高考数学一轮复习 课时跟踪检测22 理

课时跟踪检测(二十二)
[高考基础题型得分练]
1．[2017·云南昆明检测]下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin |x | B ．y ＝cos |x | C ．y ＝tan |x | D ．y ＝(x －1)0
答案：B
解析：∵f (x )＝cos x 是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， 即y ＝cos|x |＝cos x ，∴它的最小正周期为2π.
∵f (|x |)的图象是由f (x )的y 轴右边图象保持不变，并把y 轴右边图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边得到的，
∴y ＝sin|x |和y ＝tan|x |都不是周期函数．y ＝(x －1)0
＝1，任何大于0的实数都是它的正周期，无最小正周期．故选B.
2．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6 B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R 答案：C 解析：∵cos x －
32≥0，得cos x ≥3
2
， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z .
3．[2017·浙江杭州模拟]若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝
( )
A.π2
B ．2π3
C ．3π2
D ．5π3
答案：C
解析：由已知f (x )＝sin
x ＋φ
3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π
2
(k ∈Z )，
又φ∈[0,2π]，所以φ＝
3π2
. 4．[2017·山东泰安模拟]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )是偶函数
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
4
对称
D ．函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数
答案：C
解析：f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x
＝π4不对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，
故选C.
5．[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考]函数f (x )＝2cos(ωx ＋
φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝( )
A ．2或0
B ．－2或2
C ．0
D ．－2或0
答案：B 解析：由f ⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 可知，函数图象关于直线x ＝π4对称，则函数f (x )在x ＝
π
4
处取得最值， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝±2，故选B. 6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2上的图象是( )
A B
C D
答案：D
解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2.
7．[2017·山东师大附中模拟]已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若
f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＞f (π)，则φ＝( ) A.π6
B ．5π6
C ．7π6
D ．11π6
答案：C
解析：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6可知，x ＝π6是函数f (x )的对称轴，又2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π
6
＋k π，k ∈Z .
由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＞f (π)，得sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)， 即－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0， 又0＜φ＜2π，∴π＜φ＜2π，
∴当k ＝1时，φ＝7π
6
.
8．[2017·豫南九校质检]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )
的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，2π3 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π 答案：D
解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π
6，
∵当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，
∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，
则有π2≤a ＋π6≤7π6，π
3
≤a ≤π，
即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π.
9．[2017·河北武邑中学高三上期中]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝1，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π
8，－π4上单调，则ω可取数值的个数
为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B
解析：由题设可知π2ω＋φ＝π2＋2k π，3π8ω＋φ＝π4＋2m π，k ，m ∈Z ，或π
2ω＋φ
＝3π2＋2k π，3π8ω＋φ＝3π4＋2m π，k ，m ∈Z ，由此可得π8ω＝π4或π8ω＝3π
4
， 解得ω＝2或ω＝6，故选B.
10．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有
f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．
答案：2
解析：∵对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，∴f (x 1)，f (x 2)分别为函数f (x )
的最小值和最大值，
∴|x 1－x 2|的最小值为12T ＝12×2π
π
2
＝2.
11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π
6是f (x )图象的一条对称轴，则函数f (x )的单调递增
区间为________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z 解析：由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝－3，
∴2×π6＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
得φ＝π
6＋k π，k ∈Z .
又∵|φ|<π2，∴φ＝π
6，
∴f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π，k ∈Z ，
∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .
12．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．
答案：(3，2)
解析：令y 1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．
若2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，
则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·河北石家庄一模]函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 答案：B
解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π
2
(k ∈Z )得，
k π2－π
12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．
2．若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )
A.5π
12
B ．π4
C ．π3
D ．π6
答案：A
解析：由题意得T 2＝π
2
，T ＝π，ω＝2.
又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π
12(k ∈Z )，
而x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 3．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，2π3上是单调减函数，
且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝( )
A.12 B ．
22
C ．
32
D ．1
答案：C
解析：由题意得，函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
－π6＝π，所以ω＝2，
此时f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|<π2， 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，
所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 4．已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3
解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，
所以－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，
故f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3. 5．[2017·湖北荆州检测]函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，
且函数图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________． 答案：y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4
解析：由题意知，最小正周期T ＝π＝2π
ω
，
∴ω＝2,2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π8＋φ＝k π， ∴φ＝k π＋3π
4，又0<φ<π，
∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.
(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6，32，求f (x )的单调递增区间．
解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω
＝π，
∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π
2
.
(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，
即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝32
.
又∵0<φ<2π3，∴π3<π
3＋φ<π，
∴π3＋φ＝2π3，φ＝π
3
.
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2
，k ∈Z ，得
k π－
5π12≤x ≤k π＋π
12
，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .
7．[2017·北京东城区调研]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4
－π6－2cos 2πx 8＋1.
(1)求f (x )的最小正周期．
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，43时，y ＝g (x )
的最大值．
解：(1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx
4
＝
32sin πx 4－32cos πx
4
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 4
－π3，
故f (x )的最小正周期为T ＝
2π
π4
＝8. (2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．
由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π42－x －π3
＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx 4－π3
＝3cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 4＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π
3
，
因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.
解法二：区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，2，
且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，
故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 4
－π3，
当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π
6
. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，43上的最大值为
g (x )max ＝3sin π6
＝
32
.。