2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）
A．B．C．D．
2．已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）
A．10 B．5 C． D．﹣10
3．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（）
A．70家B．50家C．20家D．10家
4．已知sin（+α）=，则sin（﹣α）值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
5．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（）
A．B．C．D．
6．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）
A．B．C．D．
7．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11
8．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）
A． B．C．D．
9．若||=，||=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 11．设x ∈（﹣，
）且cos （﹣x ）=﹣，则cos2x 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数f （x ）=2sin （）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ）
A ．﹣32
B ．﹣16
C ．16
D ．32
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s ）的数据
试问：选 （填甲或乙）参加某项重大比赛更合适．
14．在△ABC 中，已知tanA ，tanB 是方程3x 2﹣7x +2=0的两个实根，则tanC= ． 15．已知向量=（2，1），=（1，7），=（5，1），设X 是直线OP 上的一点（O 为坐标原点），那么
的最小值是 ． 16．在直角坐标系xoy 中，已知点A ，B ，C 是圆x 2+y 2=4上的动点，且满足AC ⊥BC ，若点P 的坐标为（0，3），则|++|的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤） 17．已知0＜α＜
，sin α=．
（1）求tan α的值； （2）求cos2α+sin （α+
）的值．
（2）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．
附： ==， =﹣．
19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．已知函数f（x）=3cos2（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的
最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为π．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x0）=，x0∈（，），求f（x0+）的值．
21．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；
（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线y=x+1左上方”的概率．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（下）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）
A．B．C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
【分析】先利用诱导公式使tan600°=tan60°，进而根据求得答案．
【解答】解：∵，
∴．
故选A
2．已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）
A．10 B．5 C． D．﹣10
【考点】平行向量与共线向量；平面向量的正交分解及坐标表示．
【分析】由题中向量的坐标结合向量平行的坐标表示公式，列出关于x的方程并解之，即可得到实数x的值．
【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，
∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10
故选：D
3．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（）
A．70家B．50家C．20家D．10家
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家，
∴按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市为=20，
故选：C．
4．已知sin（+α）=，则sin（﹣α）值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】直接利用诱导公式化简sin（﹣α），求出sin（+α）的形式，求解即可．
【解答】解：
故选C．
5．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】本题利用几何概型求解．先根据到点O的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P到点O的距离大于1的概率．
【解答】解：∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图，
则点P到点O的距离大于1的概率为：
P==
=
=，
故选：B．
6．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．
【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，
至少一次正面朝上的对立事件的概率为，
1﹣=．
故选D．
7．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11
【考点】循环结构．
【分析】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i≥11应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．
【解答】解：∵S=
并由流程图中S=S+
故循环的初值为1
终值为10、步长为1
故经过10次循环才能算出S=的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
∴当i≥11，应满足条件，退出循环
填入“i≥11”．
故选D．
8．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）
A． B．C．D．
【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．
【分析】利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可．
【解答】解：对于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，
f（）=sin=1为最大值，故其图象关于x=对称，
由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，
∴y=f （x ）=sin （2x ﹣）在上是增函数，
即y=f （x ）=sin （2x ﹣）具有性质①②③，
故选：A ．
9．若||=，||=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角． 【解答】解：设向量的夹角为θ，
∵， ∴， ∴， 即2﹣2cos θ=0，
∴
，
∵0≤θ≤π，
∴
，
故选B ． 10．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；
∴基本事件总数为10；
设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A ，则A 包含的基本事件个数为=6；
∴P （A ）==0.6．
故选：B ．
11．设x ∈（﹣，
）且cos （﹣x ）=﹣，则cos2x 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】首先角的范围得出﹣x ∈（0，π），根据同角三角函数的基本关系求出sin （）的值，然
后根据二倍角的余弦公式得出结果．
【解答】解：∵
∴
﹣x ∈（0，π）
∴sin （）==
sin （﹣2x ）=sin [2（
）]=2sin （）cos （）=2××=﹣
cos2x=﹣
故选；B ．
12．若函数f （x ）=2sin （）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ）
A ．﹣32
B ．﹣16
C ．16
D ．32
【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【分析】由f （x ）=2sin （
）=0，结合已知x 的范围可求A ，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由正
弦函数的对称性可知B ，C 两点关于A 对称即x 1+x 2=8，y 1+y 2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解
【解答】解：由f （x ）=2sin （
）=0可得
∴x=6k ﹣2，k ∈Z
∵﹣2＜x ＜10
∴x=4即A （4，0） 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）
∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点 ∴B ，C 两点关于A 对称即x 1+x 2=8，y 1+y 2=0
则（+）•=（x 1+x 2，y 1+y 2）•（4，0）=4（x 1+x 2）=32 故选D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s ）的数据
试问：选 乙 （填甲或乙）参加某项重大比赛更合适． 【考点】极差、方差与标准差．
【分析】先做出甲和乙的速度的平均数，甲和乙的速度的平均数相同，需要再比较两组数据的方差，选方差较小运动员参加比赛比较好． 【解答】解：平均速度
=（27+38+30+37+35+31）=33；
=（33+29+38+34+28+36）=33．
s
甲
2= [（﹣6）2+52+（﹣3）2+42+22+（﹣2）2]=；
s
乙
2= [（﹣4）2+52+12+（﹣5）2+32]=．
∵=，s
甲2＞s
乙
2，
∴乙的成绩比甲稳定．
应选乙参加比赛更合适．
故答案为乙
14．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC=﹣7．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】首先根据韦达定理表示出两根之和tanA+tanB与两根之积tanAtanB，然后根据三角形的内角和为π，把角C变形为π﹣（A+B），利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把tanA+tanB 与tanAtanB代入即可求出值．
【解答】解：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，
则tanA+tanB=，tanAtanB=，
∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）=﹣=﹣7
故答案为：﹣7
15．已知向量=（2，1），=（1，7），=（5，1），设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么
的最小值是﹣8．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】先设出X的坐标，则的坐标可得，进而利用平面向量的运算法则求得的表达式，
利用对称轴求得λ，求得最小值．
【解答】解：∵X是直线OP上的点，则设X（2λ，λ）
即有（1﹣2λ，7﹣λ），（5﹣2λ，1﹣λ）
∴=（1﹣2λ）（5﹣2λ）+（7﹣λ）（1﹣λ）=5﹣2λ﹣10λ+4λ2+7﹣7λ﹣λ+λ2=5λ2﹣20λ+12
对称轴为λ=﹣（﹣20）÷（5×2）=2
∴最小值为5×2×2﹣20×2+12=﹣8
故答案为：﹣8
16．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，C是圆x2+y2=4上的动点，且满足AC⊥BC，若点P的坐标为（0，3），则|++|的最大值为11．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由AC⊥BC，AB为直径，可设A（﹣2，0），B（2，0），C（m，n），且m2+n2=4，求得|++|，可得几何意义，即为圆上的点与（0，9）的距离，连接PO，延长交圆于D，计算即可得到所求最大值．【解答】解：由AC⊥BC，AB为直径，可设A（﹣2，0），B（2，0），
C（m，n），且m2+n2=4，
点P的坐标为（0，3），
即有|++|=|（﹣2，﹣3）+（2，﹣3）+（m，n﹣3）|
=|（m，n﹣9）|=表示圆上的点与（0，9）的距离，
连接PO，延长交圆于D，|PD|即为最大值，
且为9+2=11．
故答案为：11．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤）17．已知0＜α＜，sinα=．
（1）求tanα的值；
（2）求cos2α+sin（α+）的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得答案．
（2）利用二倍角公式与诱导公式对已知进行化简，进而结合（1）可得答案．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
所以．…
（2）根据二倍角公式与诱导公式可得：
．…
（2）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．
附：==，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）求出相关系数，能求出利润额y对销售额x的回归直线方程．
（2）由利润额y对销售额x的回归直线方程，能求出当销售额为4千万元时的利润额．
【解答】解：（1）设线性回归方程为y=bx+a，易得；
∴，
∴y对x的线性回归方程为y=0.5x+0.4．
（2）当销售额为8（千万元）时，利润额约为y=0.5×8+0.4=4.4（百万元）．
19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
【考点】等可能事件的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
20．已知函数f（x）=3cos2（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的
最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为π．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x0）=，x0∈（，），求f（x0+）的值．
【考点】余弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得A点的纵坐标和BC=的值．再根据三角形ABC
的面积为π，求得ω的值，可得f（x）=sin（2x+），由此求得函数f（x）的值域．
（2）由f（x0）=，可得sin（2x0+）=．由x0∈（，）求得cos（2x0+）的值，可得f （x0+）=cos（2x0+）的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=3cos2=+sinωx﹣=
（cosωx+sinωx）=sin（ωx+），
故A点的纵坐标为，BC==．
根据三角形ABC的面积为••=π，可得ω=2，
∴f（x）=sin（2x+），故函数f（x）的值域为[﹣，]．
（2）由f（x0）=sin（2x0+）=，可得sin（2x0+）=．
由x0∈（，），可得2x0+∈（，），∴cos（2x0+）=﹣，
故f（x0+）=sin[2（x0+）+]=sin（2x0+）=cos（2x0+）=×（﹣）=﹣．
21．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；
（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线y=x+1左上方”的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）列表求出基本事件共25个，事件A共包括15个基本事件，由此能求出取出球的号码之和不小于6的概率．
（2）基本事件共25个，求出事件B=“点（x，y）落在直线y=x+1左上方”包含的基本事件个子数，由此能求出点（x，y）落在直线y=x+1左上方的概率．
事件A=“取出球的号码之和不小于6”，
事件A共包括15个基本事件，
故所求事件A的概率为P（A）==．
（2）由上表可知基本事件共25个，事件B=“点（x，y）落在直线y=x+1左上方”，
事件B共包括有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5）（3，5）共6个基本事件，
故所求的概率为P（B）=．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）根据，，求出x0，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x0）的值；
（3）（3），
，进而得到答案．
【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）
，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∴，
∴，，
∴；
（2），
；
（3），
，
=
，
∵，∴a∈[﹣2，1]．
2016年8月23日。