2016年北京高考真题数学理(含解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）
数学（理工类)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项．
（1）已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-则A B =（ ） （A){}0,1 (B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D){}1,0,1,2-
(2) 若,x y 满足20,3,0,x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩ 则2x y +的最大值为（ )
（A ）0 （B ）3 (C ）4 （D)5
(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为( ）
（A ）1
(B ）2
（C)3 (D）4
(4)设a,b是向量，则“a b
="是“+
a b a b
=-”的( ）
（A）充分而不必要条件(B）必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知,x y∈R，且0
x y
>>，则（）
（A）11
x y
->(B）sin sin0
x y
->（C）
11
22
x y
⎛⎫⎛⎫
-<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（D）ln ln0
x y
+>
(6）某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( ）
（A)1
6
（B）
1
3
（C)
1
2
（D）1
（7）将函数
π
sin2
3
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
图像上的点
π
,
4
P t
⎛⎫
⎪
⎝⎭
向左平移()0
s s>个单位长度得到点P'．若
P'位于函数sin2
y x
=的图像上，则( )
（A)
1
2
t=，s的最小值为
π
6
（B）
3
t,s的最小值为
π
6
（C）
1
2
t=，s的最小值为
π
3
（D）
3
t=,s的最小值为
π
3
（8) 袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半，甲 ,乙，丙 是三个空盒，每次从袋中随意取出两个球，将期中一个球放入甲盒，如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中,则( )．
（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中的红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6题，每小题5分,共30分．
（9）设a ∈R ，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． （10）在()6
12x -的展开式中，2x 的系数为__________．
（11)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = __________．
(12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若1356,0a a a =+=，则6S =__________． （13）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B
为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2,则a =__________． (14)设函数()33,2,
x x f x x ⎧-=⎨-⎩,
,x a x a ≤>
①若0a =，则()f x 的最大值__________．
②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. （本小题13分)在ABC △中，222a c b +=+ （1） 求B ∠的大小．
（2） cos A C +的最大值．
16. (本小题13分)A ，B ，C 三班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层
（Ⅰ）试估计班的学生人数；
（Ⅱ)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人
记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A ，B ，C 三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）,这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为1μ,表格中的数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）
17. （本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =,AB AD ⊥，
1AB =,2AD =，5AC CD ==．
（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM
AP
的值;若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分)
设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()14y e x =-+. (1）求,a b 的值；
（2）求()f x 的单调区间。

（19）（本小题14分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，(),0A a ,()0,B b ,()0,0O ，OAB ∆的面积
为1。

（1）求椭圆C 的方程;
（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：AN BM ⋅为定值.
20。

（本小题13分）设数列()12,,
2.N A a a a N ≥：如果对小于()2n n N ≤≤的每一个正整
数k 都有k n a a <则称n 是数列A 的一个” G 时刻”.记()G A 是数列A 的所有" G 时刻"组成的集合。

()1对数列A ：-2,2,-1,1,3,写出()G A 的所有元素;
()2证明：若数列A 中存在n a 使得1k a a >，则()G A ≠∅; ()3证明：若数列A 满足()112,3,
,n n a a n N --≤=,则()G A 的元素个数不小于1N a a -.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案（理工类）
一、选择题
(1)解析，集合2x 2A =-<<所以A B ={}1,0,1- 选c
（2)解析如图当取点A （1,2）时，取到最大值4
选C
（3）循环一次，1b =，1
2
a =-，0k =；
循环二次，2a =-,1k =； 循环三次，1a =,2k =， 故答案选B ．
4．当a 与b 方向相反时，不能得到a b a b +=-；
而当a b a b +=-时,平方得0a b ⋅=，即a b ⊥，因此a 与b 可以不相等, 因此选既不充分也不必要． 选D 5。

【答案】C
【解析】特殊值法：A 取2,1x y ==排除，B 取2π,πx y ==排除，D 取1
1,2
x y ==排除，C 由单调性可知1122x
y
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
移项正确．
（6）A
【解析】三视图还原如右图所示：
则三棱锥的体积
31
3
111113266
D ABC ABC S S BE
AB BC BE -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯=
7.【答案】A
【解析】点π,4P t ⎛⎫
⎪⎝⎭
在函数πsin(2)3y x =-上,所以ππsin(2)43t =⨯-π1sin()62==，
即1,42P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据平移的原则,有1,4
2P s π
⎛⎫'+ ⎪⎝⎭，
根据题意有1sin 2sin 2cos2422s s s ππ⎛⎫⎛
⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，结合余弦函数的图像可知满足余弦值等
于12的最小正角为3π,故s 的最小值为π
6．
（8）共两个球时 有以下两种情况 甲 乙 丙 红 黑
甲 乙 丙 黑 红 可排除A 和D
四个球时的其中一种情况如下 甲 乙 丙 红 红 黑 黑 可排除C 故：答案选B
分析：此题重点考察了选择题的一个重要做题思想：特值法、排除法．此外,还考察了学生的逻辑思维能力，以及在紧急状态下的应变能力．
二、填空题共6题，每小题5分，共30分．
（9）设a R ∈，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上,则a =___.
解答:()()()()1i i i i 111i a a a a a ++=++-=-++，因为复数在实轴上，所以有
10,1a a +==-． 答案：1-
（10)在()6
12x -的展开式中，2x 的系数为___。

解答：其中含有2x 的项为()2
2
426
1260C x x ⋅⋅-=，所以2x 的系数为60 答案：60
（11)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB =___.
解:cos ,sin x y ρθρθ==，所以
cos sin 10ρθθ-=可以变形为
10x -=,2cos ρθ=可以变形为()2
211x y -+=．因为直线10x -=过()1,0点，
圆()2
211x y -+=的圆心也是()1,0,所以交线AB 为直径,又因为1,22r r ==，所以2AB = 答案：2
（12)已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和．若1356,0a a a =+=，则6S =___.
解：{}n a 为等差数列,354=20a a a +=，所以146,0a a ==，解得2d =-．所以6165
662
S a d ⨯=⋅+
= 答案:6
（13）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B
为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =___。

解：因为两条渐近线是正方形OABC 的相邻两边,所以夹角为90︒，可知渐近线的斜率为1±,
所以1,b a b a
±
=±=．因为B 为该双曲线的焦点，所以c =,由222
8,a b c a b +===可得2a =．
答案：2
(14）设函数()33,2,
x x f x x ⎧-=⎨-⎩,
,x a x a ≤>
①若0a =，则()f x 的最大值___。

②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是___。

解：
①当0a =时,函数变为()33,2,x x f x x ⎧-=⎨-⎩
0x x ≤>．当0x ≤时，()233f x x '=-，在(),1-∞-单增，
在(]1,0-单减．所以0x ≤时,()f x 的最大值是()12f -=；0x >时，()f x 单减,()0f x <,所以若0a =，则()f x 的最大值为2．
②函数的最大值只会在三个位置取到——极大值点、端点以及断点．()233,2,x f x ⎧-'=⎨-⎩
,
,x a x a ≤>，
因为()233f x x '=-,在(),1-∞-单增，存在最大值为2，所以，当1a ≥-时,()12f -=,在
()1,-+∞上,()2f x <，所以很有最大值为2．而题目要求不存在最大值,所以()12f -=是无
法取到的，所以(),1-∞-． 答案：2，(),1-∞-
三、解答题
15。

在ABC △中，222a c b += （3） 求B ∠的大小．
（4） cos A C +的最大值．
解：（1）2
2
2
a c
b +=，222cos 2a
c b B ac +-==
(0,π)B ∈，π
4
B = （2）在AB
C △中，πA B C ++=,π
cos cos()cos()4
C A B A =-+=-+
π
cos cos()4
A C A A +=-+
π
)sin()4
A A A A A A =-==+
3πππ
(0,
),(,π)444A A ∈+∈，所以当π
4
A =cos A C +的最大值为1．
16.A ，B ，C 三班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部
（Ⅰ）试估计班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人
记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; （Ⅲ）再从A ，B ，C 三班中个随机抽取抽取一名学生,题目该周期的锻炼时间分别是7，
9,8.25（单位：小时）
，这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为1μ,表格中的数据的平均数记为0μ,试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明） 解析：（Ⅰ）设C 班的学生人数为N ，
则
8
100578
N =
++,解得40N =; （Ⅱ)记该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长为事件A ；
由题可知,从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，共有11
58C C 40⨯=种；
满足条件的有()6,3,()6,4.5，()6.5,3，()6.5,4.5，()6.5,6,()7,3,()7,4.5,()7,6，
()7.5,3,()7.5,4.5，()7.5,6，()8,3，()8,4.5,()8,6,()8,7.5共15种；
所以，153
()408
P A =
=； （Ⅲ)01μμ>．
(提示：新选出7，9，8.25的平均数约为8.08；A ,B ，C 的三组数据均为等差数列，平均数分别为7，9，8.25，整体平均数显然大于8.08）
17。

如图，在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥，PA PD =,AB AD ⊥,
1AB =,2AD =，AC CD ==
(Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ;
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在，求
AM
AP
的值;若不存在，说
明理由．
解析：（Ⅰ）证明：面PAD
面ABCD AD =,
面PAD ⊥面ABCD ,
∵AB AD ⊥，AB ⊂面ABCD ， ∴AB ⊥面PAD , ∵PD ⊂面PAD ,
∴AB PD ⊥，又PA PD ⊥， PD ∴⊥面PAB ；
（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结CO ,PO ， ∵5CD AC ==，∴CO AD ⊥， ∵PA PD =,∴PO AD ⊥,
以O 为原点，建立如图坐标系;
易知()0,0,1P ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，()2,0,0C ，
则()1,1,1PB =-，()0,1,1PD =--，()2,0,1PC =-,()2,1,0CD =--， 设平面PDC 的法向量为()11,,1n x y =，
则00
n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得1,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，
sin cos ,1
n PB n PB n PB
θ=⋅==⋅（Ⅲ）假设存在()000,,M x y ,使得BM ∥平面PCD ，设AM
AP
λ=， ()0,1,0A ,()0,0,1P ，()1,1,0B
()0,1,1AP =-,()000,1,AM y z =-，
AM AP λ=，得()0,1,M λλ-，
()1,,BM λλ=--，
∵BM ∥平面PCD ，平面PDC 的法向量为n ， ∴0BM n ⋅=,即102λλ-++=，解得1
4
λ=，
即当1
4
AM AP =时,满足题意．
18.（1）解析：()()1a x f x x e b -'=-+，根据题意，有
()()2
222222
211a f e b e a b e f b e -⎧=+=+=⎧⎪⇒⎨
⎨='=-=-⎩⎪⎩
． (2）解析：
由（1），()()()
122
11x x
x e x f x x e
e e -----'=-+=
，导函数分母为正,只需考虑分子的符号即可． 构造函数()x g x e x =-，()100x g x e x '=-=⇒=． 故()g x 在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增,
()()01g x g =≥，即()0g x ≥恒成立且不恒为0，因此()()
2
10x g x f x e -
-'=
≥且不恒为0． 故()f x 在R 上单调递增，无单调递减区间．
19.【解析】（1）由题意得，c a =
,1
12
ab =，又因为222a b c =+ 解得2a =，1b =，c ，
故方程为2
214
x y +=
（2)当P 在左顶点处时，4,1AN BM ==所以4
AN BM ⋅=,当P 在下顶点时
2,2AN BM ==,4AN BM ⋅=，当P 在上顶点
时，不合题意,当P 不在顶点处，设()()0000,0P x y x y ≠，则
2
20014
x y +=，即220044x y +=，
又因为()2,0A ，()0,1B ，则直线PA ：()0
022y y x x =
--,令0x =，得0020,2y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭
直线PB ：001
1y y x x -=
+,令0y =，得00,01x N y ⎛⎫-
⎪-⎝⎭
0000022211x y x AN y y +-=+
=--， 00000222122
y y x BM x x +-=+=--, 220000000000
00000000444484444842222
y x x y x y x y x y AN BM x y x y x y x y +++--++--===--+--+
20.解：(I ） ()G A 的所有元素：2,5
（II) 证明：不妨设123,,,,n a a a a 中的最大值第一次出现时为(1)m a m n <≤， 则由1n a a >可得1m a a >
因此对小于m 的每个正整数k 都有k m a a <， 故()m G A ∈，所以()G A ≠∅； （III) 证明:
①当1N a a ≤时，显然成立；
②当1N a a >时，先证明数列A 中第一次出现比1a 大的数p a 应属于区间11(,1]a a +，否则假设第一次出现比1a 大的数为11p a a >+，则11p p a a -->，矛盾,故结论成立． 依题()p G A ∈
同理数列A 中第一次出现比11(0,1,2,3[]1)N a i i a a +=--，，大的数时应属于区间1(,1]i a i a i +++，其对应的项也都是数列的“G 时刻” 若1N N a a *-∈，则至少对应1N a a -个“G 时刻”；
若1N N a a *-∉,则第一次出现比11[]N a a a +-大的数时所对应的项数也为数列的“G 时刻”，
则至少会有1[]1N a a -+个“G 时刻”； 综上，()G A 的元素个数不小于1N a a -。