2023-2024学年陕西省高三下学期高考数学(文)模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年陕西省高三下学期高考数学（文）模拟试题
（三模）
一、单选题
1．已知集合{}
12A x x =-<，(){}
3log 11B x x =-<，则A B = （）
A ．{}13x x <<
B ．{}13x x -<<
C ．{}14x x <<
D ．{}
14x x -<<【正确答案】A
【分析】利用解绝对值不等式和对数函数的性质可得集合,A B ，根据集合的交集运算即得答案.
【详解】由题意可得集合{}
12{|13}A x x x x =-<=-<<，(){}
3log 11{|14}B x x x x =-<=<<，
故{}13A B x x ⋂=<<，故选：A
2．已知复数z 满足()12i 5i z ⋅-=，则z z ⋅的值为（）
A B ．5
C
D ．2
【正确答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，从而可求得2i z =--，再用乘法运算即可得出结果.
【详解】()12i 5i z ⋅-= ,5i
2i 12i
z ∴=
=-+-,则2i z =--,()()2i 2i 5z z ⋅=-+--=.
故选：B.
3．函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】C
【分析】根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项.
【详解】因为函数3()sin f x x x =-，()11sin10f =->，故排除AD ，
33
1sin 066662f ππππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，故排除B ，只有C 满足条件.
故选：C
4．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为2
1s ，去除9x ，10x 这两个数据
后，平均数为x ，方差为2
2s ，则（
）
A ．5x >，22
12s s >B ．5x <，22
12s s <C ．5x =，22
12s s <D ．5x =，22
12
s s >【正确答案】D
【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.
【详解】由题意可得：10
910115,1,910i i x x x ====∑，则10
1
50i i x ==∑，
故()81091011111
50195888
i i i i x x x x x ==⎛⎫==--=--= ⎪⎝⎭∑∑，
∵910,x x 是波幅最大的两个点的值，则去除9x ，10x 这两个数据后，整体波动性减小，故22
12s s >.
故选：D.
5．已知向量a ，b
满足同向共线，且
2b = ，1a b -=r r ，则()
a b a +=⋅ （）
A ．3
B ．15
C ．3-或15
D ．3或15
【正确答案】D
【分析】先根据题意确定向量a ，b
的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量a ，b
满足同向共线，所以设(0)a b λλ=> ，
又因为1a b -=r r ，2b = ，所以222
22(1)(1)4(1)1b b b b λλλλ-=-=-=-=r r r r ，
所以12λ=或3
2
λ=，即12a b =或32a b = .
①当12a b
=时，()
23133224
a b a b b b ⎛⎫⎛⎫+=⎭⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ；
②当32a b =
时，()
2
531515224
a b a b b ⎛⎫⎛⎫+⎭⋅=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝ ；所以()
a a
b +⋅ 的值为3或15.
故选：D.
6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数
量()mg L N 与时间t 的关系为0kt
N N e -=（0N 为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%
的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时.
A ．3.6
B ．3.8
C ．4
D ．4.2
【正确答案】C 【分析】分析可得出445k
e
-=，设2
400040.645t N e N N -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，求出t 的值，由此可得出结果.【详解】由题意可得40045k
N e
N -=，可得445k e -=，设2
00040.645kt N e N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭
，可得()2
48kt k k e e e ---==，解得8t =.
因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选：C.
7．已知实数a ，b ，c 满足1
ln b
a e c
==
，则下列不等式中不可能成立的是（）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a
>>【正确答案】D
【分析】由1
ln b
a e c
==
，得到0b e >，所以1a >，0c >，分别令a e =，3a e =和1b =-，结
合选项，得到,,A B C 正确，即可求解.
【详解】由题意，实数,,a b c 满足1
ln b
a e c
==
，可得0b e >，所以1a >，0c >，当a e =时，0b =，1c =，此时a c b >>，故B 可能成立；当3a e =时，ln 3(1,2)b =∈，1
(0.5,1)ln 3
c =∈，此时a b c >>，故A 可能成立；当1b =-时，c e =，1
e
a e =
，此时c a b >>，故C 可能成立；所以由排除法得D 不可能成立．故选：D.
8．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π；上、下底面的面积之比为19:，则球的表面积为（）．
A ．12π
B ．14π
C ．16π
D ．18π
【正确答案】A
【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积12π()S l r r =+，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得.
【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD
，如图所示，
过B 点作CD 的垂线，垂足为E ，设球的半径为R ，则2BE R =，
设圆台的母线为l ，即BC l =，上、下底面的面积之比为19:，即22112222π1
π9
r r r r ==，213r r =，由
圆的切线长定理可知，1214r r l l r +=⇒=，
圆台的侧面积为()2
1211π4π16π16πr r l rl r +===，
解得11r =，
则2R BE ==
即R =，
则球的表面积24π12πS R ==.故选：A.
9．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过两点2A ⎛ ⎝⎭
，π,04B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 在π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则ω=（）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【正确答案】B
【分析】由题意画出函数()f x 的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出结果.
【详解】
根据题意画出函数()f x 的图像大致如上，
因为()sin =0f ϕ=由图可知，3π
2π,Z 4
k k ϕ=
+∈，又0πϕ<<，所以3π4
ϕ=
，所以()3πsin 4f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
因为π
3πsin 04π44f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由图可知，π3π
π2π,Z 44
k k ω+
=+∈，解得18,Z k k ω=+∈，又因为
2π
π
4
T ω
=<
，可得8ω>，
所以当1k =时，9ω=.故选：B
10．圆224x y +=上任意一点M 到直线34150x y +-=的距离大于2的概率为（）
A ．
16
B ．
13
C ．
23
D ．
56
【正确答案】C
【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是
43
π
，根据几何概型概率公式得到结果.【详解】设圆心为C ，圆心到直线l 的距离
3d ==，如图，
取1CD =，过D 做//AB l 交圆于,A B ，可知满足条件的点在劣弧AB 上（不包括A ，B ），在Rt ACD 中，2,1AC CD ==,
所以1cos 2ACD ∠=，3ACD π∠=，即23
ACB π∠=,
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为43
π，由几何概型可知
42323
P π
π==
,故选：C
11．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，AB =E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过
点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD
为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（
）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M点投影位置，即可得出答案.
【详解】研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N,
PA PC的中点，
为,
,E F
PO=，
∴为PO的中点，12
N
∴==，
6
ON OB
又因为12
tan 26
PO PDB OD ∠=
==,过点M 作MG DB ⊥，设GB x =，
45NBO ∠=︒ ，GB MG x ∴==，
又12DB = ，12DG x ∴=-，tan 212x
PDB x
∠=
=-,8x GB ∴==,
DG ∴为4个格，GB 为8个格，
故选：C
关键点点睛：研究并计算平面PDB ,确定点M 在底面上的投影G 的位置，是解题的关键，属于中档题.
12．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足
3
PA PB += ，则PD 的最大值为（）
A ．3
B C D ．2
【正确答案】B
【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，
AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值.
【详解】如图所示，在平面ABC 内，2PA PB += ，
所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则椭圆的半焦距1c =，长半轴233
a 223
3b a c -所以，椭圆方程为
()2
233104
x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，113
3333
OE OC ==⨯，
故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC =
=
2226
DE CD CE =-=因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值.设(),,0P x y ，则30,,03E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则2
22222
3423123543333333EP x y y y y y y ⎛⎫=+=-+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
，当333933y ⎡⎤=-
∈⎢⎥⎣⎦
时，2EP 取最大值，即2
2
max
3233516339EP ⎛⎛⎫=-⨯-⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，因此可得2
241640999PD ≤
+=，故PD 2103
故选：B.
关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用.
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足约束条件10103x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为_________.
【正确答案】8
-【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出向可行域平移即可求解.
【详解】作出可行域，如图所示
目标函数的几何意义是直线122z
y x =-在y 轴上的截距为2
z -，2z x y =-转化为122
z
y x =
-，令0z =，则20x y -=，作出直线20x y -=并平移使它经过可行域的点，经过C 时，
103x y y +-=⎧⎨
=⎩，解得2
3x y =-⎧⎨=⎩
，所以()2,3C -.此时z 取得最小值，即min z =--⨯=-2238．故答案为.8
-14．
已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且6，2a ，5a 成等差数列，则5S =______.【正确答案】31
2
-
【分析】利用等差中项的定义及等差数列的通项公式，结合等比数列的前n 项和公式即可求解.
【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，因为6，2a ，5a 成等差数列，
所以2526a a =+，即4
1162q a q a =+，
又2q =，
所以4
112622a a ⨯=+，解得112
a =-，
所以
(
)
()
55
1511213121122
a q S q ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭=
==-
--.故答案为.312
-
15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.
两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米
.
【正确答案】(40π
+
如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得sin 2
QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.
【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，
连结PO ，可得PO QT ⊥
，由条件可知QT =，60PQ =
所以sin 2
QPO ∠=，所以3
QPO π
∠=
，23
QPT π∠=
，
所以月牙泉的周长(260403
l π
ππ=⨯+⨯=+.
故(40π
+
关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.
16．已知直线:1l y =-，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，点B 关于y 轴对称的点为P .若过点,A B 的圆与直线l 相切，且与直线PB 交于点Q ，则当3QB PQ =
时，直线AB 的斜率为___________.
【正确答案】4
±
【分析】根据题意设直线AB 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.
【详解】如图，易知过点,A B 且与直线l 相切的圆就是以AB 为直径的圆，设
()()1122,,,A x y B x y ，
则()()1222,,,Q x y P x y -，由3QB PQ =
有212x x =-，
设直线AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =有2440x kx --=，
所以12124,4x x k x x +==-，结合212x x =-，得4
k =±.
故答案为:三、解答题
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin c
C
=
.(1)求角A 的大小；(2)若a =62
2
c b -=，求ABC 的面积.【正确答案】(1)
π3
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换即可得角A 的大小；（2）由余弦定理可得bc 的值，结合面积公式即可得面积.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得.
sin sin a c
A C
=
又
1cos sin c
A C =+，所以，1cos sin a A A
=
+.
1cos A A =+cos 1A A -=，
即π1sin 62A ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =.
（2）由（1）及题意知ABC 中，a =2
c b -=
，π
3A =.
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()2
3c b bc =-+.
所以1bc =，所以(1
13sin 122
24
ABC S bc A ==⨯=
△.18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，11AC AC ⊥，D 为线段1AC 上的动点，
1AC BD ⊥．
(1)求证：平面11ACC A ⊥平面ABC ；
(2)若1AA AC ⊥，D 为线段1AC 的中点，22AC BC ==，求1B D 与平面1A BC 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析
3
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质可得1AC BC ⊥，结合BC AC ⊥，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1），根据面面垂直的性质可得1CC ⊥平面ABC ，建立如图空间直角坐标系，根据向量法求解.
【详解】（1）因为11AC AC ⊥，1AC BD ⊥，1AC BD D = ，AC ，BD ⊂平面1A BC ，所以1AC ⊥平面1A BC ．
又BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥，
又90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥，而1AC AC A ⋂=，AC ，1
AC ⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ．
又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ．（2）由（1）知平面11ACC A ⊥平面ABC ，
又平面11ACC A 平面ABC AC =，1AA AC ⊥，1AA ⊂平面11ACC A ，所以1AA ⊥平面ABC ，又11A A C C ∥，
所以1CC ⊥平面ABC ，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，
以C 为坐标原点，CA ，CB
，1CC 的方向分别为x 轴、y 轴、x 轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：
因为1AA AC ⊥，所以四边形11ACC A 为矩形，
又因为11AC AC ⊥，所以四边形11ACC A 为正方形.因为2AC =，1BC =，所以12CC =，
所以()0,0,0C ，()0,1,0B ，()12,0,2A ，()10,1,2B .由D 是线段1AC 的中点，得()1,0,1D ，
所以()0,1,0CB = ，()12,0,2CA = ，()11,1,1B D =--
.
设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =
，
则10,
0,n CB n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,220,y x z =⎧⎨
+=⎩取1x =，则1z =-，所以()1,0,1n =-
，
所以
111cos ,n B D n B D n B D
⋅==
.
设直线1B D 与平面1A
BC 所成的角为α，则1sin cos ,n B D α==
所以直线1B D 与平面1A BC 所成角的正弦值为
3
.19．为弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全体学生参与“激情冰雪—相约冬奥”冰雪运动知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生的竞赛成绩，均在50到100之间，将样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80
，
[)80,90，[]90,100，并将成绩绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知成绩在区间70到
90的有60人．
(1)求样本容量，并估计该校本㳄竞赛成绩的中位数及平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)全校学生有1000人，抽取学生的竞赛成绩的标准差为11，用频率估计概率，记全校学生的竞赛成绩的标准差为σ，估计全校学生中竞赛成绩在()
,x x σσ-+内的人数．【正确答案】(1)样本容量为100；中位数76.875，平均数=76.6x ；(2)621人
【分析】（1）根据频率分布直方图的数据分析公式可得.
（2）先计算区间()
,x x σσ-+为()65.6,87.6，根据频率分布直方图求其对应频率再乘以总数1000即得.
【详解】（1）设样本容量为n ，则()60
0.0280.03210n
=+⨯，得100n =，样本容量为100．设本次竞赛成绩的中位数为x ，
则()0.080.2700.0320.5x ++-⨯=，得76.875x =抽取的学生竞赛成绩的平均数
550.00810650.0210750.03210850.02810950.0121076.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）76.61165.6x σ-=-=，76.61187.6x σ+=+=，则抽取学生在()
,x x σσ-+内的频率为
()()7065.60.020.3287.6800.0280.6208
-⨯++-⨯=全校学生有1000人，竞赛成绩在()
,x x σσ-+内的人数10000.6208620.8621⨯=≈20．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，О为原点，点()1,1P 在C 的渐近
线上，PAO 的面积为1
2.(1)求C 的方程；
(2)过点Р作直线l 交C 于M ，N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值.【正确答案】(1)221x y -=(2)证明见解析
【分析】根据点()1,1P 在C 的渐近线b
y x a
=上，可得a b =，再根据PAO 的面积求出,a b 即可；
（2）易得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()()()112211,,,,y k x M x y N x y -=-，联立方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，求出AM 的方程，令2x x =，可得G 点的坐标，从而可得H 点的坐标，再根据斜率公式计算即可.【详解】（1）因为点()1,1P 在C 的渐近线b
y x a
=上，所以a b =，(),0A a ，则11
22
PAO
S
a ==，所以1a =，故1
b =，所以C 的方程为221x y -=；
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与双曲线只有一个交点，不符题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()()112211,,,,y k x M x y N x y -=-，联立()
22111x y y k x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，消y 得()
()222
121220k x k k x k k ----+-=，
则()()()
222
22
10Δ414122880
k k k k k
k k ⎧-≠⎪⎨=----+-=->⎪⎩
，解得1k <且1k ≠-，
()2121222
21222
,111k k k k k x x x x k k k --+-+===
-+-，直线AM 的方程为()1
111
y y x x =
--，令2x x =，得()12111
y x y x -=
-，即()12211,1y x G x x -⎛⎫ ⎪-⎝
⎭，
因为H 为NG 的中点，所以()1221
211,
2y x y x H x -⎛
⎫
+
⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，所以
()
122
11221211
121211AH
y x y x y y k x x x -+-⎛⎫==+ ⎪
---⎝⎭
，因为
()()1212
121211111111
k x k x y y x x x x -+-++=----
()()
()1212121212122211
22211111x x x x k k k x x x x x x x x +-+-=+
+=+=+-----++22221222222221
11k
k k k k k k k
k k
-+=+=+-=-+--+-+，所以1AH k =，
所以直线AH 的斜率为定值
.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数()(1ln )x f x e a x =+，其中0a >，设()f x '为()f x 导函数.（Ⅰ）设()()x g x e f x -'=，若()2g x ≥恒成立，求a 的范围；
（Ⅱ）设函数()f x 的零点为0x ，函数()f x '的极小值点为1x ，当2a >时，求证.01x x >【正确答案】（1）1a ≥（2）见解析
【分析】（I ）计算()g x 的导函数，计算()g x 最小值，结合恒不等式，建立不等关系，计算a 的范围，即可．
（II ）构造函数()h x ，判定极小值点，进而得到()f x 的单调性，得到()()10f x f x <，结合单调性，即可．
【详解】（Ⅰ）由题设知，()1ln (0)x a f x e a x x x ⎛
⎫=++> ⎪⎝⎭'，
()()1ln x a
g x e f x a x x -==++'，()()2
1(0)a x g x x x '-=>.
当()0,1x ∈时，()'0g x <，()g x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在区间()1,+∞上单调递增，
故()g x 在1x =处取到最小值，且()11g a =+.由于()2g x ≥恒成立，所以121a a +≥⇒≥.
（Ⅱ）设()()1ln x a h x f x e a x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭'，则()22'1ln x a a h x e a x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.设()221ln a a H x a x x x =+-+，则()()
22332222'0a x x a a a H x x x x x
-+=-++=>，故()H x 在()0,+∞上单调递增.
因为2a >，所以()110H a =+>，11ln202H a ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
,
故存在21,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()20H x =，
则()h x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，故2x 是()h x 的极小值点，因此21x x =.由（Ⅰ）可知，当1a =时，1ln 1x x
+≥.因此()()111
(1x
a
h x h x e x ≥=+
+()11ln )10x a x e a >+>，即()f x 单调递增.由于()10H x =，即121121ln 0a a a x x x +
-+=，即1211
21ln a a a x x x +=-，所以()()1111ln x
f x e a x =+=()1
1
02
1120x x ae f x x -<=.又由（Ⅰ）可知，()f x 在()0,+∞单调递增，因此10x x <.
本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性以及极值问题，难度较大．
22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程()4cos 0a a ρθ=>，在以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为12
32x y ⎧=--
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），直线l 与曲
线C 交于M 、N 两点；
(1)求曲线C 的参数方程与l 的普通方程；(2)
若OMN S =△a 的值.
【正确答案】(1)曲线C 的参数方程为22cos 2sin x a a y a α
α=+⎧⎨=⎩
（α为参数），直线l 的普通方程为
20
x y +-=(2)2
【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，再将普通方程转换为参数方程即可，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；
（2）利用直线l 与曲线C 相交求出a 的取值范围，求出MN 以及原点O 到直线l 的距离d ，
利用三角形的面积公式结合OMN S =△a 的方程，即可解得实数a 的值.【详解】（1）解：将曲线C 的极坐标方程变形可得24cos a ρρθ=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得224x y ax +=，即()2
2224x a y a -+=，
所以，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x a a y a αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），
在直线l 的参数方程中消去参数t 可得20x y +-=，所以，直线l 的普通方程为20x y +-=.
（2）解：由（1）知曲线C 的直角坐标方程为：()()2
22024x a y a a -+=>，曲线C 是以点()2,0a 为圆心，半径为2a 的圆，
圆心()2,0a 到直线l 1=-，
因为直线l 与曲线C 12a -<，因为0a >，解得1a -，
MN ==
原点O 到直线l 的距离为
d ==，
所以11
22
OMN S MN d =
=⨯==△，
整理可得2280a a +-=，因为1a >，解得2a =.所以实数a 的值为2.
23．已知函数()244f x x x =-++的最小值是m .(1)求m ；
(2)若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证≤
【正确答案】(1)6
m =
(2)证明见解析
【分析】（1）分区间去掉绝对值，利用一次函数的单调性，即可得分段函数的单调性，利用单调性即可求解最值.
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得()3,28,423,4x x f x x x x x ≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≤-⎩
，
所以()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增.
因此()f x 的最小值()26
m f ==（2）由（1）知6a b c ++=,且,,a b c 均为正数，
所以
2a b c =+++
由基本不等式a b ≤+
，b c ≤+
，a c ≤+，
所以()2
318a b c ≤++=，当且仅当a b c ==
时等号成立，即≤。