2022年新高考数学热点难点专题练02 不等式性质与均值不等式的应用(解析版)

专题02 不等式的性质及均值不等式的应用
一、单选题
1.若m ＝2x 2＋2x ＋1,n ＝(x ＋1)2,则m ,n 的大小关系为（ ） A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n
【答案】B
【解析】因为m －n ＝(2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n . 故选B.
2．已知0x >,0y >,若1x y +=,则1
xy
的最小值为（ ） A ．4 B ．
14
C ．2
D ．1
2
【答案】A
【解析】因为0x >,0y >,1x y +=,所以21
()24x y xy +≤=,当且仅当12
x y ==时取等号, 则
1
4xy
≥,即最小值为4.故选A. 3．设实数x 、y 满足34x <<,12y <<,则2M x y =-的取值范围是（ ） A ．46M << B ．47M << C ．56M << D ．57M <<
【答案】B
【解析】由已知得,628x <<,21y -<-<-,故427x y <-<,故选B. 4．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．1a <1
b
B ．a 2>b 2
C ．
21a c +>21
b
c + D ．a |c |>b |c |
【答案】C
【解析】当a =1,b =-2时,满足a >b ,但
11a b
>,a 2<b 2,排除A,B ；因211c +>0,a >b ,由不等式性质得2211a b
c c >++,C 正确；当c =0时,a |c |>b |c |不成立,排除D,故选C
5．（2022届广东省揭阳普宁市高三上学期第一次阶段考试）函数y = ） A ．13,0,144⎡⎫⎛⎤
-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
B ．13,0,144⎛⎫⎛⎤- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
C ．13,0,144⎡⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
D ．13,0,144⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A
【解析】由题可知,2
0.50l 3(og )4x x -≥,由对数函数的单调性,可得20431x x <-≤,解得：104-≤<x 或314
x <≤,
所以y =13,0,144⎡⎫⎛⎤
-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
.故选A.
6．若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的取值范围是（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．⎛ ⎝⎭
C ．⎡⎢⎣⎦
D ．⎛ ⎝⎭
【答案】A
【解析】2221()1x y xy xy x y ++=⇔=+-,又2()2x y xy +,22
()1()2
x y x y +∴+-,令x y t +=,
则2244t t -,233
t
,即23
3x y +,当且仅当x y =时,取等号,
x y ∴+的取值范围是[．故选A ．
7．若实数,m n 满足0m n >>,则（ ）
A ．11
m n
-
<- B C ．1122m
n
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．2m mn <
【答案】B
【解析】由0m n >>,可得
11
m n <,所以11m n
->-,所以A 不正确；
由2m n =++2m n =+,因为0m n >>,可得0>,>所以B 正确；由函数1()2x y =为R 上的递减函数,因为0m n >>,可得1122m
n
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 错误；
例如：当2,1m n ==时,24,2m mn ==,此时2m mn >,所以D 错误.故选B.
8．（2022广东省深圳市高三上学期质量评估届）已知a ,b 为正实数,直线y x a =+与曲线x b y e -=相切,则21
34a b
+的最小值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
1112D ．【答案】C
【解析】由x b y e -=得：x b y e -'=；当1y '=时,x b =,∴直线y x a =+与曲线x b y e -=相切的切点坐标为(),1b ,
1a b ∴+=,又,a b 为正实数,
()21211121111343412341212b a a b a b a b a b ⎛⎫∴
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当
234b a a b =,即a =,
b =
,2134a b ∴+的最小值为1112故选C. 9．（2022届山东省济宁市高三上学期开学考试）已知a ,b 为正实数,则“2ab
a b
≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由a ,b 为正实数,a b ∴+≥当且仅当a b =时等号成立,若16ab ≤,可得
2
ab a b ==+,故必要性成立；当2,10a b ==,此时
2ab a b ≤+,但2016ab =>,故充分性不成立；因此“
2ab
a b
≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件,故选B 10．已知0x y >>,*n N ∈,则下列结论正确的是（ ）
A ．
sin
y x
B ．221x y xy +-+的最小值为1
2
C ．
11
2
2n n n n
x y nx y x y
---≥⋅- D ．(y x x y xy ⋅≥
【答案】C 【解析】记(0,1)y t
x =
∈有tan t t >,则sin t =>,易知1x =时有sin y x 错误； 2
2
2231112433x x y xy y x ⎛⎛⎫+-+=-++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
,当且仅当2x y ==,所以最小值为13,B 错误；记(0,1)y t x
=∈,则
11
22n n n n
x y nx y x y ---≥⋅-等价于1122(1)0n n t t n t -+-+-≥, 记112
2
()(1)n
n f t t
t
n t -+=-+-,则11
22
11()22
n n n n f t n t t +--+=-'+, ∴()()3
221()1104
n n
f t n t t +-"=--≥,即()f t '单调递增,有()(1)0f t f '<'=,
∴()f t 单调递减,则有()(1)0f t f >=,不等式得证,C 正确；
取2x =,1y =,
有2(y x x y xy ⋅=<=错误．故选C
11．设实数x y 、满足22545x xy y --=,则222x y +的最小值为（ ） A ．0 B ．2
C ．53
D ．56
【答案】C 【解析】
解：设222x y m +=,则222y m x =-,22545x xy y --=,22455xy x y ∴=--,
2222216(55)x y x y ∴=--,222216(2)(57)x m x m x ∴-=--+,42281(3070)(5)0x m x m ∴-+++=,
设2x t =,2281(3070)(5)0t m t m ∴-+++=,∴22(3070)481(5)0m m ∆=+-⨯+,即257696032000m m +-≥,解得5
3
m 或103
m ≤-
（舍去）,222x y ∴+的最小值是5
3,故选B ．
12．（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知实数a 、b ,满足526log 6log 25a =+,345a a b +=,则关于a 、b 下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜2 B ．b ＜a ＜2 C ．2＜a ＜b D ．2＜b ＜a
【答案】D
【解析】22
5265365565651log 6log 25log 6log 25log 6log 5log 6log 5log 6log 6
a =+>+=+=+=
+
2>.构造函数：()341,R 55x x
f x x ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,易知函数()f x 是R 上的减函数,且()20f =,由2a >,可知：()341034555a a
a a a f a ⎛⎫⎛⎫
=+-<⇒+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又345a a b +=,∴55b a <,则a >b .
又∵2253434252b a a b =+>+=⇒>,∴a >b >2.故选D. 二、多选题
13．下列推导过程,正确的为（ ）
A ．因为a 、b 为正实数,
所以2b a a b +≥=
B ．因为x ∈R ,所以
21
11
x >+ C ．0a <,
所以44a a +≥=
D ．因为x 、y R ∈,0xy <,
所以
2x y
x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【答案】AD
【解析】对于A 选项,0a >，0b >，则0,0,b a a b ∴>>2b a a b ∴+≥,当且仅当a b =时等号成立,A 选项正
确；对于B 选项,
x R ∈,211x +≥,2
1
011
x ∴<
≤+,B 选项错误；对于C 选项,当0a <时,
()444a a a a ⎡⎤⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2a =-时等号成立,C 选项错误；
对于D 选项,因为x 、y R ∈,0xy <、则
0x y <,0y x <.2x y x y y x y x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎣⎦,当且仅当x y =-时等号成立,D 选项正确．故选AD
14．（2021届河北正定中学高三上学期月考）已知01c b a <<<<,下列不等式成立的是（ ） A ．b c a a > B ．c c a
b b a
+>+
C ．log log b c a a <
D ．
b c
b a
c a
>++ 【答案】ACD
【解析】由1a >,则函数x y a =为R 上的增函数,由01c b a <<<<,可得b c a a >,故A 正确；
由1a >,01c b <<<,()()()()()0c b a b c a a c b c c a b b a b b a b b a +-+-+-
==<+++,则c c a
b b a
+<+,故B 错误； 由01c b a <<<<,则1
log log b a a b =,1log log c a a c =,则log log 0a a
c b <<,110log log a a b c
∴<<,即log log b c a a <,故C 正确；
()()()()()()()
0b c a c b a a b c b c b a c a b a c a b a c a +-+--==>++++++,则b c
b a
c a >++,故D 正确. 故选ACD.
15．已知log 2021log 20210b a >>,则下列结论正确的是（ ） A ．0.20.2a b < B ．
2211
a b
> C ．ln ln b b a a ->- D ．若0m >,则
a a m
b b m
+<+ 【答案】AC
【解析】因为log 2021log 20210b a >>,即
ln 2021ln 2021
0ln ln b a
>>, 因为ln 20210>,故ln ln 0a b >>,故1a b >>. 对于A 选项,0.20.2a b <,A 对；
对于B 选项,22
2222110b a a b a b
--=<,则2211a b <,B 错；
对于C 选项,构造函数()ln f x x x =-,其中1x >, 则()1110x
f x x x
-'=
-=<,所以,函数()f x 在()1,+∞上为减函数, 因为1a b >>,故()()f a f b <,即ln ln b b a a ->-,C 对；
对于D 选项,因为0m >,则()()()()()0a b m b a m m a b a a m b b m b b m b b m +-+-+-
==>+++, 所以,
a a m
b b m
+>+,D 错.故选AC. 16．（2021届重庆市垫江高三下学期4月月考）已知0a b <<,则下列不等式正确的是（ ）、 A ．2a ab > B ．ln(1)ln(1)a b ->- C ．cos cos a b b a +>+ D ．
2
a b ≥+ 【答案】ABD
【解析】因为0a b <<,所以2a ab >,所以A 选项正确；
0,111,ln(1)ln(1)a b a b a b ->->->->->-,所以B 选项正确；
构造函数()()cos ,1sin 0f x x x f x x =+'=-≥恒成立,仅当2,2
x k k Z π
π=-
+∈时取得等号,所以
()cos f x x x =-是定义在R 上的增函数,
()()f a f b <,cos cos a a b b -<-,所以cos cos a b b a +<+,所以C 选项不正确；
2
a b
-->,所以2a b --所以2a b ≥+所以D 选项正确. 故选ABD
17．（2021届山东省泰安市高三考前冲刺）已知0,0a b >>,且22a b +=,则下列说法正确的是（ ） A ．52515a b + B ．241
62a b
+
C ．285
b D ．()2
ln ln 20b a a b +
【答案】BCD
【解析】因为0,0a b >>,且22a b +=,对于A,25255510a b a b +=+≥==,当且仅当255a b =,即1a =,1
2
b =时取等号,故A 错误；
对于B ：因为22a b +=,所以22a b =-()01b <<,所以222414112222122a b b b b b +=
+=--+,令()21
221b f b b
-=+,则()()
()()
2
3
2
233212
111b b f b b b b b '-=
-=---,因为01b <<,所以()2310b b ->,令()()2321g b b b --=,则()26220b g b b -+=>'所以()g b 在()0,1上单调递增,又102
g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,所以当10,2b ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时()0g b <,即()0f b '<,
f b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减,当1,12b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g b >,即()0f b '>,f b 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增,
所以()min 162f b f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
,故24162a b +,即B 正确；
对于C
：
b b b ++
令()h b b =,则
(
)411b h b ⎫-⎪
'==当45b >时()0h b '>,当4
05b <<时(
)1h b '=所以()h b '在40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又305h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
,所以35=b 时()h b 取得最小值,3855h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2
85b ,故C 正确；
对于D ：()()()()2
ln ln 22ln ln 22ln ln 2b a a b b a a b a a a a +=+=-+-
令()()()2ln ln 2f x x x x x =-+-,02x <<,()10f = ()()()22ln 1ln 2ln 2ln 22x x x f x x x x x x x x x
-'=-+
-+--=--+--- 当12x <<时,()ln 20x -<,ln 0x -<,
21x x -<,12x
x
>-,所以()0f x '<,即()f x 在()1,2上单调递减,同理可得()f x 在()0,1上单调递增,所以1x =时()f x 有最大值()10f =,所以()0f x ≤在()0,2上恒成立,所以()0f a ≤,故D 正确；故选BCD
18．已知2,0,1a b a b >+=,则下列选项一定正确的是（ ） A ．1
33
a b -
≤
B ．
1
2 C
b <D ．11165
a b +≥
【答案】BD
【解析】因为2,0,1a b a b >+=,所以210a b =->,所以01,01a b <<<<. 对于A ：由01,01a b <<<<可得11a b -<-<,所以11
3
33
a b
-->=,故A 错误；
对于B ：
21
22
b a +=,
当且仅当b =即12a =时等号成立,
所以12,故B 正确；
对于C
,
b ≤
b =即12a =时等号成立,故C 错误； 对于D ：因为2112
a b a b +≥+,所以411a b a b
+≥+,所以2
221111
4411
11111a b b b b b
b b
+=+≥=
--++-,
当且仅当
2
111b b =-,
即b =, 因为01b <<,所以2
21551()244b b b -+=--+≤,当12b =时取最大值,
此时211416
15
a b b b +≥
≥-+, 此时两次取等号条件不一致,故165
11a b >+,故D 正确.故选BD. 三、填空题
19．（2021届天津市宝坻区高三下学期二模）已知0x >,0y >,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为______． 【答案】18
【解析】已知0x >,0y >,且280x y xy +-=．
28x y xy +=,即：28
1y x
+=．
则282828()()101018x y x y
x y x y y
x
y x
y x
+=++=
++⋅=, 当且仅当28x y y x
=,212x y ==时取等号, 所以x y +的最小值为18．
20．（2022届浙江省温州市高三上学期测试）若正实数x 、
y 满足2610x y x y
+++=,则52
y x -的最大值是
______.
【答案】4
【解析】由题意可得26
100x y x y
+
++-=, 所以,254110104x y x y x y -=+++-≥=-,所以,524y x -≤,
当且仅当2
1x y =⎧⎨=⎩时,等号成立,此时有524y x -=.
因此,
52
y x
-的最大值是4.
21．已知0x >,0y >,若2
1122x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛
⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭,则()2x y +的最大值是________．
【答案】8+【解析】令xy t =,则2()04
x y t
+<,令21()
()x y f t t t ++=+, 因为22
21121()2222x y x y x y x y xy x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎛
⎫+⋅++⇔+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 等价于2()()()4
x y f t f +≥,
所以题意可转化为函数21()()x y f t t t ++=+在2
()0,4x y ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
有最小值2()4x y f ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,
因为对勾函数2
1()()x y f t t t ++=+在上递减,在)+∞上递增,
所以
2
()1(4
x y x +++即42()16()160x y x y +-+-≤,
所以2()8x y +≤+
故2()x y +的最大值是8+
22．已知函数321
()23
f x ax x cx =-+在R 数上单调递增,且4ac ≤,则|sin |sin ac x x +的最小值为__________,
2244
a c
c a +++的最小值为__________. 【答案】5.
12
.
【解析】因为32
1()23
f x ax x cx =-+在R 上单调递增,则()240f x ax x c '=-+≥,
所以0,=1640a ac >∆-≤,所以4ac ≥,又因为4ac ≤,所以4ac =,则0c >, 又因为4
sin sin sin sin x ac x x x
+
=+,(]sin 0,1x ∈, 令函数()4
h x x x =+,()2410h x x
'=-<在(]0,1恒成立, ()4
h x x x
=+
在(]0,1上单调递减, 所以()()min 15h x h ==,所以s in in s ac
x
x +
的最小值为5,取等号时sin 1x =±,
所以()
2
242222324416816164444444444c c a c c c c c c c a c c c c c c c c ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭+=+===+++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭14844c c c c ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,
又因为44c c +
≥,取等号时2c =, 且函数()8g t t t =-,()28
10g t t
=+>',
()8
g t t t
=-在[)4,+∞上递增,所以()()min 42g t g ==,
所以
2244a c c a +++的最小值为11
2=42
⨯,取等号时2a c ==； 故答案为： 5；1
2.。