2024年文山州新高考统测数学试卷

数学试卷·第1页（共4页）
2024届高考适应性新结构试卷
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1.已知平面向量(1,1)=a ，(1,2)=−b ，(3,4)=c ，则()⋅+=a b c
A .5
B .6
C .7
D .8 2.样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为
A .7
B .7.5
C .8
D .8.5 3．函数ln(e e )x x y −=+的图象大致是
A
B
C D 4.某汽车公司对研发生产的一款新能源汽车的用户进行随机调查，根据大量的调查数据，认为这款汽车单次最大续航里程X （单位：千米）近似服从正态分布(300,2500)N ，现任取一辆这款汽车，它的单次最大续航里程在[250,400]的概率为
（参考数据：若X ～2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ−≤≤+≈， (22)0.9545P X μσμσ−≤≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ−≤≤+≈）
A .0.84
B .0.8186
C .0.84135
D .0.9757
5.已知1sin 23
β= ，2
sin()sin()3αβαβ++−=，则sin α=
A .37
B .38
C .37−
D .3
8
− 6.已知抛物线2
:4D y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在D 上，过点P 作准线l 的垂线，垂
足为A ，若PA AF =，则PF = A ．2
B ．
C ．
D ．4
x
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7.已知函数π
()sin()3
f x x ω=+(0ω>)在π[0,]2上恰有三个零点，则下列结论正确的是
A .方程1
()2f x =在π(0,)2上有且仅有四个解 B .()f x 在π(0,)2
上有且仅有四条对称轴
C .()f x 的最小正周期可能是π2
D .()f x 在π
(0,)44
上单调递增
8.已知函数()e ln(1)(1)1x
f x a x a x =++−+−，当[0,)x ∈+∞，有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为
A .(,1]−∞
B .(,e]−∞
C .[1,)+∞
D . [e,)+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。

9.设复数1i z =+的共轭复数为z ，则 A ．2z = B ．2z z ⋅=
C ．4()4z =
D ．
i z
z
= 10.“堑堵”、“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解，得到一模一样的两个堑堵（图1），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.
图1 图2 图3 图4
若长方体的体积为V ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为1V 、2V 、
3V ，则下列选项正确的是
A ．123V V V V ++=
B ．122V V =
C ．232V V =
D ．36
V
V =
11.已知定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，对0x ∀>，0y >都有()()xf x f x x '−=，()()()f xy yf x xf y xy =++，则下列结论正确的是
A ．(1)0f '=
B ．(1)1f =−
C ．(e)0f '=
D ．(e)0f =
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.椭圆22
1916
x y +
=的离心率等于 . 13.已知数列}{n a 满足，11a =，12
n n n
a a n +=
+，则1219a a a +++= . 14.若函数22()(2)()f x x x x ax b =−++的图象关于直线1x =−对称，则ab = ，()f x 的最小值为 .
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四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）
如图，,,A B C 是半径为6的球O 的小圆上三点，1AA ，1BB ，1CC 是球O 的三条直径． （1）证明：平面//ABC 平面111A B C ； （2）若CA CB ⊥，6CA =，8CB =， 求平面1ACC 与平面1BCC 夹角的余弦值.
16.（15分）
已知函数()ln x f x a x =−，0a >，1a ≠.
（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 存在唯一极小值点0x ，证明：011
ln x a a
<<.
17.（15分）
某个论坛希望通过程序自动检测虚假账号以控制“水军”发帖.把论坛账号分为1A ={真实账号}和2A ={虚假账号}两个类别.分类器只使用1B ={发文频率}和2B ={注册信息是否完备}这两个特征进行识别.其中1B 由发文篇数和注册天数的比值确定，为简化模型规定它的取值为{-1,0,1}，分别对应发文频率低、中、高. 2B 取值为{0,1}，分别对应注册信息不完备和完备.通过人工标注方式获取训练数据（指账号特征和类别已知的数据），使用训练数据的机器学习做出一个分类器，用它对特征已知但类别未知的账号进行识别并分类.现对训练数据中账号特征和类别进行统计分析后得到如下概率：
1()0.75P A =，2()0.25P A =；11(1|)0.1P B A =−=，11(0|)0.5P B A ==，
11(1|)0.4P B A ==，21(0|)0.2P B A ==，21(1|)0.8P B A ==，12(1|)0.8P B A =−=，
12(0|)0.15P B A ==，12(1|)0.05P B A ==，22(0|)0.85P B A ==，22(1|)0.15P B A ==. 假设同一账号的特征12{,}B i B j ==（简记为B ，其中1,0,10,1i j =−=；）是确定的，在类别确定的条件下，账号特征1B 和2B 作为随机变量是相互独立的.
（1）现有一个类别未知的账号X ，已知它的发文频率低，注册信息不完备，求()P B ； （2）一个合理的判断是：1(|)P A B 和2(|)P A B 哪个大，就判定该账号属于哪个类别，试判定（1）中X 的类别，并对判定方法作出评价.
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18.（17分）
已知双曲线C ：22
22 1 (0,0)x y a b a b
−=>>
经过点D ，
焦距为A 为C 的右顶
点．
（1）求C 的方程；
（2）经过点(3,0)M 的直线l 与C 的右支交于P ，Q 两点（不与A 重合），当l 绕M 点运动
时，试给出AP 和AQ 的斜率1k ，2k 的一个等量关系式，并证明你的结论.
19.（17分）
对于图形M ，N ，定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作(,)d M N . 已知平面直角坐标系xOy 中的曲线23{(,)|}M x y y x ax b ==++，
22{(,)|(2)1}N x y x y =−+=.
（1）设00(,)P x y M ∈0(0)y >，求曲线M 在点P 处的切线方程； （2）若1a =−，(,)1d M N ≥，求b 的取值范围.。