高中数学(新人教A版)必修第一册： 诱导公式 诱导公式五、六【精品课件】

(2)因为α的终边与单位圆交于点 A，A 点的纵坐标为4，所以 sin α＝4.
5
5
因为 0＜α＜π2，所以 cos α＝35，
故ssiinnαπ2＋－πα＋ ＋ccoossπ2π＋－ββ＝－cosisnαα－－sicnosββ＝－3545－＋1511323＝47.
[方法技巧] 诱导公式综合应用要“三看”
∴cossinπ＋αcαoscβo＋s－3sβin－π2＋3sαinsαinsiβn β
＝－sicnosαcαocsosβ＋β－3c3ossinααsisninββ＝－t1a－n α3＋tan3tαatnanβ β
＝－1－－3×2 2－＋23
2 2×
＝ 2
2 11 .
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．小明在解“已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，求ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα的
所以
tan(π－α)＝－tan
α＝－csoins
α＝ α
3.
答案：A
2．若 cosα＋π6＝45，则 sinα－π3＝
()
4 A.5
B．35
C．－35
D．－45
解析：∵cosα＋π6＝45，∴sinα－π3＝sinα＋π6－π2＝－cosα＋π6＝
－45. 答案：D
3．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是
B．cos 5° D．2sin 5°
()
4．计算：sin211°＋sin279°＝________. 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1
题型一 利用诱导公式化简求值 [学透用活]
1．对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可 借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可 以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
诱导公式 诱导公式五、六
第二课时 诱导公式五、六 1．借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式
五、六． 2．掌握六组诱导公式并能灵活运用，并能进行简单的三角函数
式的化简、求值与证明． 3．借助公式进行运算，培养学生数学运算的核心素养．通过公
式的变形进行化简和证明，提升学生逻辑推理的核心素养．
()
1－m2 A. m
B． 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
解 析 ： sin 239° tan 149°＝ sin(270°－ 31°)tan(180°－ 31°) ＝－ cos
31°(－tan 31°)＝sin 31°＝ 1－m2. 答案：B
题型二 利用诱导公式证明恒等式
[ 典例 2] 已知 tan(3π＋α)＝2，
称的，因而π－
π－α 2
＝π＋α与π－α的终边关于
2
2
y
轴对称，如图所示．
[ 思考]
在△ABC
中，角A与角B＋C的三角函数值满足哪些等量关
2
2
系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C，
∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C，
cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
(2)已知 f(sin x)＝cos 17x，求 f(cos x)； (3)请同学们试探究以下式子成立的条件． ①对于怎样的整数 k，能由 f(sin x)＝cos kx 推出 f(cos x)＝sin kx 成立？ 说明理由． ②对于怎样的整数 k，能由 f(cos x)＝cos kx 推出 f(sin x)＝sin kx 成立？ 说明理由． ③对于怎样的整数 k，能由 f(sin x)＝sin kx 推出 f(cos x)＝cos kx 成立？ 说明理由．
C．cosπ2－θ
D．cos32π＋θ
解析：sin(π＋θ)＝－sin θ；sinπ2－θ＝cos θ；
cosπ2－θ＝sin θ；cos32π＋θ＝sin θ.
答案：CD
()
3．sin 95°＋cos 175°的值为 A．sin 5° C．0 解析：sin 95°＋cos 175° ＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5° ＝0. 答案：C
sin α
＝ sin
π2＋α
·(－sin
α)·cos
α
＝sin α ·(－sin α)·cos α＝－sin2α. cos α
[深化探究] 通过求下列式子的值，你能找到什么规律，还能列出多少个这种特
殊的角？
已知 cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，求 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值．
提示：由题意，知 cos 56π＋θ ＝cos π－ π6－θ ＝－cos π6－θ ＝－a，
[ 解析]
(1)选 A
D．－2 3 3
因为 cos(π＋A)＝－cos A＝13，
所以
sin
3π－A 2
＝－cos
A＝13.
[ 典例 1]
cos α－π2
(2)化简 sin
5π＋α 2
·sin(α－π)·cos(2π－α)．
cos
π－α 2
[解析](2)原式＝ 2π＋π＋α ·(－sin α)·cos(－α) sin 2
[ 变式训练]
1．已知角α是第四象限角，且满足
sin
3π＋α 2
－3cos(α－π)＝1，则
tan(π
－α)＝
()
A. 3 B．－ 3
C.
3 3
D．－
3 3
解析：由
sin
3π＋α 2
－3cos(α－π)＝1，得－cos
α＋3cos
α＝1，即
cos
α＝1. 2
因为角α是第四象限角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 3. 2
正解：∵tan α＝xy＝－34，
－sin α·[－sinπ＋α]
－sin α·sin α
∴原式＝ cos
6π－π2－α
sin
4π＋π2＋α
＝ cos
－π2－α
·sin
π2＋α
＝co－s sπ2i＋n αα·s·icnosαα＝－－ssiinn
α·sin α·cos
α ＝tan α
α＝－34.
二、应用性——强调学以致用 2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的
初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)， 圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1) 时，求 P 的坐标． [析题建模]
解：如图所示，由题意知弧 PB 的长度＝OB＝2.
因为圆的半径为 1，所以∠PAB＝2，∠DAP＝2－π. 2
所以在三角形 PAD 中，
DA＝APcos∠DAP＝cos 2－π2 ＝sin 2，
θ θ
＝
2 1－cos2θ
＝
2 sin2θ
Hale Waihona Puke ＝右边．所以原等式成立．
题型三 诱导公式的综合应用 [学透用活]
[典例 3] 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α，β0＜α＜π2＜β＜π 的顶点 与坐标原点 O 重合，始边为 x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于 A， B 两点，A，B 两点的纵坐标分别为45，153.
2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函 数之间的关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[ 典例 1]
(1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin
3π－A 2
的值为
()
A.13
B．－13
C.2 3 3
式整体代换．
与π有关的特殊角为 2
π3－α
与
π6＋α
，π4－α
与
π4＋α
，56π－α
与
π3－α
，
34π＋α 与 π4＋α 等．与π有关的特殊角为 34π＋α 与 α－π4 等．
[ 方法技巧] 1．求值问题中角的转化方法
[ 方法技巧] 2．用诱导公式进行化简的要求 三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单： (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
求证：sinα－3π＋cosπ－α＋sin π2－α －2cos －sin－α＋cosπ＋α
π2＋α
＝2.
[ 证明] 由 tan(3π＋α)＝2，得 tan α＝2，
则原式左边＝sinα－π－cos α＋cos α＋2sin α sin α－cos α
＝－sin α＋2sin sin α－cos α
[ 变式训练]
cosπ－θ
cos2π－θ
求证： cos
θ
sin
32π－θ
－1
＋ cosπ＋θsin
π＋θ 2
－sin
3π＋θ 2
＝sin22θ.
证明：左边＝cos
θ－－ccoossθθ－1＋－cos
cos θcos
θ θ＋cos
θ
＝
1 1＋cos
θ
＋
1 1－cos
θ
＝
1－cos 1＋cos
θ＋1＋cos θ1－cos
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分 析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、 分母同乘一个式子变形．
[ 变式训练]
已知角α的终边经过点 P(m,2 2)，sin α＝232且α为第二象限角． (1)求 m，cos α，tan α的值；
值”的过程如下：
解：∵tan α＝xy＝－34， ∴原式＝cos－5πs＋inπ2α－·[－αssiinn4ππ＋＋απ2]＋α ＝cos－π2－sinαα·s·isninπ2α＋α＝－sisninα·αc·ossinαα ＝－tan α＝34.
你认为小明的解题过程正确吗？若不正确，请分析错在哪里，并给出 正确的解题过程． 提示：不正确．在化简 cos112π－α时出错，容易化简成 cos112π－α＝ cos5π＋π2－α＝cosπ2－α＝sin α 从而得出错解．
α＝ sin
sin α α－cos
α
＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，所以原等式成立．
[方法技巧] 证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的 常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角． (2)sin(90°＋α)＝－cos α. (3)cos(270＋30°)＝sin 30°. 答案：(1) × (2) × (3)√
() () ()
2．(多选)下列与 sin θ 的值相等的是
A．sin(π＋θ)
B．sinπ2－θ
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六
2．诱导公式五、六的作用 利用诱导公式五或六，可以实现_正__弦__函__数_与_余__弦__函__数__的相互转化．
3．诱导公式中角的关系
(1)对任意角α，α的终边与π－α的终边关于直线 y＝x 对称． 2
(2)在推导公式四的时候，我们知道角α与π－α的终边是关于 y 轴对
解：(1)∵f(sin x)＝cos x，∴f(cos x)＝f sin π2－x ＝cos π2－x ＝sin x.
(2)若 tan β＝
2，求cossinπ＋αcαoscβo＋s－3sβin－π2＋3sαinsαinsiβn
的值． β
解：(1)由题意，m＜0，则由 sin α＝
2 m
2＋2 8＝2
3
2，解得
m＝－1.
∴cos α＝
－1 －12＋2
＝－1，tan α＝－2 22 3
2.
(2)由(1)知，tan α＝－2 2，又 tan β＝ 2，
(1)求 tan β 的值； (2)求ssiinnαπ2＋－πα＋ ＋ccoossπ2π＋－ββ的值．
[ 解]
(1)因为β的终边与单位圆交于点
B，B
点的纵坐标为 5 ，所以 13
sin β＝ 5 . 13
因为π2＜β＜π，所以 cos β＝－1123.所以 tan β＝csoins ββ＝－152.
DP＝APsin∠DAP＝sin
2－π 2
＝－cos
2，
所以 OC＝OB－CB＝OB－DA＝2－sin 2，
PC＝PD＋DC＝1－cos 2，所以点 P 的坐标为(2－sin 2, 1－cos 2)．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．(1)已知 f(sin x)＝cos x，求 f(cos x)；
sin
2π－θ 3
＝sin
π＋ 2
π－θ 6
＝cos
π－θ 6
＝a.
∴cos 56π＋θ ＋sin 23π－θ ＝0.
此题易知
5π＋θ 6
＋
π－θ 6
＝π，
2π－θ 3
－
π－θ 6
＝π2.
在条件求值问题中，当已知中的角与结论中的角不同时，要注意这
两个角的和或差与π，π，3π，2π之间的关系，若存在关系，可利用诱导公 22