福建省东山县2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文
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福建省东山县2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文
(必修3、选修1-1至圆锥曲线)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题只有一个正确选项,每小题5分,共60分) 1、有下列调查方式:①学校为了解高一学生的数学学习情况,从每班抽2人进行座谈;②一次数学竞赛中,某班有15人在100分以上,35人在90~100分,10人低于90分。
现在从中抽取12人座谈了解情况;③运动会中工作人员为参加400m 比赛的6名同学公平安排跑道。
就这三个调查方式,最合适的抽样方法依次为( )
A. 分层抽样,系统抽样,简单随机抽样
B. 系统抽样,系统抽样,简单随机抽样
C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样
D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样2、F 1(0,﹣1)、F 2(0,1)是椭圆的两焦点,过F 1的直线l 交椭圆于M 、N ,若△MF 2N 的周长为8,则椭圆方程为( )
A .
B .
C .
D .
3、双曲线12
2
=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于( )
A .
2
1
B .
2
2 C .1
D .2
4、设命题甲:ABC ∆有一内角是
60,命题乙:ABC ∆三内角的度数成等差数列,那么( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
5、某公司过去五个月的广告费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有下列对应数据:
工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失.已知y 对x 呈线性相关关系,且回归方程为
=6.5x+17.5,则下列说法: ①销售额y 与广告费支出x 正相关; ②丢失的数据(表中
处)为30;
③该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加6.5万元;
④若该公司下月广告投入8万元,则销售额为70万元. 其中,正确说法有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
6、程序框图如图,如果程序运行的结果为S =132,那么判断框中应填入( )
A 、10?k ≤
B 、10?k ≥
C 、11?k ≤
D 、11?k ≥ 7、下列命题中,真命题是( ) A.]2
,
0[π
∈∃x ,2cos sin ≥+x x
B.),3(+∞∈∀x ,122
+>x x C.1,2
-=+∈∃x x R x
D.x x x sin tan ),,2
(
>∈∀ππ
8、已知抛物线x=4y 2上一点P (m ,1),焦点为F .则|PF|=( )
A .m+1
B .2
C .
D .
9、已知a >b >0,椭圆C 1的方程为+=1,双曲线C 2的方程为﹣=1,C 1与C 2的离
心率之积为,则C 2的渐近线方程为( )
A .x ±
y=0 B .
x ±y=0
C .x ±2y=0
D .2x ±y=0
10、在区间[0,1]上随机取两个数x ,y ,记p 1为事件“x +y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤1
2”的
概率,则( )
A. p 1<p 2<12
B. p 2<12<p 1
C. p 1<12<p 2
D. 1
2<p 2<p 1
11、已知函数)()(],3,2[],3,2
1
[,2)(,4)(2121x g x f x x a x g x x x f x ≥∈∃∈∀+=+
=使得若,则实数a 的取值 范围是( ) A.1≤a
B.1≥a
C.0≤a
D.0≥a
12、我们把离心率e =的椭圆叫做“优美椭圆”。
设椭圆22221x y a b
+=为优美椭圆,F 、A
分别是它的右焦点和左顶点,B 是它短轴的一个端点,则ABF ∠等于( )
A. 900
B.750
C. 600
D. 1200
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13、二进制数101101110(2)化为十进制数是 ,再化为八进制数是 .
14、若椭圆
的离心率e=,则m 的值为
15、过原点的直线l 与双曲线有两个交点,则直线l 的斜率的取值
范围是
16、已知F 是抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点,过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,AB 中点为
C ,过C 作抛物线的准线的垂线交准线于C 1点,若CC 1中点M 的坐标为(
,4),则p= .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分10分)
运行右图所示的程序框图,当输入实数x 的值为3-时,输出的函数值为12, 当输入实数x 的值为1时,输出的函数值为2。
(1)求函数)(x f 的解析式;
(2)(2)当输出结果为80时,求输入的x 的值。
18、(本小题满分12分)
已知命题p :2,(25)0x R x kx k ∀∈+++≥恒成立。
命题q :方程
=1表示焦点在x 轴上的双曲线。
.
(Ⅰ)命题q 为真命题,求实数k 的取值范围;
(Ⅱ)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k 的取值范围.
19、(本小题满分12分)
已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),
(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求直线l的方程。
20、(本小题满分12分)
某班50位同学周考数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:
[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100].
(1)求图中[80,90)的矩形高的值,并估计这50人周考数学的平均成绩;
(2)根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数(精确到0.1);
(3)从成绩在[40,60)的学生中随机选取2人,求这2人成绩分别在[40,50)、[50,60)的概率.
21、(本小题满分12分)
已知抛物线的顶点在坐标原点O,对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2,且|AF|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点M(8,0)作直线l交抛物线于B,C两点,求证:OB⊥OC.
22、(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)过点P(1,),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t,求t的最大值;
②若直线l的斜率为,试探究OA2+OB2是否为定值,若是定值,则求出此定值;
若不是定值,请说明理由.
高二(上)数学(文)期中考参考答案
DBBC BABD ACCA
13、366,556(8) 14、2或
1
4
15、(﹣∞,﹣)∪(,+∞)
16、【解答】解:设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则其准线为x=﹣
∵CC 1中点M 的坐标为(,4),∴y 1+y 2=8,
C (2
+,4),F (,0),可得AB 的斜率为:
,
AB 的方程为:y=(x ﹣),代入抛物线方程可得:y 2
﹣py ﹣p 2
=0
∴y 1+y 2=,可得
p=8,∴p=4
.故答案为:4
.
17、
18、解:(Ⅰ)当命题q 为真时,由已知得,解得1<k <4
∴当命题q 为真命题时,实数k 的取值范围是1<k <4 …4分 (Ⅱ)当命题p 为真时,由k 2
﹣8k ﹣20≤0解得﹣2≤k ≤10 …6分 由题意得命题p 、q 中有一真命题、有一假命题 …
当命题p 为真、命题q 为假时,则,
解得﹣2≤k ≤1或4≤k ≤10.…8分
当命题p 为假、命题q 为真时,则,k 无解.…10分 ∴实数k 的取值范围是.[]
[]-2,14,10…12分
19、解:∵椭圆C : +=1(a >b >0)的离心率为
,四个顶点构成的四边形的面积为
12,
∴,解得a=2,b=,∴椭圆方程为, 5分
∵直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1),
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣4,y1+y2=2,
又,两式相减,得:(x1﹣x2)(x1+x2)+(y1﹣y2)(y1+y2)=0,
∴﹣(x1﹣x2)+(y1﹣y2)=0,
∴直线l的斜率k==.直线l的方程:x-2y+4=0 12分
20、解:(1)由频率分布直方图得:(0.006×3+0. 01+0.054+x)×10=1,
解得x=0.018.∴图中[80,90)的矩形高的值为0.018. 1分
由频率分布直方图估计这50人周考数学的平均成绩:
=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74(分). 3分(2)由频率分布直方图得这50人成绩的众数为75, 4分
∵(0.006+0.006+0.01+0.54)×10=0.76,
∴中位数应位于第四个小矩形中,
设其底边为x,高为0.054,则0.054x=0.28,
解得x≈5.2 ∴中位数M=75.2. 6分
(3)成绩在[40,60)的学生有(0.006+0.006)×10×50=6人,
其中成绩在[40,50)、[50,60)中各有3人,
从中随机选取2人,基本事件总数n=15 8分
这2人成绩分别在[40,50)、[50,60)包含的基本事件个数m=3×3=9, 10分
∴这2人成绩分别在[40,50)、[50,60)的概率p==. 12分
21、【解答】(1)解:设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),
由其定义知|AF|=4=2+,所以p=4,y2=8x; 4分
(2)证明:法一:设B、C两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
因为直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ky+8,
由方程组得y2﹣8ky﹣64=0,y1+y2=8k,y1y2=﹣64,
因为,
所以=(k2+1)y1y2+8ky(y1+y2)+64=0
所以OB⊥OC. 12分
法二:①当l的斜率不存在时,l的方程为x=8,此时B(8,8),C(8,﹣8),
即,有,所以OB⊥OC.6分
②当l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x﹣8),
方程组得k2x2﹣(16k2+8)x﹣64k2=0,ky2﹣8y﹣64k=0,
所以x1x2=64,y1y2=﹣64,
因为,所以,
所以OB⊥OC,由①②得OB⊥OC. 12分
22、【分析】(1)由椭圆过点P(1,),离心率为,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)①设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出t的最大值.
②设直线l的方程为y=,代入椭圆,得,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出OA2+OB2为定值.
【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)过点P(1,),离心率为,
∴,解得a=2,b=,∴椭圆C的方程为=1.4分
(2)①设直线l的方程为x=my+1,直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,△=36m2+36(3m2+4)>0,
,,
∴k AP•k BP===
=﹣,
∴t=k AB•k AP•k BP=﹣=﹣()2+,∴当m=﹣时,t有最大值.8分②设直线l的方程为y=,直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,
,即,
,,
=(+n)2+(+n)2
=
=
=(x1+x2)+2n2
==7.
∴OA2+OB2为定值7. 12分。