信号与系统第5章

0 1 as s e F a a
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
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信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
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收敛域
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信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
反因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例2 反因果信号 2(t)= eβtε(-t) ,求其拉普拉斯变换.
1
σ + j∞
Fb ( s ) e st d s
Fb(s)称为 的双边拉氏变换(或象函数), 称为f(t)的双边拉氏变换 称为 的双边拉氏变换(或象函数), f(t)称为 b(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数). 称为F 的双边拉氏逆变换(或原函数). 称为
二,收敛域
只有选择适当的σ值才能使积分收敛,即信号 的 只有选择适当的σ值才能使积分收敛,即信号f(t)的 双边拉普拉斯变换存在. 双边拉普拉斯变换存在. 拉氏变换存在σ 使 f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为 b(s)的收敛域. 拉氏变换存在 的取值范围称为F 的收敛域. 收敛域的问题. 下面举例说明F 收敛域的问题 下面举例说明 b(s)收敛域的问题.
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 0 2 -1 4 t t
解: f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
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信号与系统
5.2
拉普拉斯变换性质
五,时域的微分特性(微分定理) 时域的微分特性(微分定理)
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>σ0, σ 则f'(t) ←→ sF(s) – f(0-) f''(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f'(0-) f(n)(t) ←→ snF(s) –
+jω Fb(σ+jω)= [ f(t)
σ e-σt]=
∫
∞
∞
f (t ) e
σ t
e
jω t
d t = ∫ f (t ) e (σ + jω )t d t
∞
∞
相应的傅里叶逆变换 为 1 ∞ -σt= σ Fb (σ + jω ) e j ω t d ω f(t) e 2π ∫ ∞
1 f (t ) = 2π
σ> -Re[s0]
ω0 ω sinω0t = (ejω t– e-jω t )/2j ←→ 2 ω 2 s + ω0
0 0
s ω cosω0t = (ejω0t+ e-jω0t )/2 ←→ 2 ω 2 s + ω0
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5.2
拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质 一,线性性质
求图中信号y(t)的拉氏变换 的拉氏变换Y(s). 求图中信号 的拉氏变换 . 解: y(t)= 4f(0.5t)
f(t) 1 0 1 y(t) 2 4 t
Y(s) = 4×2 F(2s) ×
= 8 e 2 s
(2s )2
(1 e
2s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s = 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
2
4
t
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5.2
拉普拉斯变换性质
三,时移(延时)特性 时移(延时)
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>σ0, 且有实常数 0>0 , σ 且有实常数t 则f(t-t0)ε(t-t0) ←→ e-st0F(s) , Re[s]>σ0 ε σ 与尺度变换相结合 f(at-t0)ε(at-t0)←→ ε
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信号与系统
第五章 连续系统的s域分析
频域分析以虚指数信号 为基本信号, 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号,任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和. 分解为众多不同频率的虚指数分量之和.使响应的求解 得到简化.物理意义清楚.但也有不足: 得到简化.物理意义清楚.但也有不足: (1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2tε(t); )有些重要信号不存在傅里叶变换, (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析. )对于给定初始状态的系统难于利用频域分析. 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题. 域来解决这些问题. 本章引入复频率 以复指数函数e 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数 st为基本信 以复指数函数 任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和. 号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和. 这里用于系统分析的独立变量是复频率 故称为s域分 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ,故称为 域分 所采用的数学工具为拉普拉斯变换. 析.所采用的数学工具为拉普拉斯变换.
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-1
0
1
t
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信号与系统 "周期信号"fT(t) 周期信号" 周期信号
5.2
拉普拉斯变换性质
fT(t)= f (t)+f (t-T)+f(t-2T)+f (t-3T)+…… 若f(t) ←→ F(s),则: 则
FT ( s ) = F ( s )(1 + e
可见,对于反因果信号, 可见,对于反因果信号,仅当 Re[s]=σ<β时,其拉氏变换存在. 其拉氏变换存在. σ β 收敛域如图所示. 收敛域如图所示.
0
β
σ
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5.1 拉普拉斯变换
双边信号求其拉普拉斯变换. 例3 双边信号求其拉普拉斯变换. e β t , t < 0 f 3 (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) = α t e , t > 0 求其拉普拉斯变换. 求其拉普拉斯变换. 解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2 仅当β α 仅当β>α时,其收敛域 为 α<Re[s]<β的一个带 β 状区域,如图所示. 状区域,如图所示.
0 jω
α
β
σ
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5.1 拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻, 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为 坐标原点.这样, 时 坐标原点.这样,t<0时,f(t)=0.从而拉氏变换式写为 .
F ( s) = ∫ f (t ) e
0
∞
st
信号与系统 5.1 拉普拉斯变换
第五章 连续系统的s域分析
一,从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二,收敛域 单边)拉普拉斯变换 三,(单边 拉普拉斯变换 单边
5.2 5.3 5.4
拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换逆变换 复频域分析
一,微分方程的变换解 二,系统函数 系统的s域框图 三,系统的 域框图 电路的s域模型 四,电路的 域模型 点击目录
dt
称为单边拉氏变换.简称拉氏变换. 称为单边拉氏变换.简称拉氏变换.其收敛域一定是 单边拉氏变换 拉氏变换 Re[s]>α ,可以省略.本课程主要讨论单边拉氏变换. 可以省略.本课程主要讨论单边拉氏变换. α
三,单边拉氏变换
简记为F(s)=[f(t)] 简记为 F ( s) = f (t ) e d t f(t)= -1[F(s)] 0 def 1 或 σ + j∞ f (t ) = F ( s ) e st d s ε (t ) f(t)←→ F(s) σ j∞
def
∫
∞
st
2π j ∫
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5.1 拉普拉斯变换
四,常见函数的拉普拉斯变换
1,δ(t) ←→1,σ> -∞ , , δ'(t) ←→s,σ> -∞ , 2,ε(t)或1 ←→1/s ,σ> 0 , 或
1 3,指数函数 -s0t ←→ s + s ,指数函数e 0
e ( s β )t F2b ( s ) = ∫ e e d t = ∞ (s β )
0
βt
st
0 ∞
1 = [1 lim e (σ β )t e jω t ] t → ∞ (s β )
jω
, Re[ s ] = σ . > β 无界 = 不定 , σ =β 1 σ <β (s β ) ,
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∫
∞
∞
Fb (σ + jω ) e (σ + jω ) t d ω
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令s = σ + jω,d ω=ds/j,有 ω ,
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5.1 拉普拉斯变换
Fb ( s) = ∫ f (t )e st d t
∞
∞
双边拉普拉斯变换对
f (t ) =
2π j ∫σ j ∞
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>σ0,且有实数 σ 且有实数a>0 , 则f(at) ←→ 1 F( s )
a a
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Re[s]>aσ0 σ
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5.2
拉普拉斯变换性质
e s 如图信号f(t)的拉氏变换 的拉氏变换F(s) = 2 (1 e s s e s ) 例:如图信号 的拉氏变换 s
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5.2
拉普拉斯变换性质
四,复频移(s域平移)特性 复频移( 域平移)
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>σ0 , 且有复常数 a=σa+jωa, σ 且有复常数s σ ω 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>σ0+σa σ σ 已知因果信号f(t) 的象函数 的象函数F(s)= 例1:已知因果信号 已知因果信号 求e-tf(3t-2) 的象函数. 的象函数. 解:e-tf(3t-2)
s +1 e ←→ 2 (s +1) + 9
2 ( s+1) 3
s s2 +1
例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ? 解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
s 2 2 2 2 s+2 F ( s) = 2 + 2 = 2 s2 + 4 s +4 2 s +4 2
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>σ1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>σ2 σ σ 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(σ1,σ2) σ σ 例 f(t) = δ(t) + ε(t)←→1 + 1/s, σ> 0 ,
二,尺度变换
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5.1 拉普拉斯变换 一,从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难. 有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难. 为此,可用一衰减因子e σ σ为实常数)乘信号f(t) , 为此,可用一衰减因子 -σt(σ为实常数)乘信号 σ 适当选取σ的值,使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅 适当选取σ的值,使乘积信号 → 时信号幅 σ 的傅里叶变换存在. 度趋近于0 从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在. 度趋近于 ,从而使