备战高考数学二轮复习 难点210 解析几何中的定值定点和定线问题教学案 文

解析几何中的定值、定点和定线问题

解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求变中有不变的量.因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用．

1解析几何中的定值问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.

????20,PF?0,2ll?x y轴，且，过点与，2018例1【百校联盟届一月联考】已知点轴垂直的直线为21NFNl ll M. ，直线，交垂直平分于点交于点21M的轨迹方程；）求点1 （????2y,xx,y,BA x?1?x?mEMEAB，且的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点2（）记点122121?m C?ABCl EAB若为定值，.的面积是否为定值试问，切点为相切，且与曲线平行，与直线，为常数）（．

ABC?.

求出的面积；若不是定值，说明理由AB的方程）设直线M的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点??2b??kxybk?Q的坐标为4k,4AB．同样设出切线方程中点为，与抛物线方程联立消元后可得??2x C?y?kx?tCQkk,24轴．于是，故得，与抛物线方程联立消元后可得切点的坐标为1ABC?x?xS??CQ，由此通过计算可证得的

面积为定值．1?ABC22

??222k4C 032t64??k ??k ??2tk,2C 的坐标为4k ，∴ ，∴切点，∴ 点的横坐标为

∴．2??22??????

222x1??xx ?m1???x ?x ?4m ?8b64?k ?32b ?xx ?CQ ∴ ，∴轴．∵，12221123????2221kmm ??1?6411

????2m ?xk ?S ?xCQ ??b ?x ?2??b ?x 为常数，．∴∴ ，∵ 1ABC ?221 643222?ABC 的面积为定值． ∴点评：圆锥曲

线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题 意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代另外.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.换消元．

关注图形的几何性质可简化计算.

2解析几何中的定点问题

定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明．难度较大．定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.

??0??b:??1aE F，上顶点为届第五次联考】已知椭圆的右焦点为例2【河南省中原名校2018 22yx

22ab3??FGG1,P0?3yx?E与直线．经过点垂直，椭圆，直线??2??E的标准方程；（1）求椭圆MN N,ABCDAB,CDM,EF，证明：直线的中点分别为作椭圆．若弦的两条互相垂直的弦（2）过点恒过定点．43??22FG c3b?P1,03?y?xba?再由点与直线垂直可得，从而得到，根据直线1思路分析：（）??23??22CDAB，b,aAB的方程为的斜率都存在时，设2，即可得椭圆的方程．在椭圆上可求得（）当直线??N0?1?mmyx?M坐标，，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点的坐标，同理可得点4??MNAB或CD,0的斜率不存的方程，通过此方程可得直线过定点从而可得直线．然后再验证当直线??7??在时也过该定点．

14m3??m?M,?可得代替点M坐标中的，用由中点坐标公式得??

??21m4?2??m34m4MN,N的坐标为点x?y?的方程为，．所以直线?? 224?3m3m?4m??

224m?34m?37m7??44??MNCDMN,0?x0?y AB可知直线经过定点或．②当直线，得，所以直线令的斜率不存在时，??77??44????x MN,0,0轴，也经过定点为．．综上所述，直线经过定点????77????点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题，关键在于选定