初中数学北师大版八年级下册第4章《因式分解》单元测试卷(带答案)

北师大版八年级下册第
4 章《因式分解》单元测试卷
满分： 100 分
姓名： ___________班级： ___________学号： ___________成绩： ____________
一．选择题（共 8 小题，满分 24 分）
1．多项式 ① x 2 +8y 2， ② x 2 ﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2+1， ④ ﹣ x 2﹣ y 2
中能用平方差公式分解因式的有
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ． ③④
D ． ①④
2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A ．m （a+b ）＝ ma+mb
B ． ma+mb+1＝ m （ a+b ）+1
C ．（a+3）（a ﹣ 2）＝ a 2
+a ﹣ 6
D ． x 2
﹣ 1＝（ x+1）（ x ﹣ 1）
3．分解因式 a 4﹣ 2a 2b 2+b 4
的结果是（ ）
A ．a 2（ a 2﹣ 2b 2） +b 4
B ．（ a ﹣ b ）
2
C ．（a ﹣ b ）
4
D ．（ a+b ） 2（ a ﹣ b ）
2
4．若△ ABC 的三边长为
a ，
b ，
c 满足 a 2+b 2+c 2
+50 ＝ 6a+8b+10c ，则△ ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 5．若 x 2
﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）（ x+b ），那么 a+b 的值为（
） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣ 2
D ． 2
2
的值（
）
6． a 是有理数，则多项式﹣ a +a ﹣ A ．一定是正数
B ．一定是负数
C ．不可能是正数
D ．不可能是负数 7．（﹣ 2）100
+（﹣ 2） 101
的结果是（
）
A ．2
100
B ．﹣ 2100
C ．﹣ 2
D ． 2 8．已知 a ﹣ b ＝ 5，且 c ﹣ b ＝ 10，则 a 2+b 2+c 2
﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac 等于（
） A ．105
B ．100
C ． 75
D ． 50
二．填空题（共 8 小题，满分 24 分）
9．分解因式： 3
2
．
a +2a +a ＝
10．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．
11．在实数范围内分解因式 ： x 5
﹣ 4x ＝
．
12．如果代数式 x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2
，那么 m 的值为
．
13．若 3x 2
﹣mx+n 进行因式分解的结果为（ 3x+2）（ x ﹣ 1），则 mn ＝
．
14．若长方形的长为 a ，宽为 b ，周长为 16，面积为
2
2
的值为 ．
15，则 a b+ab 15．已知 a 2+a ﹣ 3＝ 0，则 a 3+3 a 2
﹣a+4 的值为
．
16．化简： a+1+a （ a+1） +a （a+1） 2 + +a （ a+1）99
＝
．
三．解答题（共 6 小题，满分 52 分）
17．因式分解：
（ 1）﹣ 2ax 2+8ay 2
；
（ 2） 4m 2﹣ n 2+6n ﹣ 9．
18．利用因式分解计算： 2
2 ﹣315 2
．
999 +999+685
19．若已知 x+y ＝ 3， xy ＝1，试求
（ 1）（x ﹣ y ） 2
的值
（ 2） x 3 y+xy 3 的值．
20．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么．
例：把多项式 am+an+bm+bn 分解因式
解法 1： am+an+bm+bn ＝（ am+an ）+（bm+bn ）＝ a （ m+n ）+b （m+n ）＝（ m+n ）（a+b ）
解法 2： am+an+bm+bn ＝（ am+bm ）+（ an+bn ）＝ m （ a+b ） +n （ a+b ）＝（ a+b ）（m+n ）
根据你的发现，把下面的多项式分解因式：
（ 1）mx ﹣ my+nx ﹣ ny ；
（ 2） 2a+4b ﹣ 3ma ﹣ 6mb ．
21．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
∵（ x+4）（ x+2）＝ x 2
+6 x+8
∴ x 2
+6x+8＝（ x+4）（ x+2）
由此可见 x 2
+6x+8 是可以因式分解成（ x+4）（ x+2）的，爱研究问题的小明同学经过认真思考，找到了 x 2
+6x+8 的因式分解方法如下：
x 2+6x+8 ＝ x 2+6x+32﹣ 32+8 ＝（ x+3） 2
﹣ 1＝（ x+3+1 ）（ x+3﹣ 1）＝（ x+4）（ x+2）
根据你对以上内容的理解，解答下列问题：
（ 1）小明同学在对 2 进行因式分解的过程中，在
2 的后面加 2
，其目的是构 x +6x+8 x +6x 3
成完全平方式，请在下面两个多项式的后面分别加上适当的数，使这成为完全平方式，
并将添加后的多项式写成平方的形式．
① x 2
+4x+ ＝（ ）2；
② x 2
﹣ 8x+
＝（
）
2
（ 2）请模仿小明的方法，尝试对多项式
x 2
+10x ﹣ 24 进行因式分解．
22．材料阅读：
若一个整数能表示成 2 2
a +
b （ a 、 b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为 13＝32+22
，所以 13 是“完美数” ；
2
2 2 2
2
2
也是“完美数”．
再如：因为 a +2ab+2b ＝（ a+b ） +b （ a 、b 是正整数），所以 a +2ab+2 b
（ 1）请你写出一个大于 20 小于 30 的“完美数” ，并判断 53 是否为“完美数” ；
（ 2）试判断（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）（x 、 y 是正整数）是否为“完美数” ，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解： ② x 2﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2
+1 能用平方差公式分解因式，
故选： B ．
2．【解答】解： A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B 、右边不是整式的积的形式，实际上本题不能分解，错误；
C 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
D 、是平方差公式，分解正确．故选： D ．
3．【解答】解： a 4﹣ 2a 2b 2+b 4
，
＝（ a 2﹣b 2） 2，
＝（ a+b ） 2（ a ﹣b ） 2
．
故选： D ．
4．【解答】解：已知等式整理得：
（ a 2﹣ 6a+9） +（ b 2﹣8b+16） +（c 2
﹣ 10c+25）＝ 0，即（ a
2
2
2
﹣ 3） +（ b ﹣ 4） +（ c ﹣ 5） ＝ 0，
∴ a ﹣ 3＝ 0， b ﹣4＝ 0， c ﹣5＝ 0，
解得： a ＝ 3， b ＝ 4， c ＝ 5，
∵ 32+42＝52，
∴△ ABC 为直角三角形，
故选： B ．
5．【解答】解： （ x ﹣ 2）（ x+b ）＝ x 2
+（﹣ 2+b ） x ﹣ 2b ，
∵ x 2
﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）
（ x+b ），∴﹣ a ＝﹣ 2+b ，﹣ 2b ＝﹣ 1，
∴ a ＝ ， b ＝ ，
∴ a+b ＝2，
故选： D ．
6．【解答】解：∵﹣ a 2
+a ﹣ ＝﹣（ a ﹣ ） 2，
∴多项式﹣ a 2
+a ﹣ 的值不可能是正数．
故选： C ．
7．【解答】解： （﹣ 2） 100
101 100 100
+（﹣ 2） ＝（﹣ 2） ×（ 1﹣ 2）＝﹣ 2 ．
故选： B ．
8．【解答】解：∵ a ﹣ b ＝ 5，c ﹣b ＝ 10
∴ a ﹣ c ＝﹣ 5
a 2+
b 2+
c 2﹣ab ﹣ bc ﹣ ac ＝ [（ a ﹣ b ）2+（ b ﹣ c ）2+（ a ﹣ c ）2]＝ × [52+（﹣ 10）2
+（﹣ 5）
2
]＝75
故选： C ． 二．填空题
9．【解答】解： a 3+2a 2
+a ＝ a （ a 2
+2a+1 ） ＝ a （ a+1） 2
，
故答案为： a （ a+1）
2
10．【解答】解：由题意可得： am+bm+cm ＝ m （ a+b+c ）． 故答案为： am+bm+cm ＝m （a+b+c ）．
11．【解答】解：原式＝ x （ x 4﹣ 4）＝ x （ x 2+2）（x 2﹣ 2）＝ x （x 2
+2）（ x+ ）（ x ﹣ ），
故答案为： x （ x 2
+2）（ x+ ）（ x ﹣ ）
12．【解答】解：已知等式整理得：
x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2
，
可得 m ＝± 2× 3× 1，
则 m ＝± 6．
故答案为：± 6．
2
13．【解答】解：∵（ 3x+2 ）（ x ﹣1）＝ 3x ﹣x ﹣
2，
∴ 3x 2﹣ mx+n ＝3x 2
﹣ x ﹣ 2，
∴ m ＝ 1， n ＝﹣ 2，
∴ mn ＝﹣ 2，
故答案为：﹣ 2．
14．【解答】解：由题意得： a+b ＝ 8， ab ＝ 15，
则原式＝ ab （ a+b ）＝ 120，
故答案为： 120
15．【解答】解：∵ a 2
+a ﹣ 3＝ 0，
∴ a 2
＝ 3﹣ a ，
∴ a 3＝ a?a 2
＝ a （ 3﹣ a ）＝ 3a ﹣ a 2
＝ 3a ﹣（ 3﹣ a ）＝ 4a ﹣3，
3
2
∴ a +3a ﹣ a+4＝ 4a ﹣ 3+3（ 3﹣ a ）﹣ a+4＝ 10．
故答案为 10．
16．【解答】解：原式＝（ a+1） [1+ a+a （ a+1） +a （ a+1） 2+ +a （ a+1 ）98
]
＝（ a+1） 2[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）97
]
＝（ a+1） 3[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）96
]
＝
＝（ a+1） 100
．
100
故答案为：（ a+1） ．
2
2
17．【解答】解： （ 1）原式＝﹣ 2a （ x ﹣4y ）
（ 2）原式＝ 4m 2﹣（ n 2
﹣ 6n+9）
＝ 4m 2﹣（ n ﹣3）
2
＝（ 2m+n ﹣3）（ 2m ﹣ n+3 ）．
18．【解答】解： 9992+999+685 2﹣ 315
2
＝ 999×（ 999+1） +（ 685﹣ 315）×（ 685+315）
＝ 999× 1000+370× 1000
＝ 999000+370000
＝ 1369000．
19．【解答】解： （ 1）∵ x+y ＝ 3，xy ＝ 1；
∴（ x ﹣y ） 2＝（ x+y ）2
﹣ 4xy ＝ 9﹣ 4＝ 5；
（ 2）∵ x+y ＝ 3， xy ＝ 1，
∴ x 3y+xy 3＝ xy[（ x+y ） 2
﹣ 2xy] ＝ 9﹣2＝ 7．
20．【解答】解（ 1）原式＝ m （ x ﹣ y ）+n （ x ﹣ y ）
＝（ x ﹣y ）（ m+n ）；
（ 2）原式＝ 2（a+2 b ）﹣ 3m （a+2b ）
＝（ a+2b ）（ 2﹣3m ）．
21．【解答】解： （ 1） ① x 2+4x+22＝（ x+2） 2
；
故答案为： 22
， x+2；
② x 2﹣ 8x+16＝（ x ﹣ 4） 2
故答案为： 42
， x ﹣ 4；
（ 2） x 2
+10x ﹣ 24
＝ x 2+10x+52﹣ 52﹣ 24
＝（ x+5） 2
﹣ 49
＝（ x+12）（ x ﹣ 2）．
2 2
22．【解答】解： （ 1） 25＝ 4 +3
，
∵ 53＝49+4 ＝ 72+22
，
∴ 53 是“完美数” ；
（ 2）（x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2
）是“完美数” ，
2
2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2
理由：∵（ x +9 y ）（? 4y +x ）＝ 4x y +36y +x +9x y ＝ 13x y +36y +x ＝（ 6y +x ） +x y ，
∴（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2
）是“完美数” ．。