专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

所以 x 0, 2023 ，则方程x x 1 由 2022 个根.①④正确，
2 故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位
规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数
a0
a1a2
ak
2
(
k
N
*
）对应的十进制数
记为 mk ，即 mk a0 2k a1 2k1 ... ak1 2 ak 20 ，其中 a0 1 ， ai 0，1（i 1，2，3，，k），
317
4
c13 c23 c33 c173
56 4 c23 16 64 ，
1 所以
c18
4
，所以
7 2
1 c18
4 ，则
1 4
c18
2 7
.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列bn按原顺序分成 1 项，2 项，4 项，…， 2n1 项 的各组，再将公差为 2 的等差数列an 的各项依次插入各组之间，得到新数列cn：b1 ，a1 ，
1 2
nt
0
1 2
n
，
若
n
为偶数，此时
1 2
n
0
，则此时不存在 t
N*
，使得
1 nt 2
1 n 2
，
综上：B 选项错误；
设 an 2n 1 ，此时满足 a1 2 1 3 0 ，
也满足 n, s N*, ans 2n s 1， an as 2n 1 2s 1 2n s 2 ，
② n, s N*, ans an as ；③ n N* ，t N*, ant an .定义：同时满足性质①和②的数
列an为“ s 数列”，同时满足性质①和③的数列an 为“ t 数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 an 2n 3 ，则an 为“ s 数列”
B．若
an
1 2
n
则an 不是“ s 数列”，D 选项错误.
故选：A. 3．（2022·上海市洋泾中学高三开学考试）已知[x) 表示大于 x 的最小整数，例如[3) 4 ，
[1.3) 1，下列命题中正确的是（ ）
①函数 f (x) [x) x 的值域是 (0,1] ；
②若{an}是等差数列，则[an ) 也是等差数列； ③若{an}是等比数列，则[an ) 也是等比数列；
5
，则
a2k 1
1 2
5
, a2k
1 2
5
k N*
.
故 M 1 5 . 2
下证：当 M 1 5 时满足条件. 2
①存在 ak
1 2
5 ，已经成立；
②存在 ak
1 2
5
，则
ak 1
1 2
5 ，成立；
③存在 1 2
5
ak
1 2
5
，则
ak 1
1 2
5 ，成立.
假设存在
a1
，使得对每个
n,
1
1 4
193
1 1
72
76 2
2
1
172
3
1 384 2
．
4
故选：A．
7．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且
满足 2sin a5 2 3a5 5 0 ， 2 sin a2018 2 3a2018 7 0 ，则下列结论正确的是（ ）
b2
，b3
，a2
，b4
，b5
，b6
，b7
，a3 ，…，新数列cn的前
n
项和为
Sn
．若
c1
1，c2
2
，S3
13 4
，
则 S200= （ ）
A．
1 3
172
1 2
384
B．
1 3
130
1 2
386
C．
1 3
172
1 2
386
D．
130
1 2
384
【答案】A
【详解】解：由已知得 b1
1， a1
2
， b2
c3
S3
c1
c2
1 4
，等比数列bn 的公比 q
1 4
．
令 Tn 1 2 22 2n1 2n 1，则 T6 63 ， T7 127 ，T8 255
所以数列cn的前 200 项中含有数列an 的前 7 项，含有数列bn的前 193 项，
故 S200 b1 b2 b192 a1 a2 a8
所以
1 c18
3
52
，
1 c18
3
52
7 2
.当 n
1 ，得 c2
c1 c13 1
1 2
，由 0 cn
1得 cn6
cn3 ，
则
1 3
cn1
1
cn
+cn
2
3
1 cn
3
3
3cn
3
cn
6
1 cn
3 3 4cn
3
，
同上由累加法得
1 c18
3
1 c1
3
应的十进制数的和为 C（72 27 +26 +...+2+20）+C82 28 =21 255+28 256=12523
故选：D．
5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知数列{
cn
}满足
c1
1, cn1
cn cn3
1
,
n
N*
，
则 c18 （ ）
A．
1 3
,
2 5
B．
2 7
,
1 3
当 n 为奇数时，取 t 1，使得 an1 2n1 an ，
当 n 为偶数时，取 t 2 ，使得 an2 2n2 an ， 故an 为“ t 数列”，
但此时不满足 n, s N*, ans an as ，不妨取 n 1, s 2 ，
则 a1 2, a2 4, a3 8，而 a12 8 2 4 a1 a2 ，
S2022
2022(a1 2
a2022 )
1011(a5
a2018 )
4044 .
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足
a1
1,
an1
an
1 3
an2
n N
，则（
）
A．
2
100a100
5 2
B．
5 2
100a100
3
C．
3
100a100
7 2
D．
7 2
100a100
4
【答案】B
【详解】∵
a1
1，易得
a2
2 3
0,1
，依次类推可得
an
0,1
由题意， an1
an
1
1 3
an
，即
1 an1
3
an 3
an
1 an
1 3 an ，
1 ∴
an1
1 an
1 3 an
1 ，
3
1 即
a2
1 a1
11 ，
3 a3
1 a2
1， 1 3 a4
1 a3
1 3
，…，
4
1 6
94
an
1
2
5
,1 2
5
，设
a1
1
t
0.
则 an 1 an 1 1 an 1 1
3 2
an
1
1
3 2
n 1
t
.
令
n
log
3 2
1
2t
5
1，则
an
1
1 2
5 ，矛盾.
故总存在 ak ，满足①，②，③其中之一.
故选：C
2．（2022·北京八中高三阶段练习）对于无穷数列an ，给出如下三个性质：① a1 0 ；
，则an为“ t
数列”
C．若an为“ s 数列”，则an为“ t 数列”
D．若an为“ t 数列”，则an为“ s 数列”
【答案】A
【详解】若 an 2n 3 ，则 a1 2 3 1 0 ，满足①，
n, s N*, ans 2n s 3 ， an as 2n 3 2s 3 2n s 6 ，
有 2 个 0 的有 C82 =28 种可能，即所有符合条件的二进制数 a0a1a2 a8 2 的个数为 28． 所以所有二进制数 a0a1a2 a8 2 对应的十进制数的和中， 28 出现 C82 =28 次， 27 ， 26 …，2， 20 均出现 C72 =21 次，所以满足 a0，a1，a2，a8 中恰好有 2 个 0 的所有二进制数 a0a1a2 a8 2 对
④若
x
0,
2023
，则方程
x
1 e
x 1
x
有
2022
个解.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【详解】当 x Z 时，x x 1， f x x x x 1 x 1，
当 x Z 时，令 x n a ， n Z ， a 0,1 ，则x n 1，
f x x x 1 a 0,1 ，因此 f x x x 的值域是 0,1 ，
0.9,1,1.1 是等差数列，但0.9 1，1 2 ，1.1 2 不成等差数列；
0.5,1, 2 是等比数列，但0.5 1 ，1 2 ，2 3 不成等比数列；
由前分析可得当 x Z 时， f x 1；
当 x Z ， x n a ， n Z ， a 0,1 时， f x 1 a 1 x n n 1 x ，
则在 a0，a1，a2，a8 中恰好有 2 个 0 的所有二进制数 (a0a1...a8 )2 对应的十进制数的总和为（ ）
A．1910
B．1990
C．12252
D．12523
【答案】D
【详解】根据题意得 m8 1 28 a1 27 a2 26 a8 20 ，因为在 a0，a1，a2， a8中恰好
专题 16 数列（选填压轴题）
1．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）若实数 M 满足：对每个满足 an1 an2 2 的不为常
数的数列an ，存在 k N* ，使得 ak M ，则 M 的最大值为（ ）
A． 1 【答案】C
B． 1 5 2
C． 1 5 2
D．2
【详解】令 a1
1 2
即 n, s N*, ans an as ， 但不满足③ n N* ， t N*, ant an ，
因为 ant 2n t 1 2n 2t 1 an 2t an ，
综上 C 选项错误；
不妨设 an 2n ，满足 a1 2 0 ，
且 n N* ， an 2n ，
1 an
1 an1
1 , (n 2) ， 3
累加可得 1 1 1 n 1 ，即 1 1 (n 2), (n 2) ，
an
3
an 3
∴ an
3 n
2
,n
2 ，即
a100
1 34
，100a100
100 34
3
,
1 1 1 1 又 an1 an 3 an 3 3
1 3
1
n
1
1
,
(n
2)
因为 2n s 3 2n s 6 ，所以 n, s N*, ans an as ，满足②，
故 A 正确；
若 an
1 2
n
，则 a1
1 2
1
1 2
0
，满足①，
ant
1 nt 2
，令
1 nt 2
1 n 2
，
若
n
为奇数，此时Байду номын сангаас
1 n 2
0
，存在 t
N*
，且为奇数时，此时满足
C．
1 4
,
2 7
D．
2 9
,
1 4
【答案】C
【详解】由 cn1
cn cn3
1
,
n
N*
，得
1 cn1
cn3 1 = 1 cn cn
+cn2, n
N* ， 1 cn1
1 cn
=cn 2
0 ，所以
1 cn1
1 cn
，又 c1
1 0 ，
1
1
所以数列
cn
是递增数列且
cn
1
，
1 cn1
3
1 cn
+cn
2
3
1 cn
3
3 3cn3 +cn6
1 cn
3
3，
所以
1
3
1
3
3, n N* ，
cn1 cn
所以
1 c18
3
1 c18
3
1 c17
3
1 c17
3
1 c16
3
c12
3
1 c1
3
1 c1
3
317 1 52 ，
所以 f x 1 f x ，即 f x x x 是周期为1的函数，
由指数函数的性质，可得函数
y
1 e
x1
过
1,1
，在
,
上单调递减，
当
x 0,1 时，
f
x 0,1
，
1 e
x 1
1 ，去交点；
当
x 1, 2
时，
f
x0,1 ， 0
1 e
x 1
1 ，必有一个交点；
则后面每个周期都有一个交点，
，
n2
∴
1 a2
1 a1
1 3
1
1 1
2
， a3
1 a2
1 3
1
1 3
1 ，
a4
1 a3
1 3
1
1 1 4 ，…，an
1 an1
1 3
1
1 n
,
(n
3) ，
累加可得
1 an
1
1 3
n
1
1 3
1 2
1 3
1 n
,
(n
3) ，
∴
1 a100
1
33
1 3
1 2
1 3
1 99
33
1 3
1 2
A． S2022 2022 ，且 a5 a2018
B． S2022 2022 ，且 a5 a2018
C． S2022 4044 ，且 a5 a2018
D． S2022 4044 ，且 a5 a2018
【答案】C 【详解】设函数 f (x) 2sin x 3x ，则 f (x) 为奇函数，且 f (x) 2 cos x 3 0 ，所以 f (x) 在
R 上递减，由已知可得 2sin a5 2 3 a5 2 1 ， 2 sin a2018 2 3 a2018 2 1 ，有
f a5 2 1 ， f a2018 2 1，所以 f a5 2 f a2018 2 ，且 f a5 2 f a2018 2 ，
所以 a5 2 a2018 2 a5 a2018 ，且 a5 2 a2018 2 ，所以 a5 a2018 4 ，