概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答
1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.
解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即
0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以
P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.
2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则
P(X=3)=1/e6.
解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-
λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即
e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-
λ)λ^3/3!=1/e6.
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.
解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为
F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故
F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.
4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以
P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

5.设总体X的概率密度为f(x)=θ(θ+1)x，0-1.
2）Z的分布函数为
F(z)P(Z z)P(X Y z)
_{x+y<z}f(x,y)dxdy
begin{cases}
0.& z<0 \\
int_{0}^{z}\int_{0}^{z-x}2dydx。

& 0\leq z<1 \\
1.& z\geq 1
end{cases}
化简可得
F(z)\begin{cases}
0.& z<0 \\
z^2.& 0\leq z<1 \\
1.& z\geq 1
end{cases}
Z的概率密度为
f(z)\frac{dF(z)}{dz}\begin{cases}
0.& z<0 \\
2z。

& 0\leq z<1 \\
0.& z\geq 1
end{cases}
样本，得到样本均值为10.5，样本标准差为2.5.试检验假设H0：=10，Ha：>10，显著性水平为0.05，给出结论并解释其意义。

解：样本容量n=16，样本均值为x=10.5，样本标准差为
s=2.5，显著性水平为α=0.05，检验假设H0：μ=10，Ha：
μ>10.
由于样本容量n>30，可以使用正态分布进行假设检验。

检验统计量为：
t=(x-μ)/(s/√n)=(10.5-10)/(2.5/√16)=2.53
在显著性水平为0.05的情况下，自由度为15，查表得到
t0.05(15)=1.753，因为t>t0.05(15)，所以拒绝原假设H0，接受
备择假设Ha，即认为零件长度的平均值大于10.
结论：在显著性水平为0.05的情况下，样本数据支持零
件长度的平均值大于10的假设，即机器生产的零件长度较长。

2）设随机变量X服从参数为3的指数分布，求X的概率
密度函数和P(X>1/4)的概率。

解：因为X~exp(3)，所以X的概率密度函数为f(x)=3e^(-
3x)，x>0.
P(X>1/4)=∫(1/4,∞)3e^(-3x)dx= e^(-3/4)≈0.239.
6分）
分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为1/4的指数分布。

工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

解：因为X~exp(1/4)，所以设备在一年内损坏的概率为
P(X<1)=1-e^(-1/4)≈0.22.
设Y表示出售一台设备的净盈利，则Y=100，当X≥1；Y=-200，当0<X<1；Y=0，当X≤0.
所以P(Y=100)=P(X≥1)=e^(-1/4)≈0.78，P(Y=-
200)=P(0<X<1)=1-e^(-1/4)≈0.22.
因此，工厂出售一台设备的净盈利的期望为
E(Y)=100*0.78-200*0.22≈33.64元。

8分）
分）设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，求E(2X-Y)和D(2X-Y)。

解：已知E(X)=-2，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρ(X,Y)=-0.5.
则E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=-6.
D(2X-Y)=D(2X)+D(Y)-2cov(2X,Y)=4D(X)+D(Y)-
4ρ(X,Y)D(X)=8-2=6.
7分）
分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过度的概率。

（所求概率用标准正态分布函数Φ(x)的值表示）。

解：设第i户居民的用电量为Xi，则Xi~U[0,20]，
E(Xi)=10，D(Xi)=100/3.
则1000户居民的用电量X=∑Xi，E(X)=，D(X)=/3.
根据中心极限定理，X服从均值为，方差为/3的正态分布。

所以P(X>)=P(Z>(-)/√(/3))=P(Z>3.055)=1-Φ(3.055)≈0.001.
其中Z为标准正态分布。

1.剔除格式错误和问题段落后的文章：
设随机变量X服从概率密度函数
f(x)=\begin{cases}
x。

& 0<x<1\\
2-x。

& 1\leq x<2\\
0.& \text{其他}
end{cases}
则随机变量X落在区间(0.4,1.2)内的概率为()。

A) 0.64.(B) 0.6.(C) 0.5.(D) 0.42.
设随机变量X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y相互独立，令Z=X-2Y+7，则Z~()。

A) N(,5)。

(B) N(,3)。

(C) N(,46)。

(D) N(,54)。

设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是()。

A) 参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α；
B) 参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α；
C) 区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α；
D) 对不同的样本观测值，区间(θ1,θ2)的长度相同。

2.改写后的文章：
已知随机变量X的概率密度函数为
f(x)=\begin{cases}
x。

& 0<x<1\\
2-x。

& 1\leq x<2\\
0.& \text{其他}
end{cases}
求随机变量X落在区间(0.4,1.2)内的概率。

A) 0.64.(B) 0.6.(C) 0.5.(D) 0.42.
设随机变量X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y相互独立，令Z=X-2Y+7，则Z服从正态分布()。

A) N(,5)。

(B) N(,3)。

(C) N(,46)。

(D) N(,54)。

设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是()。

A) 参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α；
B) 参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α；
C) 区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α；
D) 对不同的样本观测值，区间(θ1,θ2)的长度相同。

3.填空题：
设总体X与Y相互独立，且都服从正态分布N(μ,1)。

$(X_1,\ldots,X_9)$是从总体X中抽取的一个样本，
$(Y_1,\ldots,Y_9)$是从总体Y中抽取的一个样本，则统计量$U=\dfrac{X_1+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}$服从$t$分布，参数为$8\mu$。

设$\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2,\hat{\theta}_3$是总体分布中参数$\theta$的无偏估计量，$\hat{\theta}=a\hat{\theta}_1-
2\hat{\theta}_2+3\hat{\theta}_3$，设$\hat{\theta}_{123}$也是$\theta$的无偏估计量。

当$a=\dfrac{1}{3}$时，
$\hat{\theta}_{123}$。

设总体$X\sim N(\mu,1)$，$\mu$是未知参数，
$X_1,X_2$是样本，则$\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2}{2}$和
$X_1$都是$\mu$的无偏估计，但$\bar{X}$有效。

设样本$(X_1,X_2,\ldots,X_n)$抽自总体$X\sim
N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$均未知。

要对$\mu$作假设检验，统计假设为$H_0:\mu=\mu_0$（$\mu_0$已知），
$H_1:\mu\neq\mu_0$，则要用检验统计量为
$T=\dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{S}$，给定显著水平
$\alpha$，则检验的拒绝区间为$(-\infty,-t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\bigcup t_{\frac{\alpha}{2},n-1},\infty)$。

4.填空题：
已知$P(A)=0.5$，$P(B)=0.6$，条件概率$P(B|A)=0.8$，则$P(A\cap B)=0.4$。

y)，所以X和Y是独立的。

因此，
P(X>1|Y>2)=P(X>1)=1-P(X1)。

8分
1-1e3xdx=1-e 3.9分
十、根据题目给出的条件，可以得到X与Y相互独立。

因此，不需要改写每段话。

十一、首先求出E(X)的表达式，然后利用样本均值作为
矩估计。

因此，不需要改写每段话。

十二、根据置信度和样本信息，计算出置信区间的上下限。

因此，不需要改写每段话。