高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题
（含答案解析）
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径
作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.
(1)求动点的轨迹E 的方程；
(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求
面积的最大值.
【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,
,解得, 所以曲线的方程为.
（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:
,
xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+2
4y x =E 2
4y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||
||||
MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNM
AMN BMN
∠∠=∠∠
所以. 设， 所以
, 得,所以
， 所以直线方程为:,联立，
得 由韦达定理得,
又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以
又因为点到直线的距离为
所以
方法一：令,则,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.
方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:
， 当且仅当,即时,等号成立.
AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 121222121212222244
1122
1144AM BM y y y y k k y y x x y y
−−−−+=
+=+=+=−−++−−124y y +=
−21
21222
12112
41
44
AB y y y y k y y x x y y −−=
===−−+−1l x y a =−+24y x
x y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABM
S
AB d =
=⨯=2
()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−1
13
a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327
f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABM
S
==223a a +=−1
3
a =
2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，
，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率
因为一个焦点为，所以，则
由可得：，
所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，
则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a =
=
()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2
2
12
y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
22
(2)210k x kx ++−=1212
22
21,22k x x x x k k −−+=
=++OA 1
1
y y x x =OA 2y =M 112(
,2)x M y 222(,2)x
N y 112(
,2)x OM y =22
2(,2)x
ON y =MON ∠0OM ON >121212
212121212444444(1)(1)()1
x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =
+=+=++++++
，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，
求直线的方程.
【解析】（1），
，则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）设，令，则. 当时，； 当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值2，即.
，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.
2
222142=
4121
22k k k k k k −⨯
++−−⨯+⨯+++22
=
41
k +−22421
k k −=−22
4201k k −>−2
12k <21k
>k −
<<
1k >1k <−l k 22
(,1)(,)(1,)22
−∞−−
+∞()3
2ln 13
x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x x
g x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11
101133
f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1
213y x +=−723
y x =−()()1122,,,A x y B x y ()2
2ln 3h x x x =−+()()()2112
2x x h x x x x
+−=
−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()2
2ln 3h x x x =−+
1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==
即，
所以直线的方程为，即
. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，
右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．
(1)若的面积为
的标准方程；
(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，
记四边形的面积为，求的最大值．
【解析】（1），∴，
，
解得
的标准方程为：. （2），∴，椭圆，
令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，
由韦达定理得，，
()11,,0,03A B ⎛
⎫− ⎪⎝
⎭AB ()1
30010
y x −−−=−−13y x =−22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 2
1
OT OQ S k
⋅−||2||OA OB =2a b =121
22
BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 22
1164
x y +
=||2||OA OB =2a b =22122:14x y
C b b
+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−22
2214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩
22222
(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+22
122
4414k b x x k −=+
有 ，
因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，
，而， O 点到直线l 的距离， 所以：
，，
因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即
令 ，求导得 ，
当
，单调递增； 当 ，即
，单调递减.
所以：
，即
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦
点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.
12122
2(2)14k
y
y k x x k −+=+−=
+OM ON OQ +=2
02
814k x k =+0
2214k y k −=+2
2
2
414k b k
=+()2
2222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −12
2221
:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2
T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−=
==+++−+−2
4T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++23
122
80(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2
112k >
k >322()(14)k f k k =+222222423
(41)(43)(43)
()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max
()f k f ==⎝⎭21max
OT OQ S k ⎛⎫⋅−=
⎪⎝⎭22
221(0)x y a b a b
+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得
F ，，所以椭圆C 的标准方
程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理. 联立，得
. ，从而（定值） （2）
结合图象，不妨设，，，
， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2
212
x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫
⎪⎝⎭
111,PM x y t ⎛
⎫=− ⎪⎝
⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111
(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=2
2121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩
22
(2)210t y ty +−−=1212
2221
,
11
t y y y y t t −+=
=++121212*********
y y t
ty ty t y y t λμ++++=
+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111
122
S y y =⋅⋅=32211
122
S y y =
⋅⋅=−
由得 代入，有
，则， 解得 ，，
设，则，设，则，
令，解得
，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则
且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心
率，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且
的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，
，
所求椭圆的方程为；
（2）由（1）得.
①若直线
的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 1
11ty λ+=
212
1
1111,,13y y y t
t y λμμμ
λμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111
222
y y my y μ−=−1212y y my y μ−
=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()2
2
8u
h u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33
h h =−=
()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223
F M F N +=l 22c a a c
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2
212
x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22
112
x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =
设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，
设，联立， 消元得，
，
，
又，
， 化简得，
解得或（舍去）
所求直线的方程为或.
7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作
倾斜角为
的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；
(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若
，
1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭
､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()
22
112
y k x x y ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩()
2222
124220k x k x k +++−=22121222
422
,1212k k x x x x k k −−∴+==++()12122
2212k
y y k x x k ∴+=++=
+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N x
x y y ∴+
=+−+(22F M F N x ∴+=
424023170k k −−=21k =2
17
40
k =−
1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 22
22:1(0)x y D a b a b
+=>>2F π
3
D ,A B 1F AB D D ()1,0M −
E D ,E M l y C CE EM λ=
求的取值范围；
(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.
【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，
解得
①
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②
联立①②解得: ,
所求椭圆D 的方程为.
（2）由（1）知椭圆的方程为，设，
因为，所以
所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.
（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，
把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，
λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 1
2242
a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2
214
x y +=2
214
x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λ
λλ
=−=++2
2()1()141m λ
λλ
−++=+2
(32)(2)04m λλ++=
≥2
3
λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2
1
2
2814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 2
22
82(,)1414k k
k k −
++0k =()2,0Q PQ y
于是，由解得
（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；
于是
由， 解得
综上可得实数的值为
8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，
焦距长为
在椭圆上，直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知
为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，
，由题意可得，
即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 2
22
218()1414k k
y x k k k −
=−+++()0,N t PQ 0x =2
614k
t k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−2421122222
4166104(16151)
2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+=
= ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x y
E a b a b
+=>>P E ,PA PB 1
4
−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a
=
=+−00001
4y y x a x a ⋅=−+−2
22
014y x a =−−2
2022222
22201111444
x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−
又
所以，椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且
联立，得 由，得，
所以， 设，由三点共线可得
所以，直线的斜率之积为定值.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
2c =c =2a =E 2
214
x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222
148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222
844
,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222
y y t
t t x x y −=⇒=−−−+−11,22
AG AP y t
k k t x =
=−++()()()()
112121221212222221222AG AP y y y y y t
k k t x x y x k x m x ⋅=
⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122
212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦
()()
()22
2
222222222
22222
44844841414448144164161241414m km
k km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦
()()
()()()()()22
222
22422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−
=−=−=−−−−−−−+,AP AG 1
4
−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、
B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1），，
椭圆半焦距长为，，，
，
动点到定直线与定点的距离相等，
动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，
轨迹的方程是；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设，
，
，则，
切线的方程为：
同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，
，，
2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22
171617x y +=∴2
211716
y x +=∴1410,4F ⎛
⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()
211,A x x ()()2
2212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=1
12AP x x k y x =='
=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 12
2
P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,2
4x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛
⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122
2211122
11111
244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====
+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝
⋅+
同理
10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），
，过F
作两条互相垂直的弦AB ，CD .
(1)
求椭圆的标准方程；
(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题意知，，又，所以
，所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得
所以
联立可得
所以
所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，
设直线的方程为，
1214cos ||||
||
x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==
cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠2
2x a 22y b
2
c e a =
=
a 1c =a =222a
b
c =+2
1b =2
212
x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22
121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
CD =11
||||222
S AB CD =
⋅=⨯AB (1)y k x =−
则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得
，方程的判别式
，设， 所以， ∴
， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，
∴四边形ADBC 的面积，
综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线
与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线
AP 与AQ 的斜率之和为2
．
CD 1(1)y x k
=−−AB ()2
2
22124220k x
k x k +−+−=()
2222124220k x k x k +
−+−=()()
42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 2
2121222
4
22
,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)
22
1
12k
AB k +==+)222
2111
||1212k k CD k k
⎫
+⎪+⎝⎭==++⨯))22
221111||||22122
k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2
2222
42144122252112121
k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛
⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭2
2
121219k k ⎛⎛
⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝
1k =±16,29S ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
S 16
,29⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2
2:12
+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −
【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得
,由已知，由韦达定理得,则
所以可知直线与的斜率之和为2.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．
【解析】由题可知，
设，，，由，得， 满足，可得，
()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()
2
22221
124(1)2402
(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩
0∆>2121222
4(1)24,1212k k k k
x x x x k k −−+==++()()12121212
1212
11AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=
+=+()()
1212121212
2(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+=
=+22
2244122(2)1224k k k k k k k k
−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22
162
x y +
=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ222
6,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩
满足，可得，
由，可得， 所以
，
∴
，， 又，
∴， 同理可得， ∴， 所以，又，
所以.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线
被椭圆
． (1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆
，可得．
又
，，解得：，，， ()2,0F c 02
02
101x x c y y μμ
μμ
+⎧=⎪+⎪
⎨
+⎪=⎪+⎩
()020210
x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22
0022
2222
2
11
221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()
010*******
2
1x x x x y y y y a
b
λλλλλ−+−++
=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2
011a x x c
λλ−=−−()()011x x c λλ+=−+2222
02a c a c x c c
λ−+=−2222
02a c a c x c c μ−+=−+()2222
2a c a c c c
λμ−++=⋅22
22210a c a c
λμ++=⋅=−2λ=8μ=22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>121:1x y
l a b
+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x y
l a b
+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=1
2
c a =222a b c =+24a =23b =1c =
椭圆的方程为．
（2）由（1）可得：圆的方程为：．
设，则以为直径的圆的方程为：，
与相减可得：直线的方程为：，
设，，，，联立，化为：，，则，，
故
又圆心到直线的距离
，
令，则
，可得，可得：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为
∴
1
C
22
1
43
x y
+=
2
C224
x y
+=
(2,4)
M t OM222
()(2)4
x t y t
−+−=+
224
x y
+=AB2440
tx y
+−=
1
(C x
1
)
y
2
(
D x
2
)
y22
2440
1
43
tx y
x y
+−=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
22
(3)480
t x tx
+−−=
2
48(2)0
t
∆=+>
122
4
3
t
x x
t
+=
+122
8
3
x x
t
=
⋅
−
+
||
CD
O AB d=
||
AB
∴=
||||
AB CD
∴⋅==
23(3)
t m m
+=≥||||
AB CD
⋅==
3
m≥3
233
m
≤−<||||
AB CD
⋅<
22
122
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>1F2F P 12
90
F PF
∠=︒P P
1
F2
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线
作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得
所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线
的坐标为.
设，连接OA ，
因为直线
为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线
若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；
当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.
故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，
故直线的方程为.
1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +
=2,a c =
1C 22
142
x y +
=2C 22
4x y +=x =−
T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =
1
1
AT x k y =−AT ()1
111
x y y x x y −=−
−22
11114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244
ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=
联立，消去得，
设，． 则， 从而
， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，
且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程
(2)
若过点的直线与椭圆交于两点，且
的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，
（，22414
2ty x y ⎧−+=⎪
⎨+=⎪
⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 34342
2816,1616
t y y y y t t −+=
=++||CD 224(8)16
t t +=+2
32
416
t −=+
+21616t +≥232
2016
t −−≤
<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x y
C a b a b
+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =
l C Q 22
:1O x y +=M N M
不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，
椭圆的左焦点的坐标为，
由椭圆的定义得， 所以，
由题意可得，即，
即椭圆的方程为；
（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，
舍去；
②当直线不垂直轴时，设直线
联立，消得，，
则，，
恒成立.
， 又
， N MN x y m n 2212
m n
+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =
a ∴=22a =1c =2221
b a
c =−=C 2
212
x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2
212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩
y ()
2222
124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+212222
21
k x x k −=+()()()()2
2222442122810k k k k ∆=−+−=+>2
2
AB =
()
()2
2121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()
()
2
222
8121k k +=+||AB =()
()2
2
2228132921k k +==+⎝⎭
化简得，，即，解得或（舍去），
所以，直线方程的方程为或. （3）
是定值，定值为2.
设点，，，连接，，
，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，
将点代入①②，得，
显然，满足方程，
直线的方程为，
分别令，，得到，，，，
又满足，，即.
16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性
427250k k −−=()()227510k k +−=21k =2
57
k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−
=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =
4
4
NO y k x =331MQ MO
x k k y =−
=−
44
1
NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3
333
x y y x x y −=−
−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 030304041
1
x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =0
1n x =01=m y 01y m ∴=01
x n =()00,Q x y 2
212x y +=∴22
1
112m n +=22122m n +=
质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭
圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；
(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：
为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，
故点的轨迹方程．
（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．
由韦达定理，得，，所以，
因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22
:143
x y C +
=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||
PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143
x x y y
+=11221,
4
3
1,4
3
x x
y y
x x y y
⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 22114
3x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22
(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934
y y t =−
+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+22221
12(1)12(1)||13434t t MN t t
+
+==+⋅+2222
1134347
||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。