概率论与数理统计自考(习题卷2)

概率论与数理统计自考(习题卷2)

第1部分：单项选择题，共97题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。

1.[单选题]设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立,则根据辛钦大数定律,当n→∞时,

依概率收敛其数学期望,只要{Xn,n≥1}()。

A)有相同的数学期望

B)服从同一离散型分布

C)服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布

答案:C

解析:直接应用辛钦大数定律的条件进行判断,C项正确。事实上,应用辛钦大数定律,随机变量序列{Xn,n≥l}必须是“独立同分布且数 学期望存在”,A项缺少同分布条件,B、D两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。故C项正确。

2.[单选题]设随机变量X和Y均服从分布B(1,1/2),且E(XY)=1/2,记X与Y的相关系数为ρ,则( )。

A)ρ=1

B)ρ=-1

C)ρ=0

D)ρ=1/2

答案:A

解析:,DX=DY=1/4;cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=1/2×1/2=1/4,故ρ=1。

3.[单选题]假设X,X1,X2,…,X10是来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本,

,则( )。

A)X2~χ2(1)

B)Y2~χ2(10)

C)X/Y~t(10)

D)X2/Y2~F(10,1)

答案:C

解析:由题设知,X~N(0,σ2),Xi~N(0,σ2),X/σ~N(0,1),Xi/σ~N(0,1),且相互独立.AB两项,由χ2分布定义知

,X2/σ2~χ2(1),

style="width: auto;" class="fr-fic fr-fil fr-dib">,因此AB两项不成立;C项,由t分布定义知

style="width: auto;" class="fr-fic fr-fil fr-dib">;D项,由F分布定义知

style="width: auto;" class="fr-fic fr-fil fr-dib">。

4.[单选题]设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其分布函数为F(x),设随机变量Y=F(x),则P{Y≤1/2}的值()。

A)与参数μ和σ有关

B)与参数μ有关,但与σ无关

C)与参数σ有关,但与μ无关

D)与参数μ和σ均无关

答案:D

解析:由已知,F(x)是严格单调增函数,且F(μ)=1/2,故P{Y≤1/2}=P{F(x)≤1/2}=P{x≤μ}=1/2,即其值与参数μ和σ均无关。

5.[单选题]设随机变量X在[0,1]上服从均匀分布,记事件A={0≤X≤1/2},B={1/4≤X≤3/4},则()。

A)A与B互不相容

B)B包含A

C)A与B对立

D)A与B相互独立

答案:D

解析:由图形立即得到D项正确,事实上,由题设知故

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P(AB)=P(A)P(B)A与B相互独立。

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图1-1

6.[单选题]设随机变量X的分布律为,F(x)为X的分布函数,则F(0.5)=( )。

A)0

B)0.2

C)0.25

D)0.3

答案:D

解析:根据分布函数的定义,F(0.5)=P{X≤0.5}=P{X=-1}+ P{X=0}=0.1+0.2=0.3。

7.[单选题]已知X~N(15,4),若X的值落入区间(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)内的概率之比为

7:24:38:24:7,则x1,x2,x3,x4分别为( )。

A)12,13.5,16.5,18

B)11.5,13.5,16.5,18.5

C)12,14,16,18

D)11,14,16,19

附:标准正态分布函数值Φ(1.5)=0.93,Φ(0.5)=0.69。

答案:C

解析:X落入(-∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),(x3,x4),(x4,+∞)的概率应为7/100,24/100,38/100,24/100,7/100,即

0.07,0.24,0.38,0.24,0.07。

P{X≤x4}=1-P{X>x4}=1-0.07=0.93=Φ(1.5)

而X~N(15,4),所以(X-15)/2~N(0,1),

P{X≤x4}=P{(X-15)/2≤(x4-15)/2}=Φ((x4-15)/2)

所以(x4-15)/2=1.5,解得x4=18。

又P{X≤x3}=1-P{X>x3}=1-0.24-0.07=0.69=Φ(0.5),

P{X≤x3}=P{(X-15)/2≤(x3-15)/2}=Φ((x3-15)/2),得(x3-15)/2=0.5,故x3=16。

由对称性知x1与x4,x2与x3都关于15对称,所以x1=15-(x4-15)=12,x2=15-(x3-15)=14。

8.[单选题]盒子中有8个红球和4个白球,每次从盒子中任取一球,不放回地抽取两次,试求取出的两个球都是红球的概率( )。

A)14/33

B)19/33

C)1

D)22/33

答案:A

解析: