“一题一课”式的初三复习教学实践与思考——以“一道中考题引发的探究”为例

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理科考试研究•数学版
2021年2月10日
[5] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版）[M ].北京:北京师范大学出版社，2012.[6] 李士琦,吴颖康.数学教学心理学[M ].上海：华东师 范大学出版社,2011.
[7] 余睿，吴柯江.“核心问题”视域下促进学生深度学习 的策略—
以初中数学教学实践为例[J ].华夏教师，
2019 (29) ：10.
[8] 曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M ].北京:北京 师范大学出版社,1990.[9]
王道宇.初中数学深度学习的实践研究[J ].中学数学
教学,2019(05) :20 -24.
(收稿日期：2020 -08 _26)
“一题一课”式的初三复习教学卖咸与思考
—
以“一道中考题引发的探究”为例
缪凌颖
(福安市第三中学福建福安355002)
摘要：本文以“ 一题一课”式的复习教学实践为例，依托问题驱动，引导学生经历“问题解决一变式一反思一开
放一归纳”的过程，逐步渗透数学思想，积累活动经验，发展数学核心素养.
关键词：函数背景；数形结合；复习备考
简约高效一直是数学复习课的一种追求，而传统 的复习课为何效益不高呢？究其原因是教师在复习 时有一种“贪多”的心态，课堂体现为“知识点多面广、 例题多而不精”，过于追求复习的全面性而缺乏对知 识的深度探究，导致学生的能力难以得到实质性的发 展，所以构建“又精又专”的复习课堂，开展“一题一 课”式的深度教学成为一种必然趋势.“一题一课”式 的复习课是指教师以一个典型例题为支架点，深度挖 掘其内在价值，在同一例题背景下，引导学生有序开 展问题探究，以达到巩固深化某一知识与技能，发展 学生思维能力与数学核心素养的目的.基于此，笔者 在初三复习备考中以一道中考题进行教学尝试，现整 理成文，欲与同行们交流.I
教学简述与分析1.1 以数解形，解决问题
问
题
（2018年福建卷第丨6题改编）如图1，已知直线y
m 与双曲线y ^■相交于，_B 两点，BC
X
/A 轴，/lC //y 轴.
(1) 当讯=-2时，求/1』两点的坐标和厶仙<：的
面积；
(2)
是否存在m 的值使得A /IB C 面积取得最小
值？若存在，求出m 与A /1S C 面积的最小值，若不存
在，请说明理由.
多媒体展示第（1)问，学生独立思考，教师巡视， 发现学生能比较顺利地通过联立方程组求出两 点的坐标为(3，1)，（-1，- 3)，但部分学生对如何表 示A /1B C 的面积感到困惑.在组织学生讨论以后，教 师请学生分析思路.
生1:先求出点C 的坐标再求出线段的长 即可，而SC /A 轴，AC //y 轴,所以点C 的坐标为（3， -3);即 |S C | = |4C | =4,易知 S _c =4.
随后，多媒体展示第（2)问.
生2猜测当直线y = x + m 过原点时，A 仙C 面积
取得最小值，如何证明呢？有了第（1 )问的解题经验, 学生呈现了以下解答：基金项目：福安市中学教育科学研究2019年度课题“核心素养视域下的初三数学教学改进”（项目编号：FJNDKY 19-311 ). 作者简介：繆凌颖（1988 -),男，福建宁德人，本科，中学一级教师，研究方向：
初中数学教学.
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理科考试研究•数学版
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解法1联立
J r :
X ’得>»(
-m +
m
i
L j :-X +m ,
\m
+ y /m 2 + \2^
| b (-m --m -
1-12 m ■-\/爪2 +12
、
2
1
丨，》(
2
»
2 ,
所以丨 BC | = UC 丨=^m 2 +12.所以 S 續c =||S C |2=^^.当m 二0时，S A A B C 的最小值为6.解法2
设两点的坐标为（〜，& +m ),(巧，
r =3_
尤2 +爪），则由j 尤
得尤2 + 771% - 3 = 0•
[y = X + J 71,
所以 A =m 2 +12>0.P JfV A x >\ + x 2
=-3.
因为点C 的坐标为〇丨，+ m )，所以S A 4B C =1 I .^1 I D^| (^1 -x 2)[(x { +m ) - (x 2 +m )]y | 从| • 1^6 | =---------------------------=
(a ；! -X 2)2
(x { + X2)2 -4x {X2 1
2
—1 —= 2-------= T m +6-
即当m = 0时，S A ,4B C 的最小值为6.
教师点评以后，借助几何画板为学生直观展示了 A /IB C 的面积随着m 值变化的动态过程，体会当一次 函数过原点时，A M C 的面积取得最小值为6.教学分析通过第（1)问引导学生定量研究 A /IB C 的面积，巩固解决函数图象交点问题的基本技 能，从而明确第(2)问的探究思路.把特殊化的问题解 决好，从中感受解题方向，再进一步研究一般性问题 是数学解题的基本方法之一.1.2适时追问，精彩生成
适时追问，引导学生进行解后反思是促进学生思 维发展的有效策略.在总结本题的解题方法以后，笔 者逐步呈现了以下三个驱动型问题：
(3)
将直线y = x m 改为y = 2a : + m ，A /1B C 的面 积最小值是否发生改变？ y = 3a : + m 呢？
(4) 请你提出一个关于A /lfiC 面积问题的猜想？ 经过短暂的思考交流后，学生们展示问题（3)的计算结果:SA /4fle 的最小值仍为6.便提出猜想：直线y = + m 与双曲线7 = ^■相交于两点，B C //*
X
轴，/IC //y 轴，则的面积取得最小值为6.
如何证明这个猜想呢？
生3:设^4,5两点的坐标为(&，_ +m ),(x 2，fc x ;2
+ m )，则由 j ,尤’ 得 fcc 2 + 獄-3 = 0.
i y = kx + m ,
所以a :】+欠2 = —f ，尤= —舍.
因为点C 的坐标为（&，fcc 2+m )，所以S A ,fiC =
1 I
I D ^i
(^i ~x 2)[(k x ] +m) -k (x 2 +m )]
— \A C \- |B C | =-----------------------------=
k {x x -x 2)2
h [(x l +x 2)2 -4x x x 2] m 2
~
广: 2 =2k +6'
生4提出质疑:若灸<0,则A /1B C 的面积取得的 最小值就不是6，而且不能保证A = m 2 + 12A > 0.再次 讨论以后，学生们对猜想进行修正，得到推广性 结论1.
结论1直线y = A ：x + w (&>0)与双曲线y
■相交于4，B 两点，BC /八轴，AC //y 轴，则的
面
积取得最小值为6.
而后，教师在结论1的前提下进一步追问：
(5)如图2,你能从反比例函数系数几何意义的 角度解释为什么一次函数过原点时，的面积最
小值为6?
生5:问题(5)可利用两个函数的对称性来解决， 展示如下：
设<4,6两点的坐标为(*1，71),(-»：1,-71)，则点
C 的坐标为(*,，-y ,).
§P S
AABC
= y U c | • | SC | = L =2*,y ,.
从反比例函数系数的几何意义可知=3.所以S 續c =6.
教学分析问题（3) (4)让学生经历计算一猜 想一证明一反思一完善猜想的过程，积累数学活动的 经验，问题(5)的知识指向是反比例函数的几何意义， 用代数计算解释图形结论，直指问题本质，让学生对
数形的和谐统一有了更深刻的认识.通过驱动型问题
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的逐步推进，从而引导学生深度反思，这样富有探索 性和创造性的数学活动,无疑对学生高级思维能力的 发展是大有裨益的.
1.3 问题变式，归纳共性
问题变式是数学解题教学的一个重要组成部分，通过关注问题的本质不断改变情境，引导学生用类 比、归纳等方法认识变式，在问题解决和反思中认识 变与不变，寻找共性与差异m.本题的问题背景是一 次函数动而双曲线定，如果改变两个函数的运动状态 呢？多媒体依次展示以下三个问题变式：
(6) 直线y= + l与双曲线y= f(A：>0)相交于
4，召两点，SC//a：轴，4C//y轴，若的面积为2.5,请求出A值；
(7) 直线;K= h+ 1与双曲线;K= |(yc>0)相交于质没有改变，始终要求学生用参数来表示的面积，让学生体悟转化、分类、函数与方程等数学思想，发展学生的直观想象、逻辑推理与数学运算等核心素 养，更重要的是为学生展现了问题的变式和思考问题 的角度.问题(6)不仅让两个函数参数建立关联，还改 变设问方式——已知A4B C面积求参数I在进一步 积累解题经验以后，逐步呈现问题(7) (8),进而引导 学生归纳解法和问题的共性，体验解题的乐趣.
4两点，BC/A轴，/今轴，求A/lfiC的面积的最 小值.
问题(6)的解决比较顺利，需要指出的是，学生解 决问题(7)时表示出 S A/(f i C= +|/lC|•|B C|=2fc+^
以后便陷入僵局，如何求最小值呢？教师引导学生进 行设参、转化为一元二次方程，最后借助判别式法解 决问题，具体如下.
i9i2k+h=i (t > 0)，即 4A：2 —2认+ 1 = 0•由A = 4? - 16彡0,得 •即S A.4flC5=2.
若进一步弱化问题条件，让一次函数与反比例函 数更具有一般性，还能将结论1进一步推广吗？继而 呈现问题(8).
(8)直线7=&|»+爪与双曲线；/ = ^〇1/£2>0)相
交于两点，S C/A c轴，/lC//y轴，求的面
积的最小值（用含h，fc2和m的代数式表达).
教师引导学生在解题时进行分类讨论，经过交流 以后形成推广性结论2.
结论2直线y=灸# + m与双曲线y=二（\/1：2>
x
图3
1.4 自主编题，活跃思维
《普通高中数学课程标准（2017年版)解读》中明 确指出：在数学中，发现问题往往比证明结论更重要，我们的数学课程应该为学生提供这种基于发现的更 有价值的数学活动.上一环节中教师为学生示范了如 何对问题进行变式，并明确指出这样变式的逻辑基础 (改变函数的运动状态），有了一些间接经验以后，学 生能否结合自身知识背景提出研究面积的新问题呢？笔者设计了如下活动:请与你的小组成员合作，根据 图3,提出一个探究图形面积的数学问题(可自行添加 条件或改变条件）.学生们兴致高涨，主动思考，不断 提出问题，教师点评并提出改进建议.现选取部分问 题整理如下.
1.4.1以加点来构题
问题1已知直线;与双曲线y= f相交于A S两点，〇为坐标原点，连接得到求的面积；
问题2已知直线y= 与双曲线y= f相交
〇)相交于两点，SC//x轴，4C//>轴，则A/IBC 的面积的最小值为丨f+2A2I.
教学分析从问题反思到问题变式，主要改变的 是原题中参数的位置，是知识技能的再一次磨练与升 华.从有图到无图，从单参数到多参数，问题的核心本于/I,B两点，在第一象限内有一点C满足到*轴的距 离为3，连接AC，得到A/ISC，求A/1BC的面积；
问题3 已知直线y =*与双曲线y = ^■相交于
两点，过点4作4C丄*轴，垂足为点C,连接4C，B C得到A仙C,求A/1B C
的面积•
2021年2月10日理科考试研究•数学版• 31 •
1.4.2以改形来构题
问题4直线y+ m与双曲线y= f相交于/4，S两点，以为直径作圆C,求该圆面积的最小值；
问题5直线;与双曲线y= |相交于4, B两点，以为边作等边A4S C,求该三角形面积的 最小值.
鉴于时间关系，请学生回去解答并继续提出问题，最后，由学生畅谈收获，师生共同梳理成知识网络 (如图4).
图4
教学分析创设一个适度开放的数学问题情境，以学生发现和提出问题为活动内容来激发学生火热 的思考是复习教学的一种有效尝试.因为构题的过程 恰恰是思维的碰撞，是知识的主动建构，是学生创造 力得以施展的良好契机.当然，对于开放性问题，教师 应明确若给定的条件过多,则学生思维必然受限，如 太少，则易偏离本节课的重点，因此，在给定的图形下 研究面积问题，既给予学生必要的探究空间，又不至 于偏离课堂的核心目标.另外，为提高问题质量，训练 学生有逻辑地提出问题，教师需引导学生对问题进行 归纳，让学生明白问题变式改编的逻辑基础，如改变 函数图象的运动状态,条件结论互换，加点构形，易形 构题等.最后以导图式的小结来引导学生的自我反 思，从知识、处理策略、数学思想方法上进行归纳，有 利于学生对知识和方法的内化.
2教学思考
2.1 研究命题趋势，铺平垫稳搭建例题结构
从中考命题趋势看，函数背景下的几何探究问题 越来越受到命题者的青睐，其命题形式主要表现为以 参数介入让函数图象或几何图形处于运动之中，寻找 变化中的不变性，与方程、不等式等知识紧密融合，充 分考查学生的直观想象与数学运算素养，体现初高衔 接.基于考情下的复习课要求广大教师要以命题者的 视角对考题进行深度解读，立足学情研发专题，构建 低起点，有层次的例题教学模式.如，笔者在另一个班 级的教学实践中直接呈现如下原题:直线>•= % + m与
双曲线y|相交于/!，B两点，BC/A轴，4C//y轴，则面积的最小值为_____.教学时发现部分学
生在求解含参方程时错误频出，还有一部分完全找不 到问题的突破口，教学效果大打折扣，而经梯度式改 编后再次实践，学生面对第（1)问时能顺利地从方程 的角度去思考交点问题，再由交点的坐标关系思考的长度，在这样的启发下，探究第（2)问就显 得水到渠成.可见,复习课的例题设计应当铺平垫稳，逐级搭建问题结构.
2.2 注重解后反思，变式研究促进思维参与
波利亚认为：数学问题的解决仅仅只是一半，更 重要的是解题之后的回顾.观察题目的特征，归纳解 题的通法,进一步提升学生的解题能力是解题教学的 目标之一.如何实现这一目标呢？开展解后反思和变 式研究是解题教学必不可少的两个环节.本节课首先 通过改变&值，引导学生认识到直线变化的情况下厶4B C面积最小值的不变性，进而形成一般性的猜想 与证明，在交流中进一步改进和完善猜想;而后，教师 通过改变参数位置来改变函数的运动状态继而呈现 更多一般性变式，既让学生了解变式的产生过程，又 为学生示范了研究问题变式的方法；最后，由学生来 设计变式，在这个过程中，学生经历了分析、综合、评 价、创造等高阶思维活动，而这恰是学生思维参与深 度的体现.
2.3 积累活动经验，发展素养提升复习效益
《课程标准（2011年版）》强调：数学活动经验需 要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀.它是学生 经历探究、思考、推理、反思等数学活动的过程以后形 成的感性认识与理性认识，是发展学生数学核心素养 的重要载体.本节课让学生经历了从特殊到一般的探 究活动，这就是“动手做”的过程，而提炼出问题解决 的通性通法，并创造性地提出猜想，这就是“思考”的结果，是感性认识到理性认识的飞跃.初三数学的复 习课离不开解题，而解题活动经验的积累对学生数学 素养的提升至关重要.笔者认为，复习课一定要发挥 学生的主体地位，让学生在做题中磨练基本功，并学 会在“思考”中体会数学问题的解决过程与研究问题 的方法，不断积累解决问题和分析问题的基本经验，最终实现数学素养的发展.只有这样才能让学生从容 面对各种问题情境，提高知识迁移与应用能力，真正 提升数学复习的课堂效益.
参考文献：
[1]缪凌颖.一道函数题的低分缘由探析与启示[J].理科考试研究，2019,26(20) :28 -31.
(收稿日期：2020 -09 -02)
关联知识
直线、反比例函数
处理策略背景下的面积问题
数学思想
方程、函数、不等式 点、线段、面积的数表达式 数形结合、转化、推理等。