高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4
D 2
3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23
-
B ．13
C ．43
D ．2
4．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．3
6．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a b
ab
+的最小值为（ ） A ．9
B ．8
C ．6
D ．10
7．已知圆2
2
1:4240C x y x y ++--=，2
2
23311:222C x y ⎛
⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）
A ．2
B ．
C ．2
D ．1
8．设0r >，圆()()2
2
213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切
B ．相交
C ．内切或内含
D ．外切或相离
9．已知圆C ：()()22
cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）
A ．1
B C D ．2
10．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．无法确定
12．若直线:1l y kx =-与圆()()2
2
:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()2
2:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定
二、填空题
13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.
14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.
15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.
16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题
17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；
（2）当4MN =时，求直线l 的方程.
18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．
（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．
19．直线l ：y x =与圆C ：()()22
1316x y -+-=相交于A 、B 两点．
（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．
20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；
（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．
21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.
（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.
22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；
（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）
参考答案
1．B 【分析】
分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，
由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r
，
则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】
根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，
当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为
d =
，
由勾股定理得22
2
12+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,
)2m
M ，半径为||2
m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴|
|1|(1)|22
m m
+=--，∴0m >，
∵圆M 与直线l 相切，
∴|4|
2m m -
+=
2m =， 故选:B 3．C 【分析】
根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】
圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，
当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，
故有2d =
≤，解得403k ≤≤
，即k 的最大值为43
， 故选：C. 4．A 【分析】
由于直线过定点(1,1)--P
，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】
∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP
，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，1
1m
=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】
根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】
由方程224210x y x y +-++=得()()2
2
214x y -++=，圆心为()2,1C -，
因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，
则AC =4AB =.
故选：A ． 6．A 【分析】
求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】
解：圆224210x y x y ++-+=，即()()2
2
214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，
则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab ab
ab
+++++⋅==
=，
当且仅当13
b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】
先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】
由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.
又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离
d =
=所以这两圆的公共弦的弦长为2
2
222322
2d .
故选：C. 8．D 【分析】
计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】
两圆的圆心距d 4r +，
4r +，所以两圆不可能外切或相离．
9．C 【分析】
由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C
到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦
长AB =. 【详解】
解：由圆C ：()()2
2
cos sin 3x y θθ-+-=，
知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，
∵原点O
到直线1y =-
1
2
=
，则点C 到直线1y =-的距离d 的
最大值为13
122
+=，
由AB =d 取最大值3
2
时，线段AB
故选：C ．
10．D 【分析】
根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】
直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．
D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得
0a >，0b <，正确.
11．A 【分析】
求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】
解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，
由()224310x y k x y +++-=，得2
22325(2)()124x k y k k +++=+，
所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --
，半径2r
所以12121C C r r +=
1>0k ≠）
1，所以1221C C r r >-
所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】
由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k
；分别在2k =
2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】
由圆C 方程知其圆心()2,1C
直线l 与圆C
相切，=
2k =
由圆D 方程知其圆心()2,0D
，半径r =
∴圆心D 到直线l
距离d =
当2k =
((
)2
22
2
33021
d r
+-=-=<+，即d r <，
此时圆D 与直线l 相交；
当2k =
((
)222
2
33021
d r --=
-=<+，即d r <，
此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】
由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-=
=，再
由点到直线的距离公式求解即可 【详解】
由题意知，圆的标准方程为()2
214x y ++=，
较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-=
=1k =或3k =-.
故答案为：1或3- 14
．【分析】
由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】
解：由题意得直线方程为tan60y x =︒
0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)
0y -=
的距离为1d =
=，
所以所求弦长为=
故答案为：
15．x =2
或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：
斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；
斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.
【详解】
圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：(
)(22 11x y -+=，
所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；
过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，
因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
1=
，解得：k =，此时l
：)2y x =-. 故答案为：x =2
或)2y x =-. 16．(,1]-∞
【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.
【详解】
因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，
所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2
222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，
故答案为：(,1]-∞.
17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.
【分析】
（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直
线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.
【详解】
解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =
因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=
（2）①当直线l 的斜率不存在时
因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.
由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.
②当直线l 的斜率存在时
设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=
圆心A 到直线l 的距离1d =
因为22
21
2MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
所以2
45+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =
综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.
18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】
（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；
（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，
设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，
变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．
【详解】
解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．
当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，
()23B -，，2AB =，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，
则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34
k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，
综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．
（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．
所以PMC △为直角三角形．所以222
PM PC MC =-．
设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，
P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，
代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =
19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）
【分析】
（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；
（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.
【详解】
（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得
2b =±
所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；
（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD =
=，
∴AB ==
∴1122
ABC S AB CD =⋅=⨯△
20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；
（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.
【详解】
（1）由20142
RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，
由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩
可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，
所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；
（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，
所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，
故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，
此时tan POA ∠最大，tan
POA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.
【分析】
（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.
（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.
【详解】
解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，
即圆心()C 3,2-，半径3r =，
所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d =
=
所以弦长 2MN ==；
（2）5PC ，又3r =，
所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，
即PQ 的最大值为8，最小值为3.
22．（1）证明见解析；（2）5
【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；
（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值
为OC =.
【详解】
解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22
125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，
所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；
（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =
所以2AB r ==
所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，
故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =
所以OAB 的面积最大值为11522
AB OC =。