2019-2020年苏教版数学必修二讲义：第1章+1.2+1.2.4 第2课时 两平面垂直及答案

第2课时两平面垂直
1．与二面角有关的概念
(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α-AB-β．
(2)一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理
l
3.平面与平面垂直的性质定理
1.思考辨析
(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．()
(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．
()
(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．
(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．
() [答案](1)√(2)√(3)√(4)√
2．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________．
[答案]②④
3．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________．
[答案]a∥α或aα
4．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．
平行或相交[如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平
行，也可能为相交．]
M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD.
思路探究：欲证平面MND⊥平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可，取PD的中点E，易知MN∥AE，故只需证明AE⊥平面PCD即可．
[证明]如图，取PD的中点E，连结AE，NE.
∵E，N分别是PD，PC的中点，
∴EN1
2CD.
又AB CD，AM＝1
2AB，
∴EN AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.
又CD⊥AD，P A∩AD＝A，
∴CD⊥平面P AD，
∴CD⊥AE.
在等腰直角三角形P AD中，AE是斜边PD上的中线，
∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.
∵MN平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD.
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
1．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠
ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1
⊥平面BDC.
[证明]由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴
BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC 1平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，
∵DC 1平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC.
SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
思路探究：(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可．(2)先证BC⊥平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.
[证明](1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB.
因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
[证明](1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.
又P A∩AD＝A，
所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF，
又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
因为CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？
[提示]关系无法确定．如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，
当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H-DG-F的大小不确定．
【例3】如图所示，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，
求二面角P-BC-A的大小．
思路探究：先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解．[解]∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.
又∵AC⊥BC，P A∩AC＝A，P A平面P AC，AC平面P AC，
∴BC⊥平面P AC.
又∵PC平面P AC，∴BC⊥PC.
又∵BC⊥AC.
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.
在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝2，
∴在Rt△P AC中，cos∠PCA＝AC
PC ＝2
2，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小为45°.
解决二面角问题的策略
3．如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示．
(1)(2)
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角B-AD-C的大小．
[解](1)证明：如图，
∵∠ACD＝135°－45°＝90°，
∴CD⊥AC.由已知二面角B-AC-D是直二面角，
过B作BO⊥AC，垂足为O，
由AB＝BC知O为AC中点，
作OE⊥AC交AD于E，
则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.
而OE∩AC＝O，
∴BO⊥平面ACD.
又∵CD平面ACD，∴BO⊥CD.
又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC.
∵AB平面ABC，
∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，
∴AB⊥平面BCD.
又∵AB平面ABD，
∴平面ABD ⊥平面BCD .
(2)由(1)知BO ⊥平面ACD ，∴BO ⊥AD . 作OF ⊥AD ，连接BF ，则OF ⊥AD . 又BO ∩OF ＝O ，∴AD ⊥平面BOF ，
∴AD ⊥BF ，∴∠BFO 为二面角B -AD -AC 的平面角． ∵AB ＝BC ＝a ，∴AC ＝2a ，BO ＝2
2a . ∵CD ＝a ，
∴OE ＝a 2，AE ＝3
2a ， ∴OF ＝AO ·OE AE ＝22a ·
a 232a ＝6
6a ，
∴BF ＝
BO 2
＋OF 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫66a 2
＝63a ，
∴cos ∠BFO ＝
OF BF ＝1
2， ∴∠BFO ＝60°，
即二面角B -AD -C 的大小为60°.
1．本节课的重点是了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小，掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用面面垂直的判定定理和性质定理解决关于垂直的问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)确定二面角的平面角的方法．
(2)证明面面垂直的方法，应用面面垂直的性质定理证明线面垂直的方法． 3．本节课的易错点是忽视平面角定义中的垂直关系误判二面角的平面角，垂
直关系转化中易出现转化混乱错误．
1．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n α
C ．m ∥n ，n ⊥β，m α
D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β
C [∵n ⊥β，m ∥n ，∴m ⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理得α⊥β.] 2．已知l ⊥α，则过l 与α垂直的平面有________个．
无数 [由面面垂直的判定定理知， 凡过l 的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．]
3．已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D -BC -A 的大小为________．
90° [如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.
取BC 的中点E ，连结DE ，AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 所以∠DEA 为所求二面角的平面角．易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2，AD 2＝AE 2＋DE 2，所以∠DEA ＝90°.]
4．如图，平面角为锐角的二面角α-EF -β，A ∈EF ，AG α，∠GAE ＝45°，
若AG 与β所成角为30°，求二面角α-EF -β的平面角．
[解] 作GH ⊥β于点H ，作HB ⊥EF 于点B ，连结AH ，
GB ，则GB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角．
又∠GAH 是AG 与β所成的角，设AG ＝a ，则GB ＝22a ，GH ＝1
2a ，sin ∠GBH
2019-2020年苏教版数学必修二讲义：第1章+1.2+1.2.4 第2课时 两平面垂直及答案 - 11 - / 11 ＝GH GB ＝22，所以∠GBH ＝45°，
故二面角α-EF -β的平面角为45°.。