云南师大附中2023届高考适应性月考卷(二)试题及答案

2023届云南师大附中八月考数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1.已知集合A ={1,2,3,4}，集合B ={y ∣y =x ,x ∈A }，则A ∩B =(
)
A.{1，2}
B.{1，4}
C.{1，2，3，4}
D.{1，2，3，2，3，4}
2.已知复数z =2+3i ，则z 2-z 在复平面内对应的点所在的象限为(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源的汽车，包括纯电动汽车和其他类型车辆(如增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车等).具有环保、节能、效率高、使用成本低、噪音小等优势.近年来，我国新能源汽车市场飞速发展.如图1所示为2015年至2021年H1(H1表示上半年)中国新能源汽车保有量统计情况，根据图中所给信息，以下说法错误的是
(
)
纯电动汽车保有量（万辆）
其他类型车辆保有量（万辆）
2015年2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年HI
110493
400
310
211
50719228125
73
18
33
9
100200300400500600单位：万辆2015~2021年HI 中国新能源汽车保有量统计
A.中国新能源汽车保有量在2017年首次突破百万辆
B.自2015年起至2021年H1，中国新能源汽车保有量每年都在增加
C.2016年纯电动汽车保有量增长率最大
D.相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率降低了4.已知直线l :(a -1)x +y -3=0，圆C :(x -1)2+y 2=5，则“a =-1”是“l 与C 相切”的()
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.1-1
x
2 (x +2)6的展开式中x 3的系数为(
)
A.160
B.-160
C.148
D.-148
6.已知M 是抛物线C ：x 2=4y 上一点，F 为抛物线的焦点，点N (0，-2)，|MF |=|NF |，则△MFN 的面积为()
A.22
B.23
C.32
D.33
7.《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中史湘云作东海棠诗社，拟了十二首菊花诗邀众姐妺并宝玉作诗. 若已知贾宝玉作了《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作了《忆菊》《画菊》两首，剩下八首诗分由林黛玉、史湘云、探春作了，且每人至少作了两首，则不同的情况有(
)
A.980
B.490
C.5880
D.2940
8.已知a =e 0.11，b =1.11.1，c =1.11，则(
)A.a >b >c
B.a >c >b
C.b >a >c
D.b >c >a
二、不定项选择题(本大题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9.《蝶恋花∙春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里
佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”. 如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中A.秋千绳与墙面始终平行
B.秋千绳与道路始终垂直
C.秋千板与墙面始终垂直
D.秋千板与道路始终垂直
()10.若向量AB =(1，m )，AC =(-1，2)，且AB 与AC 夹角的正弦值为4
5
，则△ABC 的面积可为
(
)
A.
5
B.2
C.
2511
D.
1011
11.已知函数f (x )=sin ωx +
π
3
(ω>0)，则()
A.当ω=2时，函数y =f (x )的图象关于点π3
，0 对称B.当ω=2时，函数y =f (x )在-5π12，π12 上单调递增C.当
1
3<ω<1时，函数y =f (x )在π6，π
2 上有零点
D.当
13<ω<1时，函数y =f (x )在π6，π
2
上的最大值为1
12.已知F 为椭圆的焦点，A ，B 分别为椭圆的两个顶点(且A 不是离F 最近的那个顶点)，若|AF |=3，|AB |=5，则椭圆的离心率可以为(
)
A.
1
5
B.
116
C.
23
D.
25-343
34
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线y =e x -1+2x 在x =1处的切线方程为
.
14.普罗斯数是具有如下形式的数：k ⋅2n +1，其中k 是奇数，n 是正整数，且2n >k .如41=5×23+1就是一个普罗斯数.普罗斯数是以数学家法兰西斯∙普罗斯的名字命名的，结合普罗斯定理可以用来判断普罗斯数是否为素数.现从30以内的6个普罗斯数中任取两个，这两个数都是素数的概率为
.
15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144π，则圆台的体积为
.
16.已知函数f (x )和g (x )定义域均为R ，且y =f (2+3x )为偶函数，y =g (x +2)+1为奇函数. 对于∀x ∈R ，均有f (x )+g (x )=2x +x 2，则f (3)⋅g (3)=
.
四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)
在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，BC <AC ，D 为BC 边上的中点，△ABC 的面积为3．(1)求AD 的长；
(2)点E 在边AC 上，且2sin ∠ABE =3sin ∠AEB ，BE 与AD 相交于点M ，求∠DME 的余弦值.
记S n 为数列a n 的前n 项和，已知S n -1n
是首项为3，公差为1的等差数列．(1)求a n 的通项公式；
(2)证明：当n ≥2时，1S 2+1S 3+⋯+1S n
<a n -1a n +1-12.
19.(本小题满分12分)
某单位有100名职工，想通过验血的方式筛查某种病毒的携带者.假设随机一人血检呈阳性的概率为1%，为了提高化验效率，现随机按5人一组分组，然后将各组5人的血样混合后进行化验，如果混合样本呈阴性，说明该组人员全部是阴性，不必再化验；如果混合样本呈现阳性，则需要对每个人再分别化验一次．设每个人需要的化验次数为X ，
则当混合样本呈阴性时，X =15，当混合样本呈阳性时，X =6
5
．
(1)求随机变量X 的数学期望；(结果保留三位小数，参考数据：0.995≈0.951)(2)已知携带该病毒的概率为0.5%，在携带该病毒的情况下血检呈阴性的概率为1%，若该单位某职工血检呈阳性，求该职工确实携带该病毒的概率．
20.(本小题满分12分)
如图3，在多面体ABCDEF 中、四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，平面FBC ⊥平面ABCD ，BF ⊥CF ，DE =AD =2．
(1)求多面体ABCDEF 体积的最大值；
(2)当多面体ABCDEF 体积取最大值时，求直线DF 与平面EBC 所成角．
A
B C
D E
F
已知双曲线C ：x 2
a 2-y 2
b
2=1(b >a >0)的右焦点为F (c ，0)，从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条
渐近线夹角为60°中选取两个作为条件，求解下面的问题.
(1)求C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，记△AOB ，△FOB 面积分别为
S 1，S 2，若S
1S 2
=3+1，求直线l 的方程．(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)
22.(本小题满分12分)
设a ∈R ，函数f (x )=x -a ln x ．
(1)若f (x )有最小值1，求a 的值；
(2)已知m >1，讨论函数g (x )=e x
x
-x m -x +(1+m )ln x 在(1，+∞)上的零点个数．
数学参考答案·第1页（共9页）
云南师大附中2023届高考适应性月考卷（二）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
D
B
C
C
D
A
【解析】
1．集合{1234}A =，，，，集合{1232}B =，，，，故{12}A
B =，，故选A ．
2．23i z =+，则2
(1)(23i)(13i)133i z z z z -=-=++=-+，在复平面内对应的点在第二象限，故选B ．
3．2017年中国新能源汽车保有量首次突破100万辆，A 正确；自2015年起，中国新能源汽车保有量每年都在增加，B 正确；2016年纯电动汽车保有量增长率大于100%，其他年份都小于100%，故C 正确；2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率为
310381，2018年为211261，计算得310211
381261
>，故相比2018
年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率增加了，故选D ．
4．当1a =-时，直线l ：230x y -+=，圆C ：22(1)5x y -+=的圆心为(10)C ，5，圆心C 到直线l 55
=所以直线l 与圆C 相切；当直线l 与圆C 相切时，2
5(1)1
a -+解得3
2
a =
或1-；所以“1a =-”是“l 与C 相切”的充分不必要条件，故选B ． 5．6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数为335
66C 2C 216012148-=-= ，故选C ．
6．已知点(01)F ，
，设点00()M x y ，，0||1MF y =+，又||||3MF NF ==，故02y =，故0||2x =，01
||||322
MFN S FN x =
=△，故选C ． 7．将八首诗分成三份，每份至少两首，则共有224233864863
22
22
C C C C C C 490A A +=种不同的分法；再将不同的三份分配给林黛玉、史湘云、探春，又有33A 6=种不同的分配方式，故共有49062940⨯=种不同的情况，故选
D ． 8．显然，a b c ，，皆为正数．欲比较a 和b 的大小，只需比较ln a 和ln b 的大小．0.11ln ln e 0.11a ==，
数学参考答案·第2页（共9页）
1.1
ln ln1.1 1.1ln1.1b ==，即比较0.11和1.1ln1.1的大小即可，易证：ln 1(0x x x <->且1)x ≠，故1.1ln1.1 1.1(1.11)0.11
<⨯-=，故a b >，构造函数
1.1()(1)(1.11)f x x x =+-+，则
0.10.1() 1.1(1) 1.1 1.1[(1)1]f x x x '=+-=+-，故当0
x >时，()
f x 单调递增，故
1.1 1.1(0.1)(10.1)(1.10.11) 1.1 1.110f =+-⨯+=->，即b c >，综上a b c >>，故选A ．
二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12 答案
ACD
BD
ABD
AB
【解析】
9．显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化．而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直，故选ACD ． 10．2|||3
|cos |5
||||15AB AC AB AC AB AC m -<>=
==+， ，解得2m =或211m =-．故||AB =
2
2
125+=或2
2
255||11111AB ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，又22||(1)25AC =-+=，ABC S =△ 1||||sin 2AB AC AB AC <>，，故1455225ABC S ==△或1554
525ABC S =△ 10
11
=
，故选BD ． 11．当2ω=时，π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ()sin 2sin π033f x ⎛
⎫=⨯+== ⎪⎝
⎭，由正弦函数图象的对称性知A 正确；
当5ππ1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，πππ2322t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，，π23t x =+单调递增，sin y t =在ππ22⎛⎫
- ⎪⎝⎭，上亦单调递增，
故()y f x =在5ππ1212⎛⎫
- ⎪⎝⎭，上单调递增，故B 正确；当ππ62x <<时，πππππ63323x ωωω+<+<+，又
113ω<<，故7πππ1863ω<+且ππ5π236ω+<，此时()y f x =没有零点，故C 错误；又πππππ
63223
ωω+<<+，故()y f x =的最大值一定为1，故D 正确，故选ABD ．
12．不妨设焦点在x 轴上且F 为右焦点，显然A 不会是右顶点．分类讨论：①若A 为左顶点，B 为右顶点，
数学参考答案·第3页（共9页）
则325a c a +=⎧⎨=⎩，，解得5212
a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，此时离心率15c e a ==；②若A 为左顶点，B 为上（下）顶点，则2
235a c a b +=⎧⎨+=⎪⎩，，
无解，不满足；③若A 为上（下）顶点，B 为左（右）顶点，则22
35a a b =⎧⎨+=⎪⎩，
，
无解，不满足；④若A 为上（下）顶点，B 下（上）顶点，则325a b =⎧⎨=⎩
，，解得11c =11
c e a ==，综上，故选
AB ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16 答案
3y x =
2
5
633π
66
【解析】
13．对函数1e 2x y x -=+求导得1e 2x y -'=+，故当1x =时，斜率11e 23k -=+=，又切线过点(13)，，故切线
方程为33(1)y x -=-，即3y x =． 14．易知
30
以内的
6
个普罗斯数分别为
3，5，9，13，17，25
（12324332152192113321172125321=+=+=+=⨯+=+=⨯+，，，，，），其中素数有4个，从中任取两个，由古典概型可知，这两个都是素数的概率为242
6C 62C 155
==． 15．设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h ．由312
π144π23
V R ==球，解得6R =，由
题意知
222R r h =+，代入解得33h =，故圆台体积
11
()33(9π36π9π36π633π33
V h S S S S =+=⨯+⨯=下下圆台上上．
16．(23)y f x =+为偶函数，即(23)(23)f x f x +=-，故()y f x =的图象关于直线2x =对称，(2)1
y g x =++为奇函数，即(2)1(2)1g x g x -+=-+-，故()y g x =的图象关于点(21)-，对称．x ∀∈R ，均有2()()2x f x g x x +=+，故12(1)(1)213f g +=+=，因为()y f x =关于直线2x =对称，故(1)(3)f f =，因
为()y g x =关于点(21)-，对称．故(1)2(3)g g =--，故有(3)(3)5f g -=，又32(3)(3)23=17f g +=+，
数学参考答案·第4页（共9页）
解得(3)11(3)6f g ==，，故(3)(3)f g 66=．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
解：（1）由1
sin 32
ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠=△2AB =，23AC = 可得1sin 2BAC ∠=
，
又(0π)BAC ∠∈，，BC AC <， 所以π
6
BAC ∠=
．…………………………………………………………………………（2分） 由1()2AD AB AC =+，得22211
(2)(41212)744
AD AB AC AB AC =++=++= ，
所以7AD ．……………………………………………………………………………（4分） （2）在ABE △中，
sin sin AB AE
AEB ABE
=∠∠，
由2sin 3sin ABE AEB ∠=∠，可知3AE =E 为AC 的中点， 2222BE AB AE AE =+-⨯π
cos
16
BE ⨯=，………………………………………………（6分） 所以M 为ABC △的两条中线AD ，BE 的交点，227
3AM AD =
=
，2233BM BE ==， ………………………………………………………………………………………（8分） 所以2227
cos cos 2AM BM AB DME AMB AM BM +-∠=∠==⨯， 所以DME ∠的余弦值为7
．………………………………………………………（10分） 18．（本小题满分12分）
（1）解：∵1n S n ⎧-⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为3，公差为1的等差数列，
∴
3()1
1n n n
S =+--， ∴2221(1)n S n n n ++=+=．……………………………………………………………（2分） ∴当2n ≥时，12n S n -=，121n n n a S S n -=-=+．………………………………………（4分）
数学参考答案·第5页（共9页）
又114S a ==不满足21n a n =+，
∴{}n a 的通项公式41212.n n a n n n *
=⎧=⎨+∈⎩
N ，，
，≥且…………………………………………（6分） （2）证明：当2n ≥时，
21111(1)1(1)1
n S n n n n n =<=-+++， ………………………………………………………………………………………（8分）
11211
1222212
n n a n n a n n --=-=-+++，………………………………………………………（9分） ∴231111111111112334
12112
n n S S S n n n n +++
<-+-++
-=-=-+++， ∴
23
1111112
n n n a S S S a -+++
<-+．………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）
解：（1）X 的取值为1
5
，65，
55160.990.95110.990.04955P X P X ⎛⎫⎛
⎫==≈==-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，
16
()0.9510.0490.24955
E X ≈⨯+⨯=∴．…………………………………………………（6分）
（2）设事件A ：血检呈阳性；事件B ：携带该病毒． 则由题意有()0.01()0.005(|)0.01P A P B P A B ===，，，
∵(|)(|)1P A B P A B +=，∴(|)0.99P A B =．…………………………………………（8分） ∴()()(|)0.0050.99P AB P B P A B ==⨯，………………………………………………（10分） ∴()0.0050.99
(|)0.495()0.01
P AB P B A P A ⨯=
==， 所以血检呈阳性的人确实携带该病毒的概率为49.5%．
……………………………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，
∴四棱锥E ABCD -的体积118
22233
V =⨯⨯⨯=，……………………………………（1分）
过点F 作FH BC ⊥交BC 于点H ，如图所示，
数学参考答案·第6页（共9页）
∵平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，
FH BC ⊥，FH ⊂平面FBC ，
∴FH ⊥平面ABCD ，
ED FH ∥∴，
又FH ⊂平面FBC ，ED ⊄平面FBC ，
ED ∥∴平面FBC ，
而DC BC DC FH FH BC H FH BC =⊂，，，，⊥⊥平面FBC ，
DC ∴⊥平面FBC ．
∴21
33
E BC
F D BCF BCF V V S BF CF --==
⨯=△， 在Rt BCF △中，22242BF CF BC BF CF +==⨯≥，
∴当且仅当BF CF =时，BF CF ⨯有最大值2，E BCF V -有最大值
2
3
， ………………………………………………………………………………………（5分） ∴多面体ABCDEF 体积有最大值
10
3
．…………………………………………………（6分） （2）以D 为原点，DA DC ，，DE 所在的直线分别为x y ，，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，
可知(000)D ，，，(002)E ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，
当BF CF =时，(121)F ，，
，……………………………………………………………（8分） 设平面EBC 的法向量为()y z n x =，，，
(222)EB =-，，，(200)CB =，，，(121)DF =，，，
则202220n CB x n EB x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩，
，
令1z =，则(011)n =，，． ……………………………………………………………………………………（10分） 设直线DF 与平面EBC 所成角为θ， ∴33sin |cos |2
||||
2
6n DF
n DF n DF θ=〈〉=
=
=， ，
数学参考答案·第7页（共9页）
故直线DF 与平面EBC 所成角为
π3．…………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） 解：（1）若选①②，可知2222223c a b b c a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，，，解得132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴C 的方程为2
2
13y x -=．………………………………………………………………（4分） 若选①③，因为b a >，∴323b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，，∴13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，， ∴C 的方程为2
2
13y x -=．………………………………………………………………（4分） （2）0(2)F ，，由题意知，直线l 斜率不为0，
∴设直线2l x ty =+：． 由22213y x x ty ⎧⎪⎨-=⎪=⎩
+，，得22(31)1290t y ty -++=， 设1122()()A x y B x y ，，，，12||||y y >，
则可知2310t -≠且0∆>恒成立，
1212221293131
t y y y y t t -+==--，，…………………………………………………………（7分） ∵120y y >，∴3t <3t > ∵12||1131||AOB AOF BOF AOF BOF BOF BOF S S S S y S S S y -==-=-=△△△△△△△，∴12
23y y =． 由221212212()210231y y y y t y y t +-+=-，得21222110231y y t y y t ++=-，∴22102431
t t +=-， ∴3t =±3t <或3t >
数学参考答案·第8页（共9页）
∴直线l 的方程为323y =或323y =． ……………………………………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()1a x a f x x x
-'=-=． 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增，不满足题意；
………………………………………………………………………………………（2分）
当0a >时，令()0f x '=，得x a =；令()0f x '>，得x a >；令()0f x '<，得0x a <<． ∴()f x 在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增，
∴当x a =时，()f x 有最小值ln a a a -，∴ln 1a a a -=．
………………………………………………………………………………………（4分）
令()ln h x x x x =-，()ln h x x '=-，
∴当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，max ()(1)1h x h ==． ∴当且仅当“1a =”时，ln 1a a a -=．
综上，1a =．……………………………………………………………………………（6分）
（2）令e ()(1)ln 0x m g x x x m x x =--++=，得e (ln )ln x
m m x x x x x
--=-， ∴ln e (ln )ln x x m m x x x x ---=-，
令()ln F x x x =-，可得ln (e )()x x m F F x -=．
由（1）知，当1x >时，ln 1x x ->，∴ln e e x x ->，
又1m >，∴1m x >．
∵()F x 在(1)+∞，上单调递增，
∴ln e x x m x -=，∴ln ln x x m x -=，∴(1)ln 0x m x -+=．
………………………………………………………………………………………（9分）
令1a m =+，则2a >，由（1）知，()ln f x x a x =-在(1)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增， ()f x 有最小值()ln f a a a a =-，
数学参考答案·第9页（共9页） 又()ln h x x x x =-在(2)+∞，上单调递减，(e)0h =， ∴当2e x <<时，()0h x >；当e x >时，()0h x <； ∴当2e a <<时，()f x 的最小值ln 0a a a ->，(1)ln 0x m x -+=无解； 当e a =时，()f x 的最小值ln 0a a a -=，(1)ln 0x m x -+=只有1个解； 当e a >时，()f x 的最小值ln 0a a a -<，又e a a >，2(e )e 0a a f a =->，(1)1f =， 故(1)ln 0x m x -+=有2个解．
综上，对(1)x ∈+∞，，
当e 1m >-时，()g x 有2个零点；
当e 1m =-时，()g x 有1个零点；
当1e 1m <<-时，()g x 没有零点．……………………………………………………（12分）。