专题(三)数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差-2021年高考数学核心素养系列专题

核心素养系列（三）
数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的期望与方差是高考的一个重要内容，注意观察随机变量的概率分布特征，抽象出合理的概率模型，利用期望与方差公式计算与求解，解决学生这一痛点. 类型一 以相互独立事件为背景的期望与方差 求以相互独立事件为背景的期望与方差的解题思路：
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【素养指导】（1）求出3
()4
P A =→且()()P A P C 与()()P B P C →求乙、丙二人各自击中目标的概率．
（2）写出X 的可能取值→求出相应的概率→求出X 的分布列→E （X ）． 【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3
()4
P A =
，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().
4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎪=⎪⎩
解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为3
8
，23
； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，
1(2)4P X ==
；515(0)()()8324
P X P B P C ===⨯=， 13
(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==.
所以随机变量X 的分布列为
()0122424424E X =⨯
+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为24
. 【素养点评】考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力．
【素养专练】为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为
2
3
；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”． （1）求620S =且0i S ≥（1,2,3i =）的概率；
（2）记5|S |X =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X ．
【解析】（1）当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个. 若回答正确1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个.
故所求概率为：2222
224322121221163333333381
P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由5X S =可知X 的取值为10,30,50.
()411
4415521213030333381P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，()55
50552111503381P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
. 故X 的分布列为：
()81
E X =
. 类型二 以二项分布为背景的期望与方差 求二项分布为背景的期望与方差的解题思路： 第一步：根据题意设出随机变量. 第二步：分析随机变量服从二项分布.
第三步：找到参数n ，p .
第四步：写出二项分布的概率表达式. 第五步：求解相关概率.
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ．
【素养指导】(Ⅰ)先计算3人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率； (Ⅱ)确定二项分步→X 的可能的取值→列出分布列→求出期望．
【解析】(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福
()()363185199
111204204
C P A P A C ∴=-=-=-=
(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，X 的可能的取值为0,1,2,3 ()3
03110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1
32121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()2
23
2142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3
33283327
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ 所以随机变量X 的分布列为：
所以X 的期望()124801232279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 【素养点评】二项分布的均值与方差.
(1)如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b ).
(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值.
【解析】(1)，前四组频数成等差数列，，所对应的频率
组距
也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，
，0.5[0.2＋(0.2＋d )×2＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.1×3]＝1， 解得d ＝0.1，，a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋
3
.07
.08.0 ≈2.83. (3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，X ～B (3，0.7)，
P (X ＝0)＝0
3C ×0.33＝0.027；P (X ＝1)＝1
3C ×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝2
3C ×0.3×0.72＝0.441；P (X ＝3)＝3
3C ×0.73＝0.343， ，X 的分布列为
，X ～B (3，0.7)，，E (X )＝np ＝2.1.
类型三 以超几何分布为背景的期望与方差 求超几何分布件为背景的期望与方差的解题思路： 第一步：确定参数N ，M ，n 的值.
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. 第三步：列出分布列.
（1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X 【素养指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；
（2）X 的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.
【解析】（1）根据超几何分布可知：()21
533815
228
C C P X C ===； （2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()335388k
k k
P X k C -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3k =
∴分布列如下：
()515
388
E X =⨯=
【素养点评】考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.
（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望.
【解析】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了
理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以()11
24154
10404
21021
C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，
()4073410106C C P X C ⋅===；()31
734
101
12C C P X C ⋅===； ()22734103210C C P X C ⋅===；()13734
101
330
C C P X C ⋅===， X 的分布列为
01236210305
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.。