吉林省2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

吉林省2020年中考数学试卷
一、单选题（共6题；共12分）
1.﹣6的相反数是（）
A. ﹣6
B. ﹣1
6C. 6 D. 1
6
【答案】C
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】−6的相反数是：6，
故选C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.
2.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据V用科学记数法表示为（）
A. 11.09×106
B. 1.109×107
C. 1.109×108
D. 0.1109×108
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法
则11090000=1.109×107
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
3.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】由左视图的定义得：这个立体图形的左视图由2行1列组成，其中，每行上只有1个小正方形，1列上有2个小正方形
观察四个选项可知，只有选项A符合
故答案为：A．
【分析】根据左视图的定义即可得．
4.下列运算正确的是（）
A. a2⋅a3=a6
B. (a2)3=a5
C. (2a)2=2a2
D. a3÷a2=a
【答案】 D
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方
【解析】【解答】A、a2⋅a3=a2+3=a5，此项不符合题意
B、(a2)3=a2×3=a6，此项不符合题意
C、(2a)2=4a2，此项不符合题意
D、a3÷a2=a3−2=a，此项符合题意
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可．
5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）
A. 85°
B. 75°
C. 65°
D. 60°
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故答案为：B．
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．6.如图，四边形ABCD内接于⊙O．若∠B=108°，则∠D的大小为（）
A. 54°
B. 62°
C. 72°
D. 82°
【答案】C
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】因为，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°
所以，∠D=180°- ∠B=180°−108°=72°
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠D的度数．
二、填空题（共8题；共8分）
7.分解因式：a2−ab=________．
【答案】a（a﹣b）
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：a2−ab=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
8.不等式3x+1>7的解集为________．
【答案】x＞2
【考点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x+1>7，
移项：3x>7−1，
合并同类项：3x>6，
系数化成1：x>2，
所以不等式的解集为：x>2；
故答案为：x>2．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
9.一元二次方程x2+3x−1=0根的判别式的值为________．
【答案】13
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，
∴△=b2-4ac=9+4=13．
所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值．
10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为________．
【答案】（240-150）x=150×12
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
11.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________．
【答案】垂线段最短
【考点】垂线段最短
【解析】【解答】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
12.如图，AB//CD//EF．若AC
CE =1
2
，BD=5，则DF=________．
【答案】10
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴AC
CE =BD
DF
，
又∵AC
CE =1
2
，BD=5，
∴5
DF =1
2
，
∴DF=10，故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例得到AC
CE =BD
DF
，由条件即可算出DF的值．
13.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为1
2
．则四边形DBCE 的面积为________．
【答案】3
2
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE//BC,DE=1
2 BC
∴△ADE∼△ABC
∴S△ADE
S△ABC =(DE
BC
)2=1
4
，即S△ABC=4S△ADE
又∵S△ADE=1
2
∴S△ABC=4×1
2
=2
则四边形DBCE的面积为S△ABC−S△ADE=2−1
2=3
2
故答案为：3
2
．
【分析】先根据三角形中位线定理得出DE//BC,DE=1
2
BC，再根据相似三角形的判定与性质得出
S△ADE S△ABC =(DE
BC
)2，从而可得△ABC的面积，由此即可得出答案．
14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⌢的长为________（结果保留π）．
【答案】π
2
【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，弧长的计算
【解析】【解答】由题意知：AB=CB，AD=CD，
∴△ABC和△ADC是等腰三角形，AC⊥BD．
∵∠ABD=∠ACD=30°，AD=1
∴OD= 1
2，OA= √3
2
∴OB= 3
2
．
∵∠ABD= 30°，r=3
2∴∠EBF= 60°，
EF⌢= 60°
360°
×2πr
=1
3π×3
2
=π
2
．
故答案为π
2
．
【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解．
三、解答题（共12题；共109分）
15.先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)−1，其中a=√7．
【答案】解：原式= a2+2a+1+a−a2−1
= 3a
将a=√7代入
原式= 3√7．
【考点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将a=√7代入即可．
16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．
【答案】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P
（小吉抽到两张卡片中有A卡片）= 5
9
．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）
由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小
吉抽到两张卡片中有A卡片）= 5
9
．
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率．
17.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．
【答案】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+6)个零件，由题意得：
90 x+6=60
x
，解得：x=12，
经检验：x=12是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x=12，
答：乙每小时做12个零件．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出答案．
18.如图，在ΔABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC并截取
DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．
求证：ΔDEB≅ΔABC．
【答案】证明：∵DE//AC，
∴∠A=∠EDB，
在△ABC和△DEB中，
{BD=CA
∠EDB=∠A
DE=AB
，
∴ΔDEB≅ΔABC（SAS）．
【考点】平行线的性质，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS即可证得ΔDEB≅ΔABC．
19.如图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个ΔDEF，使ΔDEF与ΔABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【答案】（1）解：如图①，3×3的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接MN即为所求；
（2）解：如图②，同理（1）可得，PQ即为所求；
（3）解：如图③，同理（1）可得，ΔDEF即为所求．
【考点】轴对称的性质，作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先画出一条3×3的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；
20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°= 0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73）
【答案】解：由题意可知DE=CB=35，BE=CD=1.5，∠EDA=36°，
=tan36°，
在直角△ADE中，tan∠EDA=AE
DE
∵tan36°=0.73，
∴AE
=0.73，即AE=25.55，
35
∴AB=AE+BE=25.55+1.5=27.05≈27，
因此塔AB的高度为27m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
，可求出AE的长，从而得到AB的高度．
【解析】【分析】通过tan∠EDA=AE
DE
21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=k
(x>0)的图象上（点B的横坐
x
标大于点A的横坐标），点A的坐示为(2,4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
【答案】（1）解：将点A的坐标为(2,4)代入y=k
x
(x>0)，可得k=xy=2×4=8，
∴k的值为8；
（2）解：∵k的值为8，
∴函数y=k
x 的解析式为y=8
x
，
∵D为OC中点，OD=2，
∴OC=4，
∴点B的横坐标为4，将x=4代入y=8
x
，可得y=2，
∴点B的坐标为(4,2)，
∴S
四边形OABC =SΔAOD+S
四边形ABCD
=1
2
×2×4+1
2
(2+4)×2=10．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标为(2,4)代入y=k
x
(x>0)，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查，将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．
表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）
表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）
表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）
根据以上材料，回答下列问题：
（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．
【答案】（1）解：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性；
答：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况．小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性
（2）解：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数：
=260（人）
600× 26
60
答：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数是260人．
【考点】全面调查与抽样调查，用样本估计总体
【解析】【分析】（1）根据抽样调查的要求，所抽样本必须具有代表性，要保证所有个体都有相同的机会被抽到，样本的容量要适当；（2）根据样本的情况估计总体情况，利用室内体育活动方式进行减压的人
人数：600× 26
60
23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为
5L．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
【答案】（1）3；0.5
（2）解：由函数图象得：当x=10min时，机器油箱加满，并开始工作；当x=60min时，机器停止工作
则自变量x的取值范围为10≤x≤60，且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)
设机器工作时y关于x的函数解析式y=kx+b
将点 (10,30),(60,5) 代入得： {10k +b =3060k +b =5
解得 {k =−12b =35
则机器工作时y 关于x 的函数解析式 y =−12x +35 ；
（3）解：设机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =ax
将点 (10,30) 代入得： 10a =30
解得 a =3
则机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =3x
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当 y =302=15 时， 3x =15 ，解得 x =5
②在机器工作过程中
当 y =302=15 时， −12x +35=15 ，解得 x =40 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值为5或40．
【考点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 3010=3(L)
机器工作的过程中每分钟耗油量为 30−560−10=0.5(L)
故答案为：3，0.5；
【分析】（1）根据 10min 加油量为 30L 即可得；根据 60min 时剩余油量为 5L 即可得；（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；（3）先求出机器加油过程中的y 关于 x 的函数解析式，再求出 y =15 时，两个函数对应的x 的值即可．
24.能够完全重合的平行四边形纸片 ABCD 和 AEFG 按图①方式摆放，其中 AD =AG =5 ， AB =9 ．点D ，G 分别在边 AE ， AB 上， CD 与 FG 相交于点H ．
（1）（探究）求证：四边形 AGHD 是菱形．
（2）（操作一）固定图①中的平行四边形纸片 ABCD ，将平行四边形纸片 AEFG 绕着点 A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为________．
（3）
（操作二）四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，
CF，如图③若sin∠BAD=4
5
，则四边形DCFG的面积为________．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形
∴AE//GF,AB//DC，即AD//GH,AG//DH
∴四边形AGHD是平行四边形
又∵AD=AG=5
∴平行四边形AGHD是菱形；
（2）56
（3）72
【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M
∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形
∴AD=FE,∠D=∠E，DF=AB=9
在△ADH和△FEH中，{
∠D=∠E
∠AHD=∠FHE
AD=FE
∴△ADH≅△FEH(AAS)
∴AH=FH，△ADH和△FEH的周长相等
同理可得：△ADH≅△FEH≅△FBM≅△AGM
∴△ADH、△FEH、△FBM、△AGM的周长均相等
又∵AD=5,DF=AB=9
∴△ADH的周长为L△ADH=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4L△ADH=4×14=56
故答案为：56；
操作二：如图，设AB与DG相交于点N
∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形
∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD//AB//FG ∴△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG
∴AB⊥DG，DN=NG=1
2
DG
∴CD⊥DG
在Rt△ADN中，sin∠NAD=DN
AD =4
5
，即DN
5
=4
5
解得DN=4
∴DG=2DN=8
又∵CD//FG,CD=FG
∴四边形DCFG是平行四边形
∵CD⊥DG，即∠CDG=90°
∴平行四边形DCFG是矩形
则四边形DCFG的面积为DG⋅CD=8×9=72
故答案为：72．
【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得AD//GH,AG//DH，再根据平行四边形的判定可得四边形AGHD是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；
操作一：先根据菱形的性质得出AD=FE,∠D=∠E，再根据三角形全等的判定定理与性质可得
AH=FH，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；
操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得△ADG是等腰三角形，且AB平分
∠DAG，再根据等腰三角形的三线合一可得AB⊥DG，DN=NG=1
2
DG，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形DCFG是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．
25.如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D 在PQ异侧．设点P的运动时间为x(s)(0<x<2)，△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y (cm2)．
（1）AP的长为________ cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）2x
（2）解：如图，
∵△ABC和△PQD都是等边三角形
∴∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP
∵PQ⊥AB，即∠APQ=∠BPQ=90°
∴∠AQP=90°−∠A=30°，∠BPD=∠BPQ−∠DPQ=30°
在△APQ和△BDP中，{
∠A=∠B
∠AQP=∠BPD=30°
PQ=DP
∴△APQ≅△BDP(AAS)
∴AQ=BP
∵AB=4,AP=2x
∴AQ=BP=AB−AP=4−2x
∵在Rt△APQ中，∠AQP=30°
∴AP=1
2AQ，即2x=1
2
(4−2x)
解得x=2
3
；
（3）解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC=AB=4
当点Q与点C重合时，AP=1
2AQ=1
2
×4=2
则2x=2，解得x=1
结合（2）的结论，分以下三种情况：
①如图1，当0<x≤2
3
时，重叠部分图形为△PQD
由（2）可知，等边△PQD的边长为PQ=√3AP=2√3x 由等边三角形的性质得：PQ边上的高为√3
2
PQ=3x
则y=1
2
⋅2√3x⋅3x=3√3x2
②如图2，当2
3
<x≤1时，重叠部分图形为四边形EFPQ
∵∠B=60°,∠BPD=30°
∴∠BFP=180°−∠B−∠BPD=90°
则在Rt△BFP中，BF=1
2BP=1
2
(4−2x)=2−x，PF=√3BF=√3(2−x)
∴DF=PD−PF=2√3x−√3(2−x)=3√3x−2√3
在Rt△DEF中，tanD=EF
DF
，即EF=tan60°⋅DF=√3DF 则y=S四边形EFPQ=S△PQD−S Rt△DEF
=3√3x2−1
2
DF⋅EF
=3√3x2−√3
2
(3√3x−2√3)2
=−21√3
2
x2+18√3x−6√3
③如图3，当1<x<2时，重叠部分图形为△MPQ
同②可知，BM=1
2BP=1
2
(4−2x)=2−x，PM=√3BM=√3(2−x)
在Rt△MPQ中，tan∠MPQ=MQ
PM
，即MQ=tan60°⋅PM=√3PM
则y=S△MNP=1
2
PM⋅MQ
=√3
2
⋅[√3(2−x)]2
=3√3
2
(x−2)2
综上，当0<x≤2
3时，y=3√3x2；当2
3
<x≤1时，y=−21√3
2
x2+18√3x−6√3；当1<x<
2时，y=3√3
2
(x−2)2．
【考点】三角形的面积，三角形全等及其性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定（AAS）
【解析】解：（1）由题意得：AP=2x(cm)
故答案为：2x；
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可得；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP，再根据垂直的定义可得∠AQP=∠BPD=30°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ=BP，最后在Rt△APQ中，利用直角三角形的性质列出等式求
解即可得；（3）先求出点Q与点C重合时x的值，再分0<x≤2
3、2
3
<x≤1和1<x<2三种情况，
然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1
2x2+bx+3
2
与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为
(3,0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于
点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为−m+3
2
，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b 的值．
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．
（3）当矩形 PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．
（4）当抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
【答案】 （1）解：将点 A(3,0) 代入 y =−12x 2+bx +32
得 0=−12×32+3b +32 ，
解得b=1,；
（2）解：由（1）可得函数的解析式为 y =−12x 2+x +32 ，
∴ P(m,−12m 2+m +32) ,
∵ PQ ⊥l 于点Q ，
∴ Q(3,−12m 2+m +32) ,
∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为 −m +32 ，
∴ M(3,−m +32) ，
若点Q 与点M 重合，则
−12m 2+m +32=−m +32
， 解得 m 1=0,m 2=4 ；
（3）解：由（2）可得 PQ =|3−m| ， MQ =|(−m +32)−(−12m 2+m +32)|=|12m 2−2m| ， 当矩形 PQMN 是正方形时， PQ =MQ
即 |12m 2−2m|=|3−m| ，
即 12m 2−2m =3−m 或 12m 2−2m =m −3 ，
解 12m 2−2m =3−m 得 m 1=√7+1,m 2=−√7+1 ，
解 12m 2−2m =m −3 得 m 3=3+√3,m 2=3−√3 ，
又 y =−12x 2+x +32=−12(x −1)+2 ，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P 点在抛物线对称轴左侧，即 m <1 ，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即 −m +32>2 ，
解得m<−1
2
，故m的值为−√7+1；
（4）解：①如下图
当m≤1时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即−m+3
2<−1
2
m2+m+3
2
且−1
2
m2+m+3
2
>0，
解−m+3
2<−1
2
m2+m+3
2
得0<m<4，
解−1
2m2+m+3
2
>0得−1<m<3，
∴0<m≤1，
②如下图
当1<m<3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即−m+3
2<−1
2
m2+m+3
2
，解得0<m<4，
∴1<m<3；
③当m=3时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当m>3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即−m+3
2>−1
2
m2+m+3
2
，解得m<0或m>4，
故m>4，
综上所述0<m<3或m>4．
【考点】正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形PQMN是正方形时PQ=MQ，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；（4）分m≤1，1<m<3，m=3，m>3四种情况讨论，结合图形分析即可．。