2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线平面平行的判定与性质

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》
§8.3
直线、平面平行的判定与性质
最新考纲
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨
论证，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证
明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
概念方法微思考
1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)
(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)
(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)
题组二教材改编
2．平面α∥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案D
解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案平行
解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，
在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，
所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，
而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
题组三易错自纠
4．(2020·模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案D
解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
答案A
解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)
答案②④
解析在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．
题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1
直线与平面平行的判定
例1如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．
求证：GF ∥平面ADE .证明
方法一
如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，
又G 是BE 的中点，所以GH ∥AB ，且GH ＝1
2AB .
又F 是CD 的中点，所以DF ＝1
2
CD .
由四边形ABCD 是矩形得AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH .
又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以GF ∥平面ADE .方法二
如图，取AB 的中点M ，连接MG ，MF .
又G 是BE 的中点，可知GM ∥AE .又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ，所以GM ∥平面ADE .在矩形ABCD 中，
由M ，F 分别是AB ，CD 的中点得MF ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE .所以MF ∥平面ADE .
又因为GM ∩MF ＝M ，GM ⊂平面GMF ，MF ⊂平面GMF ，所以平面GMF ∥平面ADE .因为GF ⊂平面GMF ，所以GF ∥平面ADE .命题点2
直线与平面平行的性质
例2(2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1.
(1)证明：EF ∥平面PDC ；(2)求点F 到平面PDC 的距离．(1)证明
取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，
∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝1
2
CB ，
∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，
∴DE ∥CB ，DE ＝1
2
CB ，
∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，
∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴EF ∥平面PDC .(2)解
∵EF ∥平面PDC ，∴点F 到平面PDC 的距离等于点E 到平面PDC 的距离．
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DA ，
在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝1，∴DP ＝2，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CB ，
∵CB ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴CB ⊥平面PAB ，∴CB ⊥PB ，则PC ＝3，∴PD 2＋DC 2＝PC 2，
∴△PDC 为直角三角形，其中PD ⊥CD ，∴S △PDC ＝12×1×2＝2
2
，
连接EP ，EC ，易知V E －PDC ＝V C －PDE ，设E 到平面PDC 的距离为h ，
∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD ∩PA ＝A ，AD ，PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，
则13×h ×22＝13×1×12×1
2×1，∴h ＝
24，∴F 到平面PDC 的距离为2
4
.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
跟踪训练1(2018·崇左联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且
PE PB ＝PF
PC
＝λ(λ≠0)．
(1)求证：EF ∥平面PAD ；
(2)当λ＝1
2时，求点D 到平面AFB 的距离．
(1)证明
∵
PE PB ＝PF
PC
＝λ(λ≠0)，∴EF ∥BC .∵BC ∥AD ，∴EF ∥AD .
又EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD .(2)解
∵λ＝12
，
∴F 是PC 的中点，
在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝2，∴PC ＝PA 2＋AC 2＝6，∴PF ＝12PC ＝6
2
.
∵平面PAC ⊥平面ABCD ，且平面PAC ∩平面ABCD ＝AC ，PA ⊥AC ，PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC .又AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴BC ⊥AB ，又PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，
∴BC ⊥PB ，∴在Rt △PBC 中，BF ＝12PC ＝6
2.
连接BD ，DF ，设点D 到平面AFB 的距离为d ，
在等腰三角形BAF 中，BF ＝AF ＝6
2
，AB ＝1，∴S △ABF ＝
5
4
，又S △ABD ＝1，点F 到平面ABD 的距离为1，
∴由V F －ABD ＝V D －AFB ，得13×1×1＝13×d ×5
4，
解得d ＝455，即点D 到平面AFB 的距离为45
5.
题型二
平面与平面平行的判定与性质
例3如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：
(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明
(1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，
∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.
又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC .
∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .
又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1∥AB 且A 1B 1＝AB ，∴A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .
又∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .
又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面EFA 1，∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究
1．在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“D 1，D 分别为B 1C 1，BC 的中点”，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明
如图所示，连接A 1C ，AC 1，交于点M ，
∵四边形A 1ACC 1是平行四边形，∴M 是A 1C 的中点，连接MD ，∵D 为BC 的中点，∴A 1B ∥DM .
∵A 1B ⊂平面A 1BD 1，DM ⊄平面A 1BD 1，∴DM ∥平面A 1BD 1，
又由三棱柱的性质知，D 1C 1∥BD 且D 1C 1＝BD ，∴四边形BDC 1D 1为平行四边形，∴DC 1∥BD 1.
又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1，∴DC 1∥平面A 1BD 1，
又DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ，因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .
2．在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求AD
DC
的值．解
连接A 1B ，AB 1，交于点O ，连接OD 1.
由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，
且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1O
OB
＝1.同理，AD 1∥C 1D ，又AD ∥C 1D 1，
所以四边形ADC 1D 1是平行四边形，所以AD ＝D 1C 1，又AC ＝A 1C 1，
所以A1D1
D1C1＝
DC
AD，所以
DC
AD＝1，即
AD
DC＝1.
思维升华证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
跟踪训练2(2018·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．
(1)证明如图，设AC与BD交于点N，
则N为AC的中点，连接MN，
又M为棱AE的中点，
∴MN∥EC.
∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，
∴BF∥DE且BF＝DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴BD∥EF.
∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，
∴平面BDM∥平面EFC.
(2)解连接EN，FN.
在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，
又BF ⊥平面ABCD ，∴BF ⊥AC .
又BF ∩BD ＝B ，BF ，BD ⊂平面BDEF ，
∴AC ⊥平面BDEF ，
又N 是AC 的中点，
∴V 三棱锥A －NEF ＝V 三棱锥C －NEF ，
∴V 三棱锥A －CEF ＝2V 三棱锥A －NEF ＝2×13×AN ×S △NEF ＝2×13×22×12×2×2＝23
，∴三棱锥A －CEF 的体积为23
.
题型三平行关系的综合应用
例4如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；
(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．
(1)证明∵四边形EFGH 为平行四边形，
∴EF ∥HG .
∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，
∴EF ∥平面ABD .
又∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，
∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，
∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .
(2)解设EF ＝x (0<x <4)，
∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC
＝1－x 4.∴FG ＝6－32
x .∵四边形EFGH 为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝＋6－3
2
x
12－x.
又∵0<x<4，∴8<l<12，
即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
跟踪训练3如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交．
(1)画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线；
(2)求证：BD1∥平面α.
(1)解如图，交线即为EC，AC，AE，平面α即为平面AEC.
(2)证明连接AC，BD，设BD与AC交于点O，连接EO，
∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD的中点，
又E为DD1的中点．
∴OE∥BD1，又OE⊂平面α，BD1⊄平面α.
∴BD1∥平面α.
1．下列命题中正确的是()
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案D
解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
2．(2018·菏泽模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案D
解析若m⊥α，n⊥α，则m∥n，D正确；分析知选项A，B，C中位置不能确定，均不正确，故选D.
3．(2018·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案B
解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
4．(2018·大同模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()
A．0条B．1条
C．2条D．0条或2条
答案C
解析如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，
则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
则CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，
所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.
5．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()
答案A
解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，
又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)
答案②③④
解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
7．(2018·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________．(填序号)
答案②
解析①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．
8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
答案92
解析由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形
CD 1MN ，易求其面积为92
.9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．
答案2解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，
∴AC ＝2 2.
又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，
∴EF ＝12
AC ＝2.10.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案
点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)解析连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，
∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，
则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.
11．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．
(1)求证：平面CMN ∥平面PAB ；
(2)求三棱锥P －ABM 的体积．
(1)证明∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥PA ，
又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，
∴MN ∥平面PAB .
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ，
∴∠ACN ＝60°.
又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB .
∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
∴CN ∥平面PAB .
又CN ∩MN ＝N ，CN ，MN ⊂平面CMN ，
∴平面CMN ∥平面PAB .
(2)解由(1)知，平面CMN ∥平面PAB ，
∴点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离．
∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，
∴三棱锥P －ABM 的体积V ＝V M －P AB ＝V C －P AB ＝V P －ABC ＝13×12×1×3×2＝33
.12.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．
(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；
(2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，证明：B 1D 1∥l .
证明(1)由题设知BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1，
所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，
所以BD ∥B 1D 1.
又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，
所以BD ∥平面CD 1B 1.
因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC 且A 1D 1＝B 1C 1＝BC ，
所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，
所以A 1B ∥D 1C .
又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1，
所以A 1B ∥平面CD 1B 1.
又因为BD ∩A 1B ＝B ，BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，
所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
(2)由(1)知平面A 1BD ∥平面CD 1B 1，
又平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，
平面ABCD ∩平面A 1BD ＝直线BD ，
所以直线l ∥直线BD ，
在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形BDD 1B 1为平行四边形，
所以B 1D 1∥BD ，所以B 1D 1∥l .
13.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22
，则下列结论中错误的是()
A ．AC ⊥BF
B ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
C ．EF ∥平面ABCD
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
答案
D 解析∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，
易证AC ⊥平面BDD 1B 1，
∵BF ⊂平面BDD 1B 1，
∴AC ⊥BF ，故A 正确；
对于选项B ，∵E ，F ，B 在平面BDD 1B 1上，
∴A 到平面BEF 的距离为定值，
∵EF ＝22
，B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，
∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；
对于选项C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，
∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；
对于选项D ，异面直线AE ，BF 所成的角不为定值，令上底面中心为O ，当F 与B 1重合时，E 与O 重合，易知两异面直线所成的角是∠A 1AO ，当E 与D 1重合时，点F 与O 重合，连接BC 1，易知两异面直线所成的角是∠OBC 1，可知这两个角不相等，故异面直线AE ，BF 所成的角不为定值，故D 错误．
14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()
答案
C 解析过M 作MQ ∥D
D 1，交AD 于点Q ，连接QN .
∵MQ ⊄平面DCC 1D 1，DD 1⊂平面DCC 1D 1，
∴MQ ∥平面DCC 1D 1，
∵MN ∥平面DCC 1D 1，
MN ∩MQ ＝M ，
∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.
又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，
∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，
∵MQ AQ ＝DD 1AD
＝2，∴MQ ＝2x .
在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，
∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，
∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.
15.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝10，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为()
A.452
B.4532
C ．15
D ．453答案
C 解析取AC 的中点G ，连接SG ，BG .
易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .
因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .
又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，
从而得HF ∥AC 且HF ＝12
AC ，DE ∥AC 且DE ＝12
AC ，所以HF ∥DE 且HF ＝DE ，
所以四边形DEFH 为平行四边形．
因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，
所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，
其面积S ＝HF ·HD 15.
16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，三棱锥P －ACD 的体积为9.
(1)求AD 的值；
(2)过点O 的平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H ，求截面EFGH 的周长．
解(1)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，
四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，
所以V 三棱锥P －ACD ＝13×S △ACD ×AP ＝13×AB ×AD 2
×AP ＝3AD 2＝9，解得AD ＝6.(2)方法一由题意知平面α∥平面PAB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，
根据面面平行的性质定理，得EF ∥AB ，
同理EH ∥BP ，FG ∥AP .
因为BC ∥AD ，所以△BOC ∽△DOA ，
且BC AD ＝CO OA ＝36＝12
.因为EF ∥AB ，所以CE BC ＝OC AC ＝13
.又易知BE ＝AF ，AD ＝2BC ，所以FD ＝2AF .
因为FG ∥AP ，所以FG AP ＝FD AD ＝23，FG ＝23AP ＝2.因为EH ∥BP ，所以EH PB ＝EC BC ＝13
所以EH ＝13
PB ＝2.如图，作HN ∥BC ，GM ∥AD ，HN ∩PB ＝N ，GM ∩PA ＝M ，
则HN ∥GM ，HN ＝GM ，
所以四边形GMNH 为平行四边形，
所以GH ＝MN ，
在△PMN 中，
MN ＝PN 2＋PM 2－2×PN ×PM ×cos ∠MPN
＝8＋1－2×22cos 45°＝5，
又EF ＝AB ＝3，所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.
方法二因为平面α∥平面PAB ，平面α∩平面ABCD ＝EF ，点O 在EF 上，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，
所以EF ∥AB ，同理EH ∥BP ，FG ∥AP .因为BC ∥AD ，AD ＝6，BC ＝3，所以△BOC ∽△DOA ，且
BC AD ＝CO AO ＝12，所以EO OF ＝12，CE ＝13CB ＝1，BE ＝AF ＝2，同理CH PC ＝EH PB ＝CO CA ＝13
，如图，连接HO ，则HO ∥PA ，
所以HO ⊥EO ，HO ＝1，
所以EH ＝13
PB ＝2，因为AD ∥BC ，所以OC AO ＝OB DO ＝12
.因为EF ∥AB ，所以FD DA ＝OD BD ＝23
.因为FG ∥AP ，所以
FG AP ＝FD DA ＝23
，所以FG ＝23
PA ＝2，过点H 作HN ∥EF 交FG 于点N ，则GH ＝HN 2＋GN 2＝5，
又EF ＝AB ＝3，所以截面EFGH 的周长为EF ＋FG ＋GH ＋EH ＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋ 2.。