人教版九年级下册数学第27章 相似 单元综合测试卷(Word版,含答案)

人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（）
A．11B．﹣C．D．﹣11
2．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．
3．下列图形一定是相似图形的是（）
A．任意两个菱形B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形D．两个矩形
4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、
E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）
A．B．C．D．
5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（）
A．1B．2C．D．3
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，则AB的长为（）
A．10B．11C．12D．13
8．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）
A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知：＝，则＝．
10．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．
11．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为．
12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．
13．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．
15．△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，点E在AB边上，∠BEC＝2∠ABC，若AB＝9，DE＝1，则AD的长为．
16．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．
19．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；
（2）AD的长．
20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．
21．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，
∴x＝3y，
∴＝＝．
故选：C．
2．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：B．
3．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题
意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
4．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
5．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：，选项A符合题意；
B、三边之比：：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；
D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．
故选：A．
6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝3，
∴DH＝EF＝×3＝，
故选：C．
7．解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，
∴AD＝9，
∴AB＝AD+BD＝13．
故选：D．
8．解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵＝，
∴＝，
设a＝2k，b＝3k，
∴
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
10．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．
100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，故答案为：5．
11．解：如图1，点C在线段AB上，
过E作EF∥AB交OC于F，
∵点E为OA边的中点，EF∥AB，
∴OF＝CF，
∴EF＝AC，
∵BC＝3AC，
∴BC＝6EF，
∵EF∥AB，
∴，
∴CG＝6FG，
∴FC＝OF＝7FG，
∴OG＝OF+FG＝8FG，
∴＝＝；
如图2，点C在线段BA的延长线上，
过E作ED∥BC交OC于D，
∵点E为OA边的中点，ED∥BC，
∴OD＝CD，
∴DE＝AC，即AC＝2DE，
∵BC＝3AC，
∴BC＝6DE，
∵ED∥BC，
∴，
∴CG＝6DG，
∴CD＝OD＝5DG，
∴OG＝OD﹣DG＝4DG，
∴＝＝；
故答案为：或．
12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x＝，
BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
13．解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC，
∴，即，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵BF⊥AC，且∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝AB，
∴BC＝2EF＝4．
故答案为：4．
14．解：
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，
∴AC＝2BC＝8cm，
∵D为BC中点，
∴CD＝2cm，
∵0≤t≤12，
∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t≤12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，
当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AC中点，
此时AE＝4cm，可得t＝4；
当∠DEC＝90°时，
∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CED∽△BCA，
∴，即，解得t＝7；
②当8＜t≤12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；
当t＝12时，此时E点在AC的中点，DE∥AB，此时△CDE是直角三角形．综上可知t的值为4或7或9或12，
故答案为：4或7或9或12
15．解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则CE＝CF，
∴∠CFE＝∠BEC＝2∠ABC，
∵∠CFE＝∠ABC+∠BCF，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴BF＝CF，
∵CD⊥AB，
∴DF＝DE＝1，设BF＝CF＝x，
∵AB＝9，
∴AD＝8﹣x，
∵∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD2＝AD•BD＝x（8﹣x），
又∵CD2＝CF2﹣DF2＝x2﹣12，
∴x（8﹣x）＝x2﹣12，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，
∴BF＝，
∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝9﹣﹣1＝．
故答案为：．
16．解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，
∴A（6，6），B（8，2），
∵E是AB中点，
∴E（7，4），
故答案为：（7，4）．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
（2）∵＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，
∵＝，
∴÷＝÷，
∴＝．
18．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴＝，
∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，
∴＝，
∴DC＝（cm），
故AD＝3+＝（cm）．
20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
21．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
22．解：设运动了ts，
根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．。