2015届高三模拟数学文试题 Word版含解析

高2015届“一诊”模拟考试
数学试题（文科）
一、选择题（每题5分，共50分）
1．已知集合{
}
2
4B x x =≤，则集合=B C R （ ）
A ．()2∞，+
B ．[)2∞，+
C ．()()2-∞⋃∞，-2，+
D ．(][)22-∞⋃∞，-，+
2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（ ）
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
3．已知a b ，
均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（ ） A ．1 B
C
．
2 D ．12
4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（ ）
A ．21
B ．26
C ．30
D ．55
5．()()
1
2
2
21910log log 24⎛
⎫
-- ⎪⎝+⎭
的值等于（ ） A ．2- B ．0 C ．8 D ．10
6．已知α是平面，,m n 是直线，则下列命题正确的是（ ）
A ．若,,m n m α∥
∥则n α∥ B ．若,,m n αα⊥∥则m n ⊥ C ．若m m n α⊥⊥，，则n α⊥ D ．若m n αα，∥∥，则m n ∥
7．如果实数x y ，满足等式()2
2
32x y +=-，那么
y
x
的最大值是（ ） A ．
12 B C D 8．关于x 的方程2160mx x -+=在[]110x ∈，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]8，17 B ．(]
1，8 C ．(][)88-∞-⋃+∞，， D ．5885
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
9．点12F F ，为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的左右焦点，若椭圆上存在点A 使21F AF ∆为正三角形，
那么椭圆的离心率为（ ） A ．
2
B ．12
C ．14
D 1
10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，
≤≤，设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为
1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（ ）
A ．122
x x +=
B ．1219x x <<
C ．()()340661x x <--<
D ．34925x x <<
二、填空题（每题5分，共25分） 11．已知i 是虚数单位，则复数
31i
i
+-的共轭复数是_________. 12．若4cos 5α=-
，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________. 13．若0+2=1m n m n >，，且，则
11
m n
+的最小值为________. 14．直线21ax by +=与圆2
2
1x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00Q ，之间距离的最大值为 。

15．正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1，动点P
Q ，分别在棱1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，设,BP x CQ y ==，其中[]01x y ∈，，，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）
①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1；
②当1
2x y ==时，S 为等腰梯形； ③当13
24
x y ==，时，S 为六边形；
④当11122x y ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-。

C 1
D 1
A 1
C B
A
三、解答题
16．某种零件质量标准分为1，2，3，4，5五个等级。

现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计
（1）在抽取的20（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率。

17．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知112cos 4
a b C ===，，
， （1）求ABC ∆的周长；（2）求()cos A C -的值。

18．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，构成等数列{}n b 的前三项。

（1）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （2）求数列{}n n b a +的前n 项和n T 。

19．如图1，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为
AB 上一点。

该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。

（1）证明：AE ∥平面PFC ；
（2）证明：平面PFC ⊥平面PCD 。

图2
侧（左）视图
正（主）视图
图1
D
B
20．已知椭圆C 的左，右焦点分别为())
12F F ，，且该椭圆过点1⎛- ⎝⎭。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点112A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，过原点O 的直线l 与曲线C 交于M N ，两点，求MAN ∆面积的最大值。

21．已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x ax =-。

（1）求函数()g x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值； （3）若函数()()2
h x g x bx =-恰有两个零点，求实数b 的取值范围。

C DACA BDAB
D 10．解析：不妨令b=0,函数f(x)图象与函数2x y -=的图象如图，则方程()()2x b x R f -∈=的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，2x 可能大于2，所以A 错误,又
()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，所以B 错误；
()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，
所以()()34661x x -->，则C 错误，综上可知选
D.
.
【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可. 11．1－2i 12
．10
- 13
．3+ 14
15．②④
解析：当0x =时，S 为矩形，其最大面积为
1=1
2
x y ==
时，截面如图所示，所以②正确；
当13
24
x y =
=，时，截面如图，所以③错误；
当11122x y ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，如图，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，延长DD 1，使DD 1∩QR=N ，连接AN 交A 1D 1于S ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ：D 1R=C 1Q ：D 1N ，可得11
2RD y
=-，∴④正确；综上可知正确的序号应为②④
.
.
【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.
【思路点拨】可结合频率分布表的性质求m,n ，利用列举法计算所求事件的概率.
17．（I ）5；（II ）
11
16
解析：（I ）因为2
2
2
1
2cos 14444
c a b ab C =+-=+-⨯
=，所以c=2，则△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5； （II ）因为1cos 4C =
，所以sin 4C =
，sin 4sin 2a C A c ===a ＜c,所以A ＜C,则A 为锐角，所以7cos 8A =,所以(
)7111
cos cos cos sin sin 848416
A C A C A C -=+=⨯+=.
【思路点拨】结合已知条件，恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.
18．【解析】（I ）21n a n =+，152n n b -=∙；（II ）()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦
解析：（I ）设设等差数列的公差为d ，由已知得13222315,5a a a a a ==+=+又()()52513100d d -+++=，解得d=2,所以()22221n a a n n =+-⨯=+，又125,10,2b b q ===，所以152n n b -=∙；
（II ）因为()()()()2123535272212,25325272212n n n n T n T n -=+∙+∙+++∙=∙+∙+∙+
++∙两
式相减得()(
)()2
15322222221251221n n n
n T n n -⎡⎤-=+∙+∙++∙-+∙=--⎣⎦，则
()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦.
【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常结合通项公式特征确定求和思路，本题是等差与等比的积数列，所
以用错位相减法求和.
19．解析：（I ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ．由正（主）视图可得E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD,12EQ CD =,又因为AF ∥CD,AF=
1
2
CD, 所以AFE ∥Q,AF=EQ,所以四边形AFEQ 为平行四边形，所以AE ∥FQ ．因为,AE PFC FQ PFC ⊄⊂平面平面,所以 直线AE ∥平面
PFC;
（II ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD,因为面ABCD 为正方形，所以AD ⊥CD,所以CD ⊥平面PAD ，因为AE PAD ⊂平面，所以CD ⊥AE,因为PA=AD ，E 为PD 中点，所以AE ⊥PD,所以AE ⊥平面PCD ．因为AE ∥FQ ，所以FQ ⊥平面PCD ．因为FQ PFC ⊂平面， 所以平面PFC ⊥平面PCD.
【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题，通常结合其判定定理进行证明.
20．解析：（I ）由已知可设椭圆方程为2
2
221x y a b +=，则有2222a 3
13
1
4b a b
⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以所求的椭圆方程为2
214
x y +=； （II ）①当直线斜率不存在时，1MAN S ∆=;
②当直线斜率存在时，设直线l:y=kx 与椭圆交于()()1122x ,,,M y N x y ，将y=kx 代入椭圆方程
得
MN =，
点
A
到
直
线
l
的
距
离
d =
，所
以
214414*********+4k 1+4k 4k k k S MN d S MAN MAN k k
-+===-=-∆∆+，所以当1
k 2
=-
【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.
21．【解析】（I ）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)；（II ）1
4
；（III ）b ＜-e. 解析：（I ）因为()()2ln 1
'0,1ln x g x x x x
-=>≠，所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)；
（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，则()2
ln 1
'0ln x g x a x
-=
-≤在区间(1,+ ∞)上恒成立，令()2
2
2ln 1111111
ln ln ln ln 244
x h x x x x x -⎛⎫⎛⎫==-=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以14a ≥； （III ）若函数()(
)2
h x g x
b x =-恰有两个零点，则1
ln b x x
=
有两个不同的实数根，令()()ln ,'ln 1h x x x h x x ==+，所以函数h(x)在(0,+ ∞)上有最小值，即()11h x h e e ⎛⎫
≥=- ⎪⎝⎭
，当x 大于零趋近
于零时，h(x)趋近于零，当x 趋向于+∞时h(x) 趋向于+∞，所以b ＜-e.
【思路点拨】一般遇到由函数的单调性求参数范围问题，通常转化为不等式恒成立求函数的最值问题进行解答.。