2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{}0,1,2,A B x y
⎧
===⎨⎩∣，则A B ⋃=（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．()0,∞+
D ．[)0,∞+
【答案】D
【分析】先解出集合B ，再求A B ⋃.
【详解】{}0B x y x
x
⎧
===>⎨⎩∣∣. 因为{}0,1,2A =，所以A B ⋃=[)0,+∞. 故选：D
2．命题“()1
0,,10x x
∞∃∈++<”的否定为（ ）
A ．()1
0,,10x x
∞∃∈++>
B ．()1
0,,10x x ∞∃∈++≥
C ．()1
0,,10x x ∞∀∈++>
D ．()1
0,,10x x
∞∀∈++≥
【答案】D
【分析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为()1
0,,10x x ∞∀∈++≥.
故选：D
3．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
4．函数234
x x y x --+=的定义域为（ ）
A ．[4,1]-
B ．[4,0)-
C ．(0,1]
D ．[4,0)(0,1]-⋃
【答案】D
【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，列出不等式求得结果即可. 【详解】由2340x x --+≥可得{|41}x x -≤≤，又因为分母0x ≠， 所以原函数的定义域为[4,0)(0,1]-⋃． 故选：D .
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，涉及一元二次不等式的求解，属综合基础题. 5．函数2
41
x
y x =
+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：()()241
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4
2011
y ==>+，选项B 错误. 故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的
值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a c b c ->- B ．22ac bc > C ．22a b >
D ．11a b
<
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A ；取特殊值0c 可判断B ；取特殊值1,2a b ==-可判断C ，D 【详解】选项A ，若a ＞b ，利用不等式的性质可得a c b c ->-，正确； 选项B ，当0c 时，22ac bc =，不正确；
选项C ，当1,2a b ==-时，a ＞b ，但22a b <，不正确; 选项D ，当1,2a b ==-时，a ＞b ，但11
a b
>，不正确; 故选：A
7．若函数,1()27,1x x f x x x x -≤-⎧⎪
=⎨+->-⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．-2 B ．2
C ．-4
D ．4
【答案】C
【分析】由()()222f -=--=，得到()()22f f f -=⎡⎤⎣⎦，由此求出()2f f -⎡
⎤⎣⎦即可. 【详解】∵函数,1
()2
7,1x x f x x x x -≤-⎧⎪
=⎨+->-⎪⎩，∴()()222f -=--=， ()2
(2)2742
2f f f ==+--⎤⎣⎦=-⎡. 故选：C .
8．若函数y=f （x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 A ．最小值－8 B ．最大值－8 C ．最小值－6 D ．最小值－4
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果. 【详解】∵y ＝f （x ）和y ＝x 都是奇函数， ∴af （x ）+bx 也为奇函数，
又∵F （x ）＝af （x ）+bx +2在（0，+∞）上有最大值8， ∴af （x ）+bx 在（0，+∞）上有最大值6，
∴af （x ）+bx 在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，
∴F （x ）＝af （x ）+bx +2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4， 故选D ．
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F （x ）﹣2＝af （x ）+bx 也为奇函数，是解答本题的关键．
9．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（ ） A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．15,,44⎛⎫⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()(),117,-∞-⋃+∞
D ．()1,17-
【答案】A
【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式. 【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得15
44
x <<，∴
不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：A
10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，()||(0)f x x a a a =-->若对于任意的实数x 有(2)()f x f x -≤成立，则正数a 的取值范围是（ ）
A ．[)1+∞，
B ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．(]01，
D ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D
【分析】当0x ≥时，函数()f x 的解析式中含有绝对值，去绝对值化为分段函数，再利用函数在R 上是奇函数，可画出函数()f x 的图像，把函数()f x 向右平移两个单位为(2)f x -，在采用数形结合可知，要想(2)()f x f x -≤恒成立，即(2)f x -的图象始终在()f x 下方，即可得出2(2)2a a --≤，即可得到答案.
【详解】0a >，当0x ≥时，2,()=,0x a x a
f x x a a x x a -≥⎧=--⎨-<<⎩
，()f x 为奇函数，即可得到如下图像：
对于任意的实数x 有(2)()f x f x -≤成立，采用数形结合把函数()f x 的图象向右平移两个单位得
到(2)f x -并使(2)f x -的图象始终在()f x 的图象的下方，即2(2)2a a --≤，即1
2
a ≤，0a >，1
02
∴<≤
a . 故选：D.
二、填空题
11．已知幂函数()()
233a
f x a a x =--在()0,∞+为增函数，则实数a 的值为___________.
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】解：()f x 为递增的幂函数，所以23310a a a ⎧--=⎨>⎩，即()()140
0a a a ⎧+-=⎨>⎩，
解得：4a =， 故答案为：4
12．若命题“x ∃∈R 使()2
110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，
【答案】[]1,3-
【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，
则需()2
014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．
【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 13．已知函数221
x x
y x x -=-+的，则其值域为_____________.
【答案】1,13⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【分析】首先利用换元，将函数转化为111t y t t
-=
=-，3
4t ≥，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】设2
2
1331244t x x x ⎛
⎫=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭，
即111t y t t -=
=-，函数在区间34⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
单调递增， 所以1
13y -≤<.
故答案为：113⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，
14．函数1y =_____． 【答案】[3,6]
【解析】首先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤， 令()()2
2639x x x x μ=-+=--+，
对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.
所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]
15．已知0,0a b >>，且1ab =，则118
22a b a b
+++的最小值为_________． 【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为8
2a b a b +++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b
∴
++=++++
842a b a b +=
+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,
解得22a b =-=+
22a b ==. 故答案为：4
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
三、双空题
16．已知函数2,0
()2,0ax x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
，①若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有
2121()()0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为___________；②若()f x 在[1,)t -上的值域为[0,4]，则实数t 的取值范围为___________. 【答案】 0a ≤ 24t <≤
【分析】由已知可得()f x 在(),-∞+∞单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得a 的取值范围； 分0a >、 0a ≤利用()f x 单调性可得实数t 的取值范围. 【详解】若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有
2121
()()
0f x f x x x -<-，
则()f x 在(),-∞+∞单调递减，则02
≤a
，即0a ≤，所以实数a 的取值范围(],0-∞；
当0a >时，若()f x 在[1,)t -上的值域为[0,4]，2
2422
4⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a a
a f ，
解得4a =或4a =-（舍去），又()()()12,040-===f f f ，所以24t <≤；
当0a ≤时，因为()f x 在[1,)t -单调递减， 则()f x 在[1,)t -上的最大值为()12f -=，不合题意，所以实数t 的取值范围为(]2,4. 故答案为：①(],0-∞；②(]2,4.
四、解答题
17．已知集合{|25}A x x =-≤≤，集合{|121}B x a x a =+≤≤+， (1)若2a =，求A B ⋃和R A C B ⋂； (2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】(1){|25}A B x x ⋃=-≤≤，(){|23}R A C B x x =-≤< (2)2a ≤
【分析】（1）由2a =，得到{|25}A x x =-≤≤，{|35}B x x =≤≤，再利用补集、并集和交集运算求解；
（2）由A B A ⋃=，得到B A ⊆，分B =∅， B ≠∅求解. 【详解】（1）解：2a =时，{|25}A x x =-≤≤，{|35}B x x =≤≤ 所以{|35}R C B x x x =<>或， 所以{|25}A B x x ⋃=-≤≤ (){|23}R A C B x x =-≤<；
（2）∵A B A ⋃=，
B A ∴⊆，
①若B =∅时，121a a +>+，解得a<0，符合题意；
②若B ≠∅时，121
21512a a a a +≤+⎧⎪
+≤⎨⎪+≥-⎩，解得02a ≤≤.
综上可得2a ≤.
18．函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()1
f x x
x -=+. (1)判断函数()f x 在[0,)+∞的单调性，并给出证明； (2)求函数()f x 的解析式；
(3)若对任意的[1,1]t ∈-，不等式22()(223)0f k t f t t -+-->恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，证明见解析 (2)(),01
,01x
x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩
(3)8
,3k k k R ⎧⎫<∈⎨⎬⎩⎭
【分析】（1）()f x 在[)0,∞+上单调递减，由定义法证明即可； （2）由奇函数的定义求解即可；
（3）由函数的奇偶性与单调性结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）当0x ≥时，()1
111
x f x x x -=
=-+++，
∴函数()f x 在[)0,∞+上单调递减. 证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞且12x x <， 2112121211
()()(1)(1)11(1)(1)
x x f x f x x x x x --=-+
--+=++++， ∵12,[0,)x x ∈+∞，∴1210,10x x +>+>， 又12x x <，∴210x x ->
∵()()()()12120,f x f x f x f x ->>， ∴函数()f x 在[)0,∞+上单调递减 （2）因为当0x ≥时，()1
f x x
x -=
+，所以，当0x <时，0x ->， 又因为()f x 是定义在实数集R 上的奇函数， 所以，()()()11
x x
f x f x x x --=--=-=-+-， 即当0x <时，()1
x f x x =
-. 所以，函数()f x 的解析式为(),01
,01
x
x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩；
（3）∵函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()()00f x f ≤=， 又因为()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，
所以，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且0x <时，()()00f x f >=， 所以，函数()f x 在实数集R 上单调递减；
那么不等式()()22
2230f k t f t t -+-->， 即：()()()222
223223f k t f t t f t t ->---=-++，
则有22223k t t t -<-++，即2
218
323333
k t t t ⎛⎫<-+=-+ ⎪⎝⎭（[1,1]t ∈-）恒成立，
所以，2min 188
3333
k t ⎡⎤⎛⎫<-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
所以，实数k 的取值范围是8
,3k k k R ⎧⎫<∈⎨⎬⎩⎭
.
19．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+
（1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14
a b
+的最小值；
（2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9
2
；（2）[1,1]-.
【分析】（1）由()13f =可得2a b +=，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得； （2）依题意可得1a b +=，即2(1)10ax a x -++>在(1,1)-上恒成立，等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集，再对参数a 分类讨论，分别计算可得；
【详解】解：（1）函数2()(2)3f x ax b x =+-+，由(1)233f a b =+-+=，可得2a b +=，所以
141141419()552222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当
4b a
a b =时等号成立，因为2a b +=，0a >，0b >，解得23a =，43
b =时等号成立， 此时14a b +的最小值是92
.
（2）由(1)232f a b =+-+=，即1a b +=，
又由2(2)32ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即2(1)10ax a x -++>在(1,1)-上恒成立， 等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集， ①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意；
②当a<0时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<；
③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
，满足题意；
④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭，不满足题意，（舍去），
综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．已知函数()21
x f x ax b
+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-．
（1）求函数()f x 的解析式，判断函数()f x 在0,上的单调性并证明；
（2）令()()g x f x m =-，若函数()g x 在0,
上有两个零点，求实数m 的取值范围；
（3）令()()()2
2120h x x tf x t x =+
-<，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）()1f x x x =+；函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，证明见解析；（2）m>2；（3）302
t -≤< 【解析】（1）由()f x 是奇函数，可知()12f -=-，()12f =，进而列出关系式，求出,a b ，即可得到函数()f x 的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数()f x 在0,
上的单调性； （2）由函数()g x 在0,上有两个零点，整理得方程210x mx -+=在0,上有两个不相等的实数根，进而可得到24002
m m ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，求解即可；
（3）由对任意的1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
都有()()12154h x h x -≤恒成立，可得()()max min 154h x h x -≤，求出()()max min ,h x h x ，进而可求出t 的取值范围.
【详解】（1）()12f -=-，且()f x 是奇函数，()12f ∴=，
2222a b a b ⎧=-⎪⎪-+∴⎨⎪=⎪+⎩
，解得10a b =⎧⎨=⎩， ()1x
f x x ∴=+． 函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，
证明如下：任取1x ，()20,1x ∈，且12x x <，
则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()12,0,1x x ∈，且12x x <，
120x x ∴-<，1201x x <<，
∴1210x x -<，
()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，
∴函数()f x 在0,1上单调递减.
同理可证明函数()f x 在1,
上单调递增． （2）函数()g x 在0,上有两个零点，即方程10x m x
+-=在0,上有两个不相等的实数根，
所以210x mx -+=在0,上有两个不相等的实数根， 则24002
m m ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得m>2． （3）由题意知()22112h x x t x x x ⎛⎫ ⎪⎝
=+-⎭+， 令1z x x
=+，222y z tz =--， 由（1）可知函数1z x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在[]1,2上单调递增， 52,2z ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
， 函数222y z tz =--的对称轴方程为0z t =<，
∴函数222y z tz =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 当2z =时，222y z tz =--取得最小值，min 42y t =-+； 当52z =时，222y z tz =--取得最大值，max 1754
y t =-+. 所以()min 42h x t =-+，()max 1754
h x t =-+， 又对任意的1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
都有()()12154h x h x -≤恒成立， ()()max min 154
h x h x ∴-≤， 即()171554244
t t -+--+≤， 解得32
t ≥-，又0t <， t ∴的取值范围是302
t -≤<． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。