高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

外接球专题练习
1.已知菱形ABCD满足,|AB|=2,∠ABC=,将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D,则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为()A.πB.8πC.7πD.
2.如图,四面体ABCD中,面ABD和面BCD都是等腰Rt△,AB=,∠BAD=∠CBD=,且二面角A﹣BD﹣C的大小为,若四面体ABCD的顶点都在球O上,则球O的表面积为()
A.12πB.20πC.24πD.36π
3.如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.41πD.31π
4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到(三棱锥的顶点均在球面上).若该几何体的三视图如图所示(侧视图中的四边形为菱形),则该三棱锥的体积为()
A.B.C.D.
5.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()
A.2+2+2B.4+4+2C.2+4+4D.4+4+4 6.某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为()
A.25πB.C.D.40π7.如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()
A.18+2+B.15++C.12++D.18++ 8.在四面体ABCD中,AD⊥底面ABC,,E为棱BC的中点,点G在AE上且满足AG=2GE,若四面体ABCD的外接球的表面积为,则tan∠AGD=()
A.B.2C.D.
9.在三棱锥S﹣ABC中,,且三棱锥S﹣ABC的体积为,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.4πB.16πC.36πD.72π
10.如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则当正四棱锥体积最大时,该正四棱锥外接球的表面积为()
A.B.C.D.
11.已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上,底面△ABC是以C为直角
顶点的直角三角形,AB=2,PA=PB=PC=,则球O的表面积为()A.9πB.C.4πD.π
12.四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD,且三角形PAB是等边三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为()A.πB.C.4πD.π
13.已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上,△ABC为边长为的正三角形,△ABD是以BD为斜边的直角三角形,且AD=8,二面角C﹣AB﹣D 为120°,则球O的表面积为()
A.B.124πC.D.31π
14.已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上,∠ABC=120°,AA1=BC=AB=1,则球O的表面积为()
A.7πB.6πC.5πD.4π
15.三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为()
A.23πB.C.D.64π
16.已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且AB=SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,已知平面α经过点A1,且平行于平面B1D1E,平面α与平面ABCD交于直线m,与平面ABB1A1交于直线n,则直线m,n所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PO⊥平面ABCD,E为线段AP的中点,底面ABCD为菱形,若BD=2,PC=4,则异面直线DE与PC所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
19.已知异面直线a,b所成的角为60°,过空间一点O的直线与a,b所成的角均为60°,这样的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是侧面ADD1A1内的动点,且B1E∥平面BDC1,则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是()
A.B.C.D.
21.四个同样大小的球O1,O2,O3,O4两两相切,点M是球O1上的动点,则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为()
A.[]B.[]C.[]D.[]
第Ⅱ卷(非选择题)
二.解答题(共19小题)
22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2CD=2CB=PA=PD,F为AD的中点.
(1)证明:PB⊥BC;
(2)求直线CF与平面PBC所成角的正弦值.
23.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,CD=SB=,SD=4,P为侧棱SD 上的点,SD⊥面APC.
(1)求二面角S﹣AC﹣D的余弦值;
(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面APC,若存在,求出SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
24.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,PD=AD=,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
25.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系,解决以下问题:
(1)求异面直线AB与A1C所成角的余弦值;
(2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
26.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是边长为2的等边三角形,直线PB与底面ABCD所成的角为45°,PA=2CD,PD=,E是棱PD的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)在棱PB上是否存在一点T,使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为?若存在,请指出T的位置;若不存在,请说明理由.
27.已知几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(1)连接B1C,若M为AB的中点,在线段CB上是否存在一点P,使得MP∥平面CNB1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
(2)求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值.
28.已知四棱锥S﹣ABCD,四边形ABCD是正方形,BA=AS=SD=2,S△ABS=2.(1)证明:平面ABCD⊥平面SAD;
(2)若M为SD的中点,求二面角B﹣CM﹣S的余弦值.
29.如图1,ABCD为梯形,AB∥CD,∠C=60°,点E在CD上,AB=EC=DE=2,BD⊥BC.现将△ADE沿AE折起如图2,使得平面DBC⊥平面ABCE.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ABCE;
(Ⅱ)求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值.
30.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,BC⊥PB,AB⊥BC,AD∥BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,.
(1)求二面角P﹣CD﹣A的余弦值;
(2)若点E在棱PA上,且BE∥平面PCD,求线段BE的长.
参考答案与试题解析
一.选择题(共21小题)
1.已知菱形ABCD满足,|AB|=2,∠ABC=,将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D,则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为()A.πB.8πC.7πD.
【解答】解:由题意菱形ABCD满足,|AB|=2,∠ABC=,
∴AC=2,DB=,
将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D,
∴三棱锥B﹣ACD高为.
底面ACD外接圆半径为,
外接球半径为R,球心与圆心的距离为d,
d2+r2=R2……①
……②
由①②解得:R2=
外接球的表面积S=.
故选:A.
2.如图,四面体ABCD中,面ABD和面BCD都是等腰Rt△,AB=,∠BAD=∠CBD=,且二面角A﹣BD﹣C的大小为,若四面体ABCD的顶点都在球O上,则球O的表面积为()
A.12πB.20πC.24πD.36π
【解答】解:取CD中点E,BD中点F,连结BE、AF、EF,
∵四面体ABCD中,面ABD和面BCD都是等腰Rt△,AB=,∠BAD=∠CBD=,且二面角A﹣BD﹣C的大小为,
∴AF⊥BD,EF⊥BD,∴∠AFE是二面角A﹣BD﹣C的平面角,,
BD=BC==2,CD=,CE=DE=,AF=BF=DF=EF=1,,
则点E为△BCD外接圆的圆心,点F为△ABD外接圆的圆心,
过点E作平面BCD的垂线EO,过点F作平面ABD的垂线FO,
且直线EO与直线FO交于点O,则点O为四面体ABCD外接球的球心,
如下图所示,
易知,,所以,,
所以,,则四面体ABCD的外接球半径为,
因此,球O的表面积为,
故选:B.
3.如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.41πD.31π
【解答】解:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD,正方体的棱长为4,A,D为棱的中点,
根据几何体可以判断:球心应该在过A,D的平行于底面的中截面上,
设球心到截面BCO的距离为x,则到AD的距离为:4﹣x,
∴R2=x2+(2)2,R2=22+(4﹣x)2,
解得出:x=,R=,
该多面体外接球的表面积为:4πR2=41π,
故选:C.
4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到(三棱锥的顶点均在球面上).若该几何体的三视图如图所示(侧视图中的四边形为菱形),则该三棱锥的体积为()
A.B.C.D.
【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:A﹣BCD,E为CD的中点,
由题意可知AB=4,OE=,OA=OB=2,OD=2,则DE=,
所以三棱锥A﹣BCD的体积为:×=.
故选:C.
5.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()
A.2+2+2B.4+4+2C.2+4+4D.4+4+4
【解答】解:由题意几何体的直观图如图:是正方体的一部分,正方体的棱长为:2,
可知几何体的表面积为:=4+4+2.故选:B.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为()
A.25πB.C.D.40π
【解答】解:由三视图还原几何体的直观图如图:
该几何体为三棱锥,底面三角形ABC为直角三角形,面PAC为等边三角形,且面PAC⊥底面ABC,
取BC中点G,则G为三角形ABC的外心,过G作平面ABC的垂线,取等边三角形PAC的外心为H,
过H作平面PAC的垂线,则两垂线交于点O,O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心,OG=PH=,GC=BC=,
∴OC==,
∴三棱锥外接球表面积为4π×()2=.
故选:C.
7.如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()
A.18+2+B.15++C.12++D.18++【解答】解:几何体的三视图,可知几何体是组合体,下部是四棱柱,
上部是四棱锥,底面是直角梯形,下底为2,上底边长为1,高为2,
四棱柱的高为2,棱锥的高为1,如图:
该几何体的表面积是:
++
=15++.
故选:B.
8.在四面体ABCD中,AD⊥底面ABC,,E为棱BC的中点,点G在AE上且满足AG=2GE,若四面体ABCD的外接球的表面积为,则tan∠AGD=()
A.B.2C.D.
【解答】解:由题意可得,点G是△ABC的重心,
∴AG=AE=,
设△ABC的外心为O,
由题意点O在AE上,
令OA=r,则OE2+EC2=OC2,
即(3﹣r)2+12=r2,解得r=,
∵AD⊥平面ABC,
∴四面体ABCD的外接球的半径R2=r2+()2=+,
由题意得4πR2=4π(+)=,
解得AD=4,
∴tan∠AGD=.
故选:B.
9.在三棱锥S﹣ABC中,,且三棱锥S﹣ABC的体积为,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.4πB.16πC.36πD.72π
【解答】解:如图,取SC的中点O,连接OB,OA,
∵SB⊥BC,SA⊥AC,SB=BC,SA=AC,
∴OB⊥SC,OA⊥SC,OB=SC,OA=SC,
∴SC⊥平面OAB,O为三棱锥的外接球的球心,
SC为球O的直径,设球O得半径为R,
则AB=SC=R,
∴△AOBRt正三角形,则∠BOA=90°,
=V S﹣OAB+V C﹣OAB===,
∴V S
﹣ABC
∴R=2,则该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π.
故选:B.
10.如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则当正四棱锥体积最大时,该正四棱锥外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【解答】解:由题意,正方形ABCD的边长为2,可得对角线的一半为,折成正四棱锥后,
设正四棱锥边长为a,高为h,可得:h2=2﹣,(0).
正四棱锥体积V=最大时,即.
由y=,
则y′=8,
令y′=0,可得a=,
即当a=体积取得最大值;
∴h=.
正四棱锥底面正方形外接圆r=.
正四棱锥外接球的半径R,可得
解得:
正四棱锥外接球的表面积S=.
故选:D.
11.已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上,底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,AB=2,PA=PB=PC=,则球O的表面积为()A.9πB.C.4πD.π
【解答】解析:设AB中点为D,则D为△ABC的外心,因为PA=PB=PC=,易证PD⊥面ABC,
,所以球心O在直线PD上,
又PA=,AB=2,
算得PD=1,
设球半径为R,则△AOD中,
(R﹣1)2+2=R2,
可得:R=.
则球O的表面积S=4πR2=9π,
故选:A.
12.四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD,且三角形PAB是等边三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为()A.πB.C.4πD.π
【解答】解:由题意,可以将四棱锥P﹣ABCD补成以△PAB为底面的直三棱柱,直三棱柱外接球的半径,
△PAB是边长为2的等边三角形,其外接圆的半径为;
所以球的半径r=,
则球的表面积S=4πr2=.
故选:D.
13.已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上,△ABC为边长为的正三角形,△ABD是以BD为斜边的直角三角形,且AD=8,二面角C﹣AB﹣D 为120°,则球O的表面积为()
A.B.124πC.D.31π
【解答】解:作图如下:O1为经过△ABC外接圆圆心,O2为经过△ABD外接圆圆心,则O2为BD中点,
取AB中点M,则∠CMO2为二面角C﹣AB﹣D的平面角,
易得|O2M|=4,|O1M|=1,,
由余弦定理得|O1O2|=,
由正弦定理得,
所以R2=|OM|2+|AM|2=31⇒S=124π,
故选:B.
14.已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上,∠ABC=120°,AA1=BC=AB=1,则球O的表面积为()
A.7πB.6πC.5πD.4π
【解答】解:如图:外接球的球心为O,底面三角形的外心为:O1,
由正弦定理可得:2A1O1=,可得A1O1=1,
R2=12+=,
外接球的表面积为:4π•R2=5π.
故选:C.
15.三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为()
A.23πB.C.D.64π
【解答】解:根据题意,得到三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在等边三角形PAC 的中线高线和过直角三角形ABC斜边BC的中点的高的交点位置,
如图所示:
三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,
所以PF=,,
在直角三角形ABC中,BC2=AB2+AC2,
解得:BC=2,
所以CD=,
三棱锥的外接球半径r==,
则S=4,
故选:C.
16.已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且AB=SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【解答】解:如图所示:
三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且AB=SA=SB=SC=2,则:SD=,
设外接球的半径为R,
则:在△BOD中,利用勾股定理:,
解得:R=
所以:S=4π•R2=4.
故选:D.
17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,已知平面α经过点A1,且平行于平面B1D1E,平面α与平面ABCD交于直线m,与平面ABB1A1交于直线n,
则直线m,n所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【解答】解:设正方体的边长为2,
取CD的中点F,AB的中点为M,AD的中点为N,
连接EF,DB,MN,
可得MN∥BD∥EF∥B1D1,
由于平面α经过点A1,且平行于平面B1D1E
即有平面A1MN即为平面α,
直线MN即为直线m,直线A1M即为直线n,
∠A1MN即为直线m,n所成角,
由A1M=A1N==,MN=,
可得cos∠A1MN==.
故选:B.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PO⊥平面ABCD,E为线段AP的中点,底面ABCD为菱形,若BD=2,PC=4,则异面直线DE与PC所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【解答】解:由题意,连接EO,O是底面ABCD为菱形的中点,
又E为线段AP的中点,
∴EO∥PC,则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO,
∵PO⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,
AC⊥BD,POC是直角三角形,
∴PC⊥BD,
则EO⊥BD,
∴△DEO是直角三角形,
∵BD=2,PC=4,
∴OD=1,EO=2,
则ED=.
∴cos∠DEO=.
故选:A.
19.已知异面直线a,b所成的角为60°,过空间一点O的直线与a,b所成的角均为60°,这样的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
【解答】解:过O作a′∥a,b′∥b,
设直线a′、b′确定的平面为α,
∵异面直线a、b成60°角,
∴直线a′、b′所成锐角为60°
①当直线l在平面α内时,
若直线l平分直线a′、b′所成的钝角,
则直线l与a、b都成60°角;
②当直线l与平面α斜交时,
若它在平面α内的射影恰好落在
直线a′、b′所成的锐角平分线上时,直线l与a、b所成角相等.
此时l与a′、b′所成角的范围为[30°,90°],
适当调整l的位置,可使直线l与a、b也都成60°角,这样的直线l有两条.
综上所述,过点P与a′、b′都成60°角的直线,可以作3条
∵a′∥a,b′∥b,
∴过点O与a′、b′都成60°角的直线,与a、b也都成60°的角.
故选:C.
20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是侧面ADD1A1内的动点,且B1E∥平面BDC1,则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是()
A.B.C.D.
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1,
设E(a,0,c),0≤a≤1,0≤c≤1,
B1(1,1,1),B(1,1,0),
D(0,0,0),C1(0,1,1),
=(a﹣1,﹣1,c﹣1),=(1,1,0),=(0,1,1),
设平面DBC1的法向量=(x,y,z),
则,取x=1,
得=(1,﹣1,1),
∵B1E∥平面BDC1,
∴=a﹣1+1+c﹣1=0,解得a+c=1,
∴a2+c2=(a+c)2﹣2ac=1﹣2ac,ac≤()2=,
设直线B1E与直线AB所成角为θ,
∵=(0,1,0),∴cosθ==,
∵ac≤()2=,∴2﹣2ac≥,∴,
∴sinθ==
==≥=.
∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是.
故选:B.
21.四个同样大小的球O1,O2,O3,O4两两相切,点M是球O1上的动点,则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为()
A.[]B.[]C.[]D.[]
【解答】解:如图O1O2O O4是正四面体,设边长为2r,
过O1作O1O⊥底面O2O3O4,可得O为底面的中心,
由O2O⊥O3O4,可得O2O1⊥O3O4,
则M在直线O1O2上,
可得直线O2M与直线O3O4垂直,即有所成角的正弦值为1,
过O2作大圆的切线,设切点为M,可得O2M与O1O2成30°的角,
由O2N∥O3O4,可得O3O4与O2M成60°的角,
即有所成角的正弦值为,
则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为[,1].
故选:C.
二.解答题(共19小题)
22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2CD=2CB=PA=PD,F为AD的中点.
(1)证明:PB⊥BC;
(2)求直线CF与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】解:(1)证明:在△PAD中,PA=PD,F为AD的中点,可得AD⊥PF,在四边形ABCD中,连接BF,
由题意可得四边形BCDF为平行四边形,可得BF∥CD,
由CD⊥AD,可得AD⊥BF,
而BF∩PF=F,可得AD⊥平面PBF,
由AD∥BC,可得BC⊥平面PBF,
则BC⊥PB;
(2)设PC=AD=2CD=2CB=PA=PD=2,
可得CD=CB=1,PA=PD=,
过F在△PBF中作FH⊥PB于H,连接CH,
由BC⊥平面PBF,可得BC⊥FH,
即有FH⊥平面PBC,
则∠FCH为CF和平面PBC所成角,
由BC⊥PB,可得PB==,
由PF==1,BF=CD=1,
cos∠PFB==﹣,可得∠PFB=120°,
可得H为PB的中点,即有FH⊥PB,
即有FH=BFcos∠BFH=1×=,
则直线CF与平面PBC所成角的正弦值为==.
23.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,CD=SB=,SD=4,P为侧棱SD 上的点,SD⊥面APC.
(1)求二面角S﹣AC﹣D的余弦值;
(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面APC,若存在,求出SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
【解答】解::(1)连BD,设AC交BD于O,
SD⊥面APC,可得SD⊥AP,SD⊥PC,
可得△PAD≌△PCD,可得∠SDA=∠SDC,
可得SA=SC,SO⊥AC,
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
可得∠SOD为二面角S﹣AC﹣D的平面角,
在△SBD中,SB=2,BD=4,SD=4,
可得cos∠SBD==,
SO==2,
可得cos∠SOB==,
即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值为﹣;
(2)若SD⊥平面PAC,
则SD⊥OP,
正方形ABCD的边长为2,
SD=4,OD=BD=2,
则PD=ODcos∠SDB=2•=,
故可在SP上取一点N,使PN=PD,
过N作PC的平行线与SC的交点即为E,连BN.
在△BDN中知BN∥PO,
又由于NE∥PC,故平面BEN∥面PAC,
得BE∥面PAC,
由于SN:NP=2:3,
故SE:EC=2:3.
24.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,PD=AD=,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
【解答】证明:(Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,…………
(1分)
从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,…………(3分)
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,…………(4分)
所以BD⊥平面PAD.…………(5分)
故PA⊥BD…………(6分)
解:(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,
射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系D﹣xyz,…………(7分)
则B(0,,0),C(﹣1,,0),P(0,0,1),
=(﹣1,,0),=(0,,﹣1),=(﹣1,0,0),
平面PAD的一个法向量为=(0,1,0),…………(8分)
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),
则,…………(9分)
取y=1,得=(0,1,),…………(10分)
|cos<>|==,…………(11分)
故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60°.…………(12分)
25.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系,解决以下问题:
(1)求异面直线AB与A1C所成角的余弦值;
(2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
【解答】解:(1)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.
以边AC的中点D为坐标原点,
平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,
直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系,
根据题中空间直角坐标系可知:
A(0,﹣1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,),…(1分)
∴=(2,2,0),=(0,1,﹣),
∴cos<>===,…(3分)
设异面直线AB与A1C的所成角为α,则,
∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为.…(4分)
(2)由(1)得:=(2,1,﹣),=(﹣2,0,0),
设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),
∴,取z=1,则=(0,),…(7分)
∴cos<,>===.…(9分)
设直线AB与平面A1BC所成角为β,β∈(0,],
则sinβ=|cos<,>|=.
故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为.…(10分)
26.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是边长为2的等边三角形,直线PB与底面ABCD所成的角为45°,PA=2CD,PD=,E是棱PD的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)在棱PB上是否存在一点T,使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为?若存在,请指出T的位置;若不存在,请说明理由.
【解答】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥CD,PA⊥AD,
∵直线PB与底面ABCD所成的角为45°,∴∠PBA=45°,
∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴PA=AB=2,
又PA=2CD,∴CD=1.
在Rt△PAD中,∵PD=,PA=2,∴AD=,
在三角形ADC中,AD=,CD=1,AC=2,
∴AD2+CD2=AC2,可得CD⊥AD,
又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,
又AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE;
(2)解:假设在棱PB上存在一点T,满足题意,则(0<λ≤1),
由(1)可知,∠DAC=30°,∴∠DAB=90°,
以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴
建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),D(0,,0),E(0,,1).设T(x1,y1,z1),则,
又,
∴(x1,y1,z1﹣2)=(2λ,0,﹣2λ),得x1=2λ,y1=0,z1=2﹣2λ,
∴,.
设平面ATE的法向量为.
则有,取y2=2,得.
而平面PAB的一个法向量为,
∴|cos<>|=||==,
解得.
故在棱PB上存在一点T,使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为.
27.已知几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(1)连接B1C,若M为AB的中点,在线段CB上是否存在一点P,使得MP∥平面CNB1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
(2)求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值.
【解答】解:建立空间直角坐标系如图,则由该几何体的三视图可知:
C(0,0,4),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4).
(1)设平面CNB1的法向量为,由,

得,其x=1,得.
设P(0,0,a)(0≤a≤4),由于M(2,0,0),则.
∵MP∥平面CNB1,∴,得a=1.
∴在线段CB上存在一点P,使得MP∥平面CNB1,此时BP=1;
(2)设平面C1NB1的法向量为,
由,得
,取x=1,可得.
∴cos<>=.
由图可知,所求二面角为锐角,
故二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值为.
28.已知四棱锥S﹣ABCD,四边形ABCD是正方形,BA=AS=SD=2,S△ABS=2.(1)证明:平面ABCD⊥平面SAD;
(2)若M为SD的中点,求二面角B﹣CM﹣S的余弦值.
【解答】证明:(1)∵,
∴sin∠BAS=1,即BA⊥AS,
又∵ABCD为正方形,∴BA⊥AD,
∵BA∩AS=A,
∴BA⊥平面SAD,∵BA⊂平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面SAD.
解:(2)设AD的中点为O,
∵AS=SD,∴SO⊥AD,
由(1)可知平面ABCD⊥平面SAD,且平面ABCD∩平面SAD=AD,
∴SO⊥平面ABCD,
在平面ABCD内,过O作直线Ox⊥AD,则Ox,OD,OS两两垂直.
以O为坐标原点,Ox,OD,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,∴,
设平面BCM的法向量为,
则,,
即,取,
设平面CMS的法向量为,
则,,即,
取,

由图可知,二面角B﹣CM﹣S的余弦值为.
29.如图1,ABCD为梯形,AB∥CD,∠C=60°,点E在CD上,AB=EC=DE=2,BD⊥BC.现将△ADE沿AE折起如图2,使得平面DBC⊥平面ABCE.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ABCE;
(Ⅱ)求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值.
【解答】(本题满分15分)
证明:(Ⅰ)∵DF⊥AE,
BF⊥AE,
∴AE⊥面BDF,
又BD⊂面BDF,
∴AE⊥BD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
∵面BCD⊥面ABCE,
BC∥AE,BF⊥AE,
∴BF⊥BC,∴BF⊥面BCD,
∵BD⊂面BCD,∴BF⊥BD,
又∴BF∩BC=B,∴BD⊥面BCEF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
解:(Ⅱ)∵DF⊥AE,BF⊥AE,
∴∠BFD即为二面角D﹣AE﹣C的平面角.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
又∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
在Rt△BDE中,,
∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15分)
30.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,BC⊥PB,AB⊥BC,AD∥BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,.
(1)求二面角P﹣CD﹣A的余弦值;
(2)若点E在棱PA上,且BE∥平面PCD,求线段BE的长.
【解答】解:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,由PA=2AB=2,,
得PB2+AB2=PA2,则PB⊥AB,
又BC⊥PB,AB⊥BC,
∴以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,BP为z轴,
建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),
D(1,3,0),P(0,0,),
=(0,1,0),=(0,2,﹣),
由图可知,平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),设平面PCD的法向量为,
则,取z=2,得,设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α,
则cosα=|cos<>|=.
∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为;
(2)∵点E在PA上,∴,λ∈[0,1],
∵,∴,
=(1﹣λ,0,),
又∵BE∥平面PCD,为平面PCD的法向量,
∴,即,解得,∴,
则BE=||=.。

相关文档
最新文档