《直角三角形》三角形的证明PPT课件(第1课时)
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这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
素养目标
3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概 念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用 其解决问题.
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握 直角三角形的性质和判定.
探究新知
知识点 1
思考：
直角三角形的性质与判定
证明：过点A作AE⊥BC于E，
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
E
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2
＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
课堂检测
能力提升题
2、如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm, AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
c a
b
弦 勾
股
探究新知
勾股定理的3种证明方法： 方法一：
c
b a
S1
=
1 2
(a
+
b)(a
+
b)
=
1 2
(a2
+
2ab
+
b2
)
=
1 2
a2
+
1 2
b2
+
ab，
S2
=
1 2
ab
+
1 2
ab
+
1 2
c2
=
ab
+
1 2
c2
a S1 = S2，
b
1 2
a2
+
1 2
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫 做它的逆命题.
注意：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!
探究新知 互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它 也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理 称为另一个定理的逆定理.
注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、 互逆定理，一定是真命题. （2）每个定理都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理.
B.2,3,4
C.4,6,7
D.5,11,12
4.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形 状是__直__角_____三角形.
课堂检测
基础巩固题
5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( A )
A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
课堂检测
能力提升题
1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上 任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做 互逆定理
A.①②④ C.③④
B.①④ D.④
连接中考
（2020·荆门）△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC= 2 3 ， D为BC的中点，AE= 1 AB，则△EBD的面积为（ B ）
4
33 A. 4
C. 3 4
B. 3 3 8
D. 3 8
课堂检测
基础巩固题
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一 个锐角的度数是( C ) A.75° B.65° C.55° D.45°
b2
+
ab
=
ab
+
1 2
c2，
a2 + b2 = c2.
探究新知
a
c
c a
b
方法二：
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2+ 4 1 ab
2
；
c
∵ (a+b)2 = c2+ 4 1 ab ，
2
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
c
b
∴a2+b2=c2.
a
探究新知
c a
课堂检测
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,
1
1
在Rt△ABC中,S△ABC= 2 BC·AB=2 ×2×2=2,
在Rt△ADC中,S△ADC=
1 AD·AC=
2
1×1×2 2
2= 2 ,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2 .
课堂小结
直角三角形
探究新知
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形 是直角三角形.
探究新知 素养考点 2
思考：这个命题是真命题吗？为什么？ 我们曾用度量的办法得出这个结论. 是否还有其他方法？
探究新知 勾股定理的逆定理的证明：
A
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
C
B
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证
明过程吗？
探究新知 A
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
探究新知
(3)全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个 三角形全等.
巩固练习
变式训练
下列命题: ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; Байду номын сангаас若a>b,则ac2>bc2; ③全等三角形对应角相等; ④直角三角形两锐角互余. 其中原命题与逆命题均为真命题的是( B )
定理1：直角三角形的两个锐角互余； 角的性质 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题与 互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论； 互逆命题 第一个命题的结论是第二个命题的条件.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角 形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 是直角三角形.
探究新知
证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三 角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
b
b
b
b
c
c
方法三：
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4 1 ab+(b-a)2 2
．
∵ c2=4 1 ab+(b-a)2， 2
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
探究新知
勾股定理的逆定理： 勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
北师大版 八年级 数学 下册
1.2 直角三角形 第1课时
-.
导入新知
思考：（1）三角形的分类？ 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形.
（2）直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
（3）三角形内角和的性质是什么？ 三角形内角和等于180°.
导入新知
（4） 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°.
DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
E
B F
探究新知 结论 勾股定理与逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形．
探究新知 素养考点 3 互逆命题与互逆定理
例 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互 余. 条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个 三角形是直角三角形.
探究新知
(2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么 这个三角形是等边三角形.
课堂检测
基础巩固题
2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，
BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为
DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
课堂检测
基础巩固题
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
勾股定理与逆定理
例 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC 的面积为 ( A )
A.30
B.60
C.78
D.不能确定
巩固练习
变式训练
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5cm，BC＝3cm，
求证： △ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形.
探究新知 结论 直角三角形的性质与判定
性质定理 直角三角形的两锐角互余. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究新知 素养考点 1 直角三角形的性质与判定
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么 这个三角形是直角三角形．
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
探究新知 观察下面三组命题：
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流．
探究新知 互逆命题： 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题.
(1)找出图中相等的锐角,并说明理由. 解:(1)∵CD⊥AB(已知), ∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°, ∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2. 同理可得,∠1=∠B.
课堂检测
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.
解:(2)点A到直线BC的距离为12 cm.
点C到直线AB的距离为线段CD的长度.
1 S△ABC= 2
AC×BC=
1 2
AB×CD.
∵AC=12 cm，BC=5 cm，AB=13 cm,
代入上式,解得CD= 60 cm. 13
课堂检测
拓广探索题
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3. 求四边形ABCD的面积. 解：连接AC, ∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 2 , ∵AD=1,CD=3, ∴AD2+AC2=12+(2 2 )2=9,CD2=9,
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4cm，
又S△ABC＝
1 2
BC·AC＝
1 2
AB·CD，
CD＝BC·AC÷AB＝2.4cm，
∴CD的长是2.4cm.
探究新知
知识点 3
互逆命题与互逆定理
观察： 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
例 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数 是( C )
A.85° C.95°
B.90° D.100°
巩固练习
变式训练
直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小 的锐角是____3_0_°___.
探究新知
知识点 2
勾股定理与逆定理
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2.
素养目标
3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概 念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用 其解决问题.
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握 直角三角形的性质和判定.
探究新知
知识点 1
思考：
直角三角形的性质与判定
证明：过点A作AE⊥BC于E，
则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
E
∴AE＝BE＝CE，
∵BD2＋CD2＝（BE－DE）2＋（CE＋DE）2
＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2，
即BD2＋CD2＝2AD2.
课堂检测
能力提升题
2、如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm, AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
c a
b
弦 勾
股
探究新知
勾股定理的3种证明方法： 方法一：
c
b a
S1
=
1 2
(a
+
b)(a
+
b)
=
1 2
(a2
+
2ab
+
b2
)
=
1 2
a2
+
1 2
b2
+
ab，
S2
=
1 2
ab
+
1 2
ab
+
1 2
c2
=
ab
+
1 2
c2
a S1 = S2，
b
1 2
a2
+
1 2
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫 做它的逆命题.
注意：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!
探究新知 互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它 也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理 称为另一个定理的逆定理.
注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、 互逆定理，一定是真命题. （2）每个定理都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理.
B.2,3,4
C.4,6,7
D.5,11,12
4.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形 状是__直__角_____三角形.
课堂检测
基础巩固题
5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( A )
A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
课堂检测
能力提升题
1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上 任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做 互逆定理
A.①②④ C.③④
B.①④ D.④
连接中考
（2020·荆门）△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC= 2 3 ， D为BC的中点，AE= 1 AB，则△EBD的面积为（ B ）
4
33 A. 4
C. 3 4
B. 3 3 8
D. 3 8
课堂检测
基础巩固题
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一 个锐角的度数是( C ) A.75° B.65° C.55° D.45°
b2
+
ab
=
ab
+
1 2
c2，
a2 + b2 = c2.
探究新知
a
c
c a
b
方法二：
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2+ 4 1 ab
2
；
c
∵ (a+b)2 = c2+ 4 1 ab ，
2
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
c
b
∴a2+b2=c2.
a
探究新知
c a
课堂检测
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,
1
1
在Rt△ABC中,S△ABC= 2 BC·AB=2 ×2×2=2,
在Rt△ADC中,S△ADC=
1 AD·AC=
2
1×1×2 2
2= 2 ,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2 .
课堂小结
直角三角形
探究新知
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形 是直角三角形.
探究新知 素养考点 2
思考：这个命题是真命题吗？为什么？ 我们曾用度量的办法得出这个结论. 是否还有其他方法？
探究新知 勾股定理的逆定理的证明：
A
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
C
B
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证
明过程吗？
探究新知 A
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
探究新知
(3)全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个 三角形全等.
巩固练习
变式训练
下列命题: ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; Байду номын сангаас若a>b,则ac2>bc2; ③全等三角形对应角相等; ④直角三角形两锐角互余. 其中原命题与逆命题均为真命题的是( B )
定理1：直角三角形的两个锐角互余； 角的性质 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题与 互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论； 互逆命题 第一个命题的结论是第二个命题的条件.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角 形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 是直角三角形.
探究新知
证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三 角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
b
b
b
b
c
c
方法三：
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4 1 ab+(b-a)2 2
．
∵ c2=4 1 ab+(b-a)2， 2
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
探究新知
勾股定理的逆定理： 勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
北师大版 八年级 数学 下册
1.2 直角三角形 第1课时
-.
导入新知
思考：（1）三角形的分类？ 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形.
（2）直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
（3）三角形内角和的性质是什么？ 三角形内角和等于180°.
导入新知
（4） 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°.
DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
E
B F
探究新知 结论 勾股定理与逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形．
探究新知 素养考点 3 互逆命题与互逆定理
例 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互 余. 条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个 三角形是直角三角形.
探究新知
(2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么 这个三角形是等边三角形.
课堂检测
基础巩固题
2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，
BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为
DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
课堂检测
基础巩固题
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
勾股定理与逆定理
例 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC 的面积为 ( A )
A.30
B.60
C.78
D.不能确定
巩固练习
变式训练
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5cm，BC＝3cm，
求证： △ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形.
探究新知 结论 直角三角形的性质与判定
性质定理 直角三角形的两锐角互余. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究新知 素养考点 1 直角三角形的性质与判定
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么 这个三角形是直角三角形．
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
探究新知 观察下面三组命题：
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流．
探究新知 互逆命题： 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题.
(1)找出图中相等的锐角,并说明理由. 解:(1)∵CD⊥AB(已知), ∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°, ∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2. 同理可得,∠1=∠B.
课堂检测
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.
解:(2)点A到直线BC的距离为12 cm.
点C到直线AB的距离为线段CD的长度.
1 S△ABC= 2
AC×BC=
1 2
AB×CD.
∵AC=12 cm，BC=5 cm，AB=13 cm,
代入上式,解得CD= 60 cm. 13
课堂检测
拓广探索题
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3. 求四边形ABCD的面积. 解：连接AC, ∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 2 , ∵AD=1,CD=3, ∴AD2+AC2=12+(2 2 )2=9,CD2=9,
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4cm，
又S△ABC＝
1 2
BC·AC＝
1 2
AB·CD，
CD＝BC·AC÷AB＝2.4cm，
∴CD的长是2.4cm.
探究新知
知识点 3
互逆命题与互逆定理
观察： 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
例 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数 是( C )
A.85° C.95°
B.90° D.100°
巩固练习
变式训练
直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小 的锐角是____3_0_°___.
探究新知
知识点 2
勾股定理与逆定理
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2.