平方根知识点总结讲义

平方根知识点总结
【学习目标】
1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1•算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即x2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定0 的算术平方根还是0); a的算术平方根记作，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数•要点诠释：当式子有意义时，a 一定表示一个非负数，即命> 0, a >0.
2.平方根的定义
如果x2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a >0)的平方根的符号表达为 a(a 0)，其中、a是a的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：..a和，a
2 •联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3） 0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或
者向左移动 1 位.例如：.62500 250，625 25，.6.25 2.5， . 0.0625 0.25. 【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
01、若2m -4与3m - 1是同一个正数的两个平方根，求 m的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m— 4=- （3m —
1),解方程即可求解.
【答案与解析】
解：依题意得2m — 4=—( 3m — 1),
解得m = 1;
••• m的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 举一反三：
【变式】已知2a — 1与一a + 2是m的平方根，求m的值.
【答案】2a — 1与—a + 2是m的平方根，所以2a — 1与—a + 2相等或互为相反数
2 2
解：①当 2a — 1= — a + 2 时，a = 1,所以 m = 2a 1 2 1 1 1
②当 2a — 1+(— a + 2)= 0 时，a = — 1，
2 2 2
所以 m = 2a 1 [2 ( 1) 1]2 3 9
2、x为何值时，下列各式有意义？
____ ___ _____ y----------
(1).x2 ; (2)、匚匸; (3) ,71 ; ⑷.
x 3
【答案与解析】
解：⑴因为X2 0 ,所以当X取任何值时，/X2都有意义.
(2)由题意可知：x 4 0 ,所以x 4时，.x 4有意义.
x 1 0 ,_____________________________________ , _____
(3)由题意可知：解得：1 x 1 •所以1 x 1时x 1 x有意义.
1 x 0
一x 1 0
(4)由题意可知：，解得x 1且x 3 .
x 3 0
所以当x 1且x 3时，亠」有意义.
x 3
【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.
举一反三：
___ ___ ___ 1 1
【变式】已知b 4.3a 2 2 ..2 3a 2，求——的算术平方根.
a b
【答案】
解：根据题意，得'a 2 0,则a2，所以b = 2，二—-——2，
2 3a 0.
3 a b 2 2
1 1
的算术平方根为1 V2.
a b ； a b 类型二、平方根的运算
、求下列各式的值.
(1) j252 242 gJ3 42 ; (2)」20 丄 丄 J 036 -^900 .
4 3 5
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1) 252 2 42 g 32 42
、49g ,25 7 5 35 ；
【总结升华】（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行.（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据.a 2
a （a 0）来解.
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x.
2 2
（1） x 361 0; （2） x 1 289;
（3） 9 3x 2 2
64 0
【答案与解析】
解：（1）v x 2 361
3礙
9
0.2 6
2
1.7 .
-0.6 - 30
3 5
二 x 361
••• x .361 19
2
(2) v x 1 289
••• x 1 .289
••• x + 1=± 17
x = 16或 x = — 18.
(3) v 9 3x 2 2
64 0
3x 2
— 3
2 14 …x -或x —
2
3x 2 64 9
【答案】(1)± 1.1 (2) 土 13；3) 2；(4)± 2.
类型四、平方根的综合应用
已知a
b是实数，且、2F"6 |b ,2| 0，解关于x的方程(a 2)x b2 a 1 .
【答案与解析】
b疋实数，2a 6 |b 0，•. 2a 60，|b 2| 0，
解：•••
a、
•••
6 0，b 迈 0 .
2a
a —3，
b ■-./ 2 .
把a —3，b .2 代入(a 2)x b2 a 1，得一x + 2=- -4，. x = 6
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.
举一反三：
【变式】若x2 1 y 1 0，求x2011 y2012的值.
【答案】
解：由 x2 1 . y 1 0，得 x2 1 0， y 1 0，即 x 1， y 1 .
2011 2012 2011 2012
②当 X = — 1, y =— 1 时，X y ( 1) ( 1) 0 .
的长方形纸片，使它长宽之比为 3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x >0) cm ，贝U 宽为2x cm ，依题意得
3x 2x 300.
2
6x 300.
①当 X 二 1, y = —1 时，x
2011
2012 “2011 ,
八 2012 亠 y 1
( 1) 2.
、小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
300cm
由正方形纸片的面积为 400 cm2 , 可知其边长为 20cm,
•••长方形的纸片长大于正方形纸片的边长•
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 .
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20cm
的正方形纸片裁出长方形纸片 .
9 9
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法•( 2) (3)小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】求下列等式中的x :
(1)若 x2 1.21，则 x = ______ ; (2) x2 4169，则 x = ______ ;
(3)若 x2 9,则 x = _________ ; (4)若 x2 2 2，则 x = ______
4
2
x 50.
•/ x >0，
x . 50 .
二长方形纸片的长为3\ 50 cm. ••• 50 >9,
•—50 7.。