工程力学竞赛辅导-材料力学拓展与提高PPT课件

d
32ml
3G (d2
d1 )
1 ( d13
1
d
3 2
)
思考:两端直径分别为d1、d2的圆锥形杆，受分布力 偶m的作用，如何求杆的总扭转角。
d T (x) dx
GI p ( x)
㈡超静定问题的变形协调条件
如图所示，一实心圆杆1在其外表面紧套空心圆管2。设杆的 拉压刚度分别为E1A1和E2A2 。此组合杆承受轴向拉力F，试求 其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）
解： (1) 对节点C进行受力分析
2
3
列平衡方程 (2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形
，
1
300
C 1000
F
FN2
FN3
FN1
C
F C
(3) 变形协调条件 l3 l2 sin 300 (l2 cos 300 l1)ctg300
简化后得：
△l3
△l1 C1
300
△l2
C2
1杆实际受压，2杆和3杆受拉。
解: 由平衡条件
F
2 1
F
l
变形协调条件
最后得到 l FN1l
Fl
E1 A1 E1 A1 E2 A2
㈡超静定问题的变形协调条件
设有一实心钢管，在其外表面紧套一铜管。材料的弹性模量和
线膨胀系数分别为E1，E2和αl1 ，αl2.且αl2 ＞ αl1 。两管的横截
面面积均为A。如果两者紧套的程度不会发生相互滑动，试证
桩的总的缩短量∆l，以P、l、E、A表示。
P
y
f ky2
l
f
dy dy
y (a)
y f
0 (b)
㈠利用好数学工具
解：(1) 在截面y处，轴力
FN y
y ky 2dy k y 3
0
3
当
时，FN l P dy
由
，
y
得待定常数
所以轴力为
P y
l f
dy
y
0
(a)
y
f ky2
f (b)
(2) 桩的压缩量
平衡条件
， 变形协调条件
FN1
FN 3
l
EAT (2 4
2) (压)
FN 2
l EAT (
2
2 1) (拉)
㈡超静定问题的变形协调条件
图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别 为[σ1] =80MPa，[σ2] =60MPa，[σ3] =120MPa，弹性模量分别为 E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3， 试确定各杆的横截面面积。
相同(变形协调条件)，
设圆管和圆杆各自承担的弯
矩为M1和M2,抗弯刚度为E1 I1
和E2 I2 ，即：
，
平衡条件
M1
M2
1 8
ql 2
变形协调条件 1 M1 M 2
E1I1 E2I2
E1 2E2
M1
2I1 2I1
I2
M;M2
I2 2I1
I2
M
㈡超静定问题的变形协调条件
图示梁，试求两端的约束力。
㈠利用好数学工具
解：任取一微段 R d
由平衡条件
FR 0
F 0
（1） （2）
㈠利用好数学工具
代入式（1），（2）并略去高阶微量，整理得
对上式分离变量，积分，并利用边界条件
（2）
最后可得 F P f em
其中m fπ
㈠利用好数学工具
图示悬臂圆轴AB,承受均布外力偶矩m的作用,试导 出该杆B端扭转角φ的计算公式。
㈢基础知识的重要性
3-4．材料相同的两矩形截面梁如图示，其中（b）梁是用两根 高位0.5h，宽为b的矩形截面梁叠合而成，且相互间摩擦不计， 则下面结论中正确的是（ ）。 A．强度和刚度均不相同 B．强度和刚度均相同 C．强度相同，刚度不同 D．强度不同，刚度相同
答案：A
㈢基础知识的重要性
3-6．悬臂梁采用图示三种不同的截面形状。在材料和横截面面 积均相同的条件下，从梁的弯曲正应力强度方面分析，其容许 载荷[P]值最大者为（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
解：画受力图
q
列平衡方程 ， 变形协调条件
C A
l/2
C A
l/2 q
B
B y1
联立求解即可
MA
A
FAx FAy
B y2 FB
㈡超静定问题的变形协调条件
例:已知q、l,求A、B支座反力。 解除B 处约束， 代之以约束反力 RB
由c, 梁的平衡方程
X 0,
XA 0
Y 0, YA ql RB 0
(4) 强度计算；
，
2
3
1
300
C 1000
F
综合以上条件，可得
㈡超静定问题的变形协调条件
图示两端固定的圆截面轴，直径为d，材料的切变模量为G， 截面B的转角为φB，试求所加扭力偶矩M之值。
解：(1) 受力分析，列平衡方程； M
(2) 求AB、BC段的扭矩；
Aa
B
2a
C
(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶； M
《理论力学》、《工程力学》
的
与
——解题方法总结暨竞赛辅导
系列讲座之五：
材料力学的拓展与提高
本讲座内容
㈣知识的拓展与提高 ㈢基础知识的重要性 ㈡超静定问题的变形协调条件 ㈠利用好数学工具
㈠利用好数学工具
图示圆锥形杆的长度为l，材料的弹性模量为E，质 量密度为，试求自重引起的杆的伸长量。
解：x处的轴向内力
明当组合管升温∆T后，其长度改变为 l l1E1 l2E2 lT 。E1 E2
解: 由平衡条件 变形协调条件
2(铜) 1(钢)
l
最后得到
l l1lT l1 l2
FN1
FN2
l2lT
㈡超静定问题的变形协调条件
图示刚性梁ABCD，在BD两点用钢丝悬挂，钢丝绕进定滑 轮G，F，已知钢丝的弹性模量E=210GPa，横截面面积 A=100mm2，在C处受到载荷F=20kN的作用，不计钢丝和滑轮 的摩擦，求C点的铅垂位移。 解：设钢丝轴力为FN ，杆 AB受力如图示。
答案：B
㈢基础知识的重要性
4-5.图示梁的正确的挠曲线大致形状为（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
答案：A 说明：4-5题，选择C可考虑适当给分
㈢基础知识的重要性
4-7．T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图所示。欲使其最大压应 力是其最大拉应力的3倍，若已知h=12 cm，t=3 cm，试确定其 翼板宽度b之值。 A．18 cm B．21 cm C．27 cm D．30 cm
FN
x
gV
x
g
1 3
Ax
x
杆的伸长量
l
l
0
FN xd x EAx
l
0
gAx x 3EAx
d
x
l gx d x gl 2
0 3E
6E
l x
㈠利用好数学工具
摩擦桩问题。(a)所示为埋入土中深度为l 的一根等截面木桩， 在顶部承受载荷P ，木桩弹性模量为E,横截面积为A。该载荷 完全由沿着木桩的摩擦力f ( f为沿木桩单位长度上的摩擦力)所 平衡，f按抛物线变化，如图(b)所示。试确定常数k，并确定木
3F / 2 W
130%
RA M
3m
3m
RB
3F/2
解得： F 2.6
W3
...①
(+)
x
(2) 配置辅助梁后，弯矩图为： M
依据弯曲正应力强度条件：
3F/2-Fa/4
(+)
x
max,2
M max,2 W
3F Fa 24
W
将①式代入上式，解得：
㈣知识的拓展与提高
4-8．图示自重为G、长为l的均质等钢筋，放置在水平刚性平 面上，当集中力F作用在杆端A时，AC部分被抬起，CB部分仍 与刚性平面贴合，则在截面C上（ ）。
，
MB
MA
A
B
C
与平衡方程一起联合解得
(4) 用转角公式求外力偶矩M；
㈡超静定问题的变形协调条件
均布载荷作用下的简支梁由圆管和实心圆杆套合而成，如图
所示，变形后仍紧密接触。圆管及圆杆的弹性模量分别为E1和 E2，且E1 =2 E2 。试求两杆各自承担的弯矩。
解：由梁的两部分紧密接触知：
两者变形后中性层的曲率半径
mA 0,
MA
RBl
ql 2 2
0
㈡超静定问题的变形协调条件
存在变形协调条件
yB yBq yBR 0
查表
yBq
ql 4 8EI
,
yBR
RBl 3 3EI
ql 4 RBl3 0 8EI 3EI
RB
3 8
ql
把RB之值代入平衡方程, 得
X A 0,
YA
5 8
ql,
M
A
1 8
ql 2
考虑k2 =2 k1， k1 l=EA，并由（1）、（2）式可得
㈡超静定问题的变形协调条件
图示结构中，三杆1，2，3的材料相同，横截面相同，长度 相同，它们的弹性模量为E，温度线膨胀系数为αl，横截面面 积为A，长度为l，结构布置如图示。杆2与杆1成角45°，杆3与 杆1垂直。当温度同时上升∆T时，试求三杆1，2，3的轴力。 解：
aB l
解：B处弯矩为零
MB
W 3
a
1 qa 2 2
0
W a 1 W a2 0 3 2l
a 0,
㈣知识的拓展与提高
三、画图示连续梁的剪力图、弯矩图。（25分）
要求：在剪力图、弯矩图中标注各段曲线的极值点的幅值，过
程不作要求。
2qa2
q
A
D
B
C
a
2a
2a
㈣知识的拓展与提高
四、纸条拉力赛（25分）
答案：B
㈢基础知识的重要性
3-10．圆轴上装有四个齿轮，A为主动轮，传递的外力偶矩 MA=60 N•m。B、C、D为从动轮，传递的外力偶矩分别为 MB=30 N•m、MC=15 N•m、MD=15 N•m。四个齿轮自左向右合 理的排列是( )。
A． A、B、C、D D．B、C、A、D
B．B、A、C、D C．C、B、A、D
给定由纸条、2根筷子和胶水制作而成的试件，如图a所示，在两头用胶 水与竹筷相连。将纸条分为三等份，在中间一份的任意位置用裁纸刀划出 垂直于纸条的一个切口（切口可以完全在纸中间，也可以一端与边接触）， 切口长度为1cm。固定好试件一端后，将弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子上， 弹簧秤下端挂容器，逐渐向容器中注水或沙子。如何实现在纸条断裂前弹 簧秤的读数最大。（给定工具：裁纸刀、能打出直径为2mm圆孔的打孔 器）。要求：文字叙述即可。
由 M A 0
，
钢丝长L=8m ，
D 5 C 8
㈡超静定问题的变形协调条件
图示等直杆，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，弹簧 刚度分别为k1和k2 （ k2 =2 k1 ）， k1 l=EA，q为沿轴线方向的 均匀分布力。试绘制该杆的轴力图。 解：FN1为拉力为，FN2为 压力。 平衡条件 FN1+FN2=ql （1） ， 变形协调条件
答案：C
㈣知识的拓展与提高
当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯 曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助 梁CD，试求辅助梁的最小长度a。
F
解：(1) F直接作用在梁上时，弯矩图为： a/2 a/2
此时梁内最大弯曲正应力为：
A
C
D
B
max,1
M max,1 W
A．剪力为零，弯矩不为零 B．剪力不为零，弯矩为零
C．剪力和弯矩均不为零 D．剪力和弯矩均为零
F
A
C
B
题 4－8 图
答案：B
㈣知识的拓展与提高
重为W的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分 仍与平面密合，梁的EI为已知。试求提起部分的长度a。（提 示：应用截面B处的变形条件。）
w 3
A
q w l
l l FN dy Pl
0 EA 4EA
FN Fy3 / l3 FN
㈠利用好数学工具
绳索的横截面面积为A，弹性模量为E，缠绕挂在一 端固定的轴上，重量为P的物体挂在绳索的一端，同 时用一个刚好足以阻止重物下落的水平力F将绳索压 紧在轴上。已知绳索与轴的静摩擦因数为fs，试求力F 的值。
F
P
答案：C
㈢基础知识的重要性
3-8．一铸铁工字形截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一圆孔，可 选的位置有如图所示的四种。为尽量减小对强度的损失，最合 理的方案是（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
答案：D
㈢基础知识的重要性
3-9．图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起组成。扭转变 形时，横截面上切应力分布有图示四种答案。若扭转时的平截 面假定成立，且材料工作在弹性范围内，已知钢比铝的剪切弹 性模量大，则其中正确的是（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
答案：B
㈢基础知识的重要性
4-1．图示受拉板，A点为凸起处的最高点，A点应力状态的应 力圆有图示四种可能，正确的答案为（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
答案：B
㈢基础知识的重要性
4-4．如图所示，铸铁梁有(a)、(b)、(c)、(d)四种截面形状可供 选择，根据正应力强度条件，合理的截面形状是（ ） A．(a) B．(b) C．(c) D．(d)
T ( x) ml mx m(l x) d T (x) dx
GI p
m
B A
x
l
d l T ( x) dx l m(l x) dx ml 2
0 GI p
0 GI p
2GI p
㈠利用好数学工具
【计算题】全长为l，两端直径分别为d1、d2的圆锥形杆，在 其两端各受一矩为m的集中力偶作用，如图所示。试求杆的总 扭转角。
C3
C’
㈡超静定问题的变形协调条件
图示桁架，杆1、杆2与个杆3分别用铸铁、铜与钢制成，许用应力分别 为[σ1] =80MPa，[σ2] =60MPa，[σ3] =120MPa，弹性模量分别为 E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3， 试确定各杆的横截面面积。