2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：三角函数

所以π2＋kπ<α2<34π＋kπ，k∈Z，
则α2是第二或第四象限角，
又cos
α2＝－cos
α2，即
cos
α2<0，
所以α2是第二象限角.
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2.(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形
将
f(x)
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
得
g(x) ＝ 2sin 2x＋π3－π3 ＝
2sin2x＋π3的图象， 向右平移 φ(φ>0)个单位长度得 h(x)＝2sin2x－φ－π3＝2sin2x－2φ－π3 的图象，
由题意得 －2φ－π3＋2kπ＝π3(k∈Z)， 所以 φ＝kπ－π3(k∈Z)，又 φ>0，故 φ 的最小值为23π.
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f(x)－g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin2x＋π4，最小正周期为 T＝22π＝π， 选项 C 错误； f(x)－g(x)＝ 2sin2x＋π4，令π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ(k∈Z)， 解得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，π8≤x≤58π， 所以 f(x)－g(x)在(0，π)上的单调递减区间是π8，58π，选项 D 正确.
第四章 三角函数与解三角形
必刷小题7 三角函数
一、单项选择题
1.(2023·杭州模拟)设
α
是第三象限角，且cos
α2＝－cos α2，则α2的终边
所在的象限是
A.第一象限
√B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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因为 α 是第三象限角，所以 π＋2kπ<α<32π＋2kπ，k∈Z，
2cos 50°－tan240°＝2sin 40°－2scions4400°°
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对于 A，由题意可知函数 g(x)＝sin(2x＋φ)0<φ<π2的 图象在区间[a，b]上的对称轴为直线 x＝x1＋2 x2， 又 g(x1＋x2)＝ 23，所以 g(0)＝g(x1＋x2)＝ 23， 所以 sin φ＝ 23，又因为 0<φ<π2， 所以 φ＝π3，故 g(x)＝sin2x＋π3，故 A 正确；
√C.函数f(x)－g(x)的最小正周期为
π 2
D.函数f(x)－g(x)在(0，π)上的单调递减区间是
π8，58π
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由 f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得 g(x)＝cos 2x＋π4＝ cos2x＋π2＝－sin 2x， 故 f(x)·g(x)＝－sin 2xcos 2x＝－12sin 4x 为奇函数，选项 A 正确； f(x)·g(x)＝－12sin 4x 的对称轴方程满足 4x＝π2＋kπ(k∈Z)， 即 x＝π8＋k4π(k∈Z)，当 k＝－1 时，对称轴方程为 x＝－π8，选项 B 正确；
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√A.g(x)＝sin2x＋π3 √B.f(x)＝sin4x－π3
C.g(x)在π，32π上单调递增
√D.函数 f(x)在0，43π上的零点为 x1，x2，…，xn，则 x1＋2x2＋2x3＋…＋
2xn－1＋xn＝8152π
√A.π4
π B.2
C.π
7π D. 4
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由已知，g(x)＝2sin4x＋π3，而 g(x2)－g(x1)＝4，则 x1，x2 分别是函数 g(x)的最小值点和最大值点，而函数的最小正周期 T＝24π＝π2，则|x1 －x2|的最小值为T2＝π4.
3 A.±4
√B.34
C.－34
4 D.3
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因为角 α 的终边经过点(－1，m)，且 sin α＝－35， 所以 1＋m m2＝－35，所以1＋m2m2＝295，且 m<0， 解得 m＝－34， 所以 tan α＝－m1＝－m＝34.
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8.若将函数 f(x)＝2sin2x－π3的图象分别向左平移π3个单位长度、向右平移 φ(φ>0)个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则 φ 的最小值为
√A.23π
π B.2
5π C. 3
D.π
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二、多项选择题
9.(2023·泉州模拟)将函数f(x)＝cos
2x的图象向左平移
π 4
个单位长度，
得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是
√A.函数f(x)·g(x)是奇函数
√B.函数f(x)·g(x)的图象关于直线x＝－π8 对称
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当 k＝1 时，172π≤x≤1132π， 所以 g(x)在71π2，1132π上单调递增， 而π，32π⊈71π2，1132π，故 C 错误； 对于 D，令 t＝4x－π3，则 t∈－π3，5π， 函数 y＝sin t 在－π3，5π上有 6 个零点 t1，t2，…，t6，
∈
56π，116π
，
sin
2x－π6
∈
－1，12
，
g(x)
＝
2sin2x－π6∈[－2,1]，故 B 正确；
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当 x＝56π时，2x－π6＝32π，故函数 g(x)的图象关于直线 x＝56π对称， 故 C 正确； 由 g(x)＝2sin2x－π6可知，最小正周期为 π，又 x＝π3，2x－π6＝π2， 故函数 g(x)的图象不关于点π3，0对称，故 D 错误.
3
3 2 sin
α－12cos
α＝1，
即 2sin α＝1，解得 sin α＝12，
所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×122＝12.
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7.(2022·临汾模拟)将函数 f(x)＝2sin2x＋π3的图象上各点的横坐标缩短到 原来的12，纵坐标不变，得到 g(x)的图象，若 g(x2)＝g(x1)＋4，则|x1－x2| 的最小值为
2 2 (sin
2α－cos
2α)＝
22·tan2α1＋＋2tatann2αα－1＝
2 10 .
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5.(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是
π A.4
π B.2
√C.π
D.2π
f(x)＝|sin x＋cos x|＝ 2sinx＋4π， 函数图象是将 g(x)＝ 2sinx＋π4的图象在 x 轴 下方的部分向上翻折形成的，如图所示，
D.最小正周期为 π，其图象关于点π3，0对称
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由题可得 g(x)＝2sin2x－π6，
当 x∈π6，51π2时，2x－π6∈π6，23π，
故函数 g(x)在π6，152π上不单调，故 A 错误；
当
x∈
π2，π
时
，
2x
－
π 6
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4.(2023·盐城模拟)已知t1a＋n αta－n α1＝2，则 sin2α－4π的值为
√A. 102
2 B. 5
C.－ 102
D.－
2 5
由t1a＋n αta－n α1＝2，解得 tan α＝－3，
则
sin2α－4π＝
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由题意，将函数 y＝sin2x＋23π的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度 后得到 y＝sin2x＋φ＋23π＝sin2x＋2φ＋23π， 则 y＝sin2x＋2φ＋23π的图象关于直线 x＝π4对称. 所以 2×π4＋2φ＋23π＝kπ＋π2，k∈Z，即 φ＝k2π－π3，k∈Z， 当 k＝0 时，φ＝－π3，当 k＝1 时，φ＝π6.
的弧长为
A.3 cm
B.6 cm
设扇形弧长为 l cm，半径为 r cm，则rl＝3， 即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9， 故此扇形的弧长为9 cm.
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3.(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－35 ，则 tan α等于
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12.(2023·长沙模拟)将函数 f(x)的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平 移π3个单位长度，得到函数 g(x)＝sin(2x＋φ)0<φ<π2的图象(g(x)的部分图象 如图所示).对于∀x1，x2∈[a，b]，且 x1≠x2 若 g(x1)＝g(x2)，都有 g(x1＋x2) ＝ 23成立，则下列结论正确的是
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三、填空题 13.已知对任意x∈R，有cos
x＝sin(x＋φ)，则φ＝_π2_(_填__写__符__合__φ_＝__2_k_π_＋__π2_，_
_k_∈__Z__的__一__个__值__即__可__) _.(填写符合要求的一个值)
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10.(2022·武汉模拟)先将函数 f(x)＝2sin x 的图象向右平移π6个单位长度，再 将横坐标缩短为原来的12，得到函数 g(x)的图象，则关于函数 g(x)，下列说 法正确的是
A.在π6，152π上单调递增
√B.当 x∈π2，π时，函数 g(x)的值域是[－2,1] √C.其图象关于直线 x＝56π对称
由 sinx＋π2＝cos x，可知对任意 x∈R，有 cos x＝sinx＋π2， 所以 cos x＝sinx＋π2＋2kπ，k∈Z， 则 φ＝π2＋2kπ，k∈Z，填写符合 φ＝π2＋2kπ，k∈Z 的一个值即可.
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14.(2023·焦作模拟)计算：2cos 50°－tan240°＝___2_3__.
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11.(2023·九江模拟)将函数 y＝sin2x＋23π的图象沿水平方向平移|φ|个单 位长度后得到的图象关于直线 x＝π4对称(φ>0 向左移动，φ<0 向右移动)，
φ 可取的值为
π A.3
B.－1π2
√C.π6
√D.－π3
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则t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π， t5＋t6＝9π， 故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4 ＋2x5＋x6)－10× π3＝25π， 所以 x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＝8152π，故 D 正确.
根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.
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6.(2022·扬州模拟)已知 sinα＋π3＋ 3sinα－π6＝1，则 cos 2α 等于
A.－
3 2
√B.12
2 C. 2
3 D. 2
由题意可知，12sin
α＋
3 2 cos
α＋
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对于 B，g(x)＝sin2x＋π3向右平移π3个单位长度得到函数 y＝sin2x－π3的图象， 再将其横坐标缩短为原来的21得到 f(x)＝sin4x－π3的图象，故 B 正确； 对于 C，令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－51π2＋kπ≤x≤1π2＋kπ，k∈Z，