一本，共有30种不同的取法．
分析：集合A中四个元素在B中找到对应元素才得到映射， 因此应用分步乘法计数原理．
解析：由映射的定义和分步乘法计数原理得： (1)完成这件事需要4个步骤： 第1步安排元素a有5种方法， 同理安排元素b，c，d各有 5种方法．故共有5×5×5×5＝54个不同的映射．
(2)因A中元素的象不同，故第1步安排1个元素有5种方法， 第2步安排另1个元素有4种方法，依此类推，共有5×4×3×2 ＝120个不同的映射．
A．26 B．24 C．20 D．19
7. 如图，从A→C有___________________种不同走法. 答案：6
8. 某校会议室有四个出入门，若从一个门进，另一个门 出，不同的走法有_______1_2_______种.
9. 一项活动，需要从3名老师，8名男同学和5名女同学中 选人参加.
第1类，先选1幅国画，再选1幅油画，有5×2＝10种选法； 第2类，先选1幅国画，再选1幅水彩画，有5×7＝35种选 法；
第3类，先选1幅油画，再选1幅水彩画，有2×7＝14种选 法．
而 每 种 选 法 都 能 独 立 完 成 这 件 事 ， 所 以 共 有 10 ＋ 35 ＋ 14＝59种不同的选法．
（1 （2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种 不同选法？ （3）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？
解析： (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种 方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人， 有5种方法.
由分类计数原理，共有3+8+5=16种选法. (2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男 同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法. 由分步计数原理，共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类，每一类分两步. 第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8=24种选法；
(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各 一本，有多少种不同的取法？
分析：判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看 这种方法能否独立地完成这件事情．如果能完成就是分类，如 果不能单独完成，就是“分步”．
解析：(1)从书架上任取一本书，有三类办法：
1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有 30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些 英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语 单词卡片，则不同的取法种( B )
A．20种
B．600种
C．10种
D．30 000种
2.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
共有3×2＝6种不同的选法；
第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有 1种选法．
由分类计数原理知，共有15＋10＋6＋1＝32种不同的选 法．
12．已知a∈ {3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
解析：确定一个圆的方程分三步：第1步确定a的值有3种 方法，第2步确定b的值有4种方法，第3步确定r的值有2种方 法，根据分步乘法计数原理，不同的圆的个数为：N＝ 3×2×4＝24(个)．
跟踪练习
1．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选 一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___9_____种； 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不 同的选派方法___2_0____种．
分类乘法计数原理的应用
4个插班生分到甲、乙、丙三个班，有多少种不同 的分法．
分析：一个学生分到甲、乙、丙中的某个班，有3种不同 方法，一个学生确定到哪个班后，这件事情并没有完成，只 有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成，故应 用乘法原理解决．
A. 7个
B. 10个
C. 25个
D. 52
解析：A∩B={ 0, 1}，A∪B {－1, 0, 1, 2, 3}，x有2种取法, y 有5种取法，由乘法原理得有2×5=10个元素，故选B.
答案：B
6．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段 表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间 内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息 可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信 息量为( D )
A．7
B．12
C．64
D．81
解析：要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件中 任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中 任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．
答案：B
5. （2012年深中期末）设集合A={－1, 0, 1}，集合B= {0, 1, 2, 3}，定义A＊B={（x, y）| x∈A∩B, y∈A∪B}，则A＊B
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
答案：C
3. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ D）
A.1条 C.3条
B.2条 D4条
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果 一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
计数原理
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学
预
典
课
方
习
习
例
堂
法
目
导
精
导
总
标学析练来自结1．正确理解“完成一件事情”的含义．
2．通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原 理．
基础梳理
1．分类计数原理(加法原理)． 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…， 在 笫 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 ． 那 么 完 成 这 件 事 共 有 _N_＝__m__1_＋__m__2_＋__…__＋__m_n____种不同的方法．原理的核心是每一 种办法都能将事情完成．
A．720种
B．7 776种
C．360种
D．3 888种
4．乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人
担任队长有___1_3____种方案；派出两人参加男、女混合双打 比赛有____4_2___种选派方案．
分类加法计数原理的应用
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层 放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书．
第一类方法：多面手一个不选．从只会唱歌的5人中任选 1人，从只会跳舞的3人中任选1人．
共有5×3＝15种不同的选法；
第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌 又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2＝10种不同的选法；
第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌 又会跳舞的2人中任选1人，
解析： (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班选一名，有50 第二类：从高二（2）班选一名，有60 第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30 第二类：从高二（2）班男生中选有30 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层有4个 扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人从底层到 三层的走法共有几种？
____8_种_____（直接写出结果）.
3．分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事
是__分__类____还是___分__步___．若是分类，则N＝m1＋m2＋…＋ mn；若是分步，则N＝m1·m2·…·mn.
例如：某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 在这天的不同时间中，火车有4班，汽车有3班，问此人的走 法有几种选择？
_____7_种_____（直接写出结果）.
2．分步计数原理(乘法原理)．
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种 不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn 种不同的方法．那么完成这件事有__N_＝__m__1_·_m_2_·…__·_m_n__种不同 的方法．原理的核心是每一个步骤都依次完成后，这件事情 才能完成．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
综合应用
集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，现从A、 B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个点？ 解析：(1)第一类：选A 中的元素为x，B中的元素为y，有 3×4＝12个不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12 个不同的点．故可以得到24个不同的点．
第二类：选一名老师再选一名女同学，有3×5=15种选法. 由分类计数原理，共有24+15=39种选法.
10. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2） 班有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其 中男生35人.
（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法? （2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班 女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.