【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)下学期摸底检测题及答案解析

2017-2018学年高三（下）开学数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={y∈R|y=2x}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（）
A．A∩B={0，1} B．A∪B=（0，+∞）C．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）D．（∁R A）∩
B={﹣1，0}
2．命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）
A．∀x∈R，2x+x2＞1，假命题B．∀x∈R，2x+x2＞1，真命题
C．∃x∈R，2x+x2＞1，假命题D．∃x∈R，2x+x2＞1，真命题
3．已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）
A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）
5．设等差数列{a n}的前项和为S n，若，则S n+m=（）A．0 B．（m+n）2C．﹣（m+n）2D．（m﹣n）2
6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）
A．B．C．或D．或
7．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）
A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11
8．已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足||﹣||=4，
|﹣|=10，，且=+λ（），（λ＞0），则的
值为（）
A．2 B．4 C．3 D．5
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5= ；S11= ．
10．一个多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为；体积为．
11．函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m
＞0，n＞0）上，则+= ；m+n的最小值为．
12．在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）的最小正周期为，
在一个最小正周期长的区间上的图象与函数的图象所围成的封闭图形的面积
是．
13．已知点A（﹣1，0），点B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，则点M轨迹是．
14．已知函数，数列a n满足a n=f（n）（n∈N*），且a n是
递增数列，则实数a的取值范围是．
15．设实数x，y满足，则u=+的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2，求AB的长．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．
18．设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．
19．已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
20．对任意正整数n，设a n是方程x2+=1的正根．求证：
（1）a n+1＞a n；
（2）++…+＜1+++…+．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={y∈R|y=2x}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（）
A．A∩B={0，1} B．A∪B=（0，+∞）C．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）D．（∁R A）∩
B={﹣1，0}
【考点】交集及其运算；并集及其运算；补集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A，再求C R A，最后求出
A、B的交、并及补集等即可．
【解答】解：∵A={y∈R|y=2x}={y∈R|y＞0}，
∴C R A={y∈R|y≤0}，
又B={﹣1，0，1}，
∴（C R A）∩B={﹣1，0}．
故选D．
2．命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）
A．∀x∈R，2x+x2＞1，假命题B．∀x∈R，2x+x2＞1，真命题
C．∃x∈R，2x+x2＞1，假命题D．∃x∈R，2x+x2＞1，真命题
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果，判断真假即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是：∀x∈R，2x+x2＞1，当x=0时，不等式不成立，所以是假命题．
故选：A．
3．已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【分析】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．
【解答】解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，
比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；
若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，
由不等式的性质两边同乘以b可得ab＞b2，即甲成立，
故甲是乙的必要不充分条件，
故选B
4．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）
A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C． D．y=（2x+2﹣x）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．
y=﹣|x+1|不是奇函数，
对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函
数，在[﹣1，1]上单调减函数，
y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．
故选：C．
5．设等差数列{a n}的前项和为S n，若，则S n+m=（）A．0 B．（m+n）2C．﹣（m+n）2D．（m﹣n）2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列及条件可设设S n=An2+Bn，再由S m=n，S n=m列方程求得A，B，然后求得S n+m
【解答】解：设等差数列的前n项和为S n=An2+Bn，A、B为常数；
则，
两式相减得：（m2﹣n2）A+（m﹣n）B=n2﹣m2，
∵m≠n，∴（m+n）A+B=﹣（m+n），
∴S n+m=（n+m）2A+（n+m）B
=（n+m）•[﹣（n+m）]
=﹣（m+n）2．
故选：C．
6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）
A．B．C．或D．或
【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．
【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．
当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．
【解答】解：依题意可知m=±=±4
当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==
当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=
故选D
7．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）
A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11
【考点】球内接多面体．
【分析】小球在长方体容器内，且与共点的三个面相接触，则小球的球心A到三个接触面的距离相等，小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系后，球心和小球上的点的坐标
可知，向量和的坐标可求，由向量减法的三角形法则可得向量，向量的模就是小球的半径，由半径相等列式可求这只小球的半径．
【解答】解：如图，
设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A（r，r，r），
又因为小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，
所以点为P（5，4，5），
则=（r，r，r），=（5，4，5），
由=（5﹣r，4﹣r，5﹣r）．
∴||2=（5﹣r）2+（4﹣r）2+（5﹣r）2=r2，
即r2﹣14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故选D．
8．已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足||﹣||=4，
|﹣|=10，，且=+λ（），（λ＞0），则的
值为（）
A．2 B．4 C．3 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据表示||cos∠APC=|||cos∠
CPB，即∠APC=∠CPB，且=+λ（），（λ＞0），表示I在∠BAP的角平分线上，即I是三角形ABP的内心，余下的问题就比较简单．
【解答】解：由|﹣|=10，可得|AB|=10．
由，可得||cos∠APC=|||cos∠CPB，
即∠APC=∠CPB，即PC为∠APB的角平分线．
由于I为PC上一点，=+λ（），（λ＞0），表示点I在∠CAP的角平分线上，即I是三角形ABP的内心．
而要求的式子表示的是在上的投影长度．
过I做IK垂直于AB于K，则由圆的切线性质和题意可得|AK|﹣|BK|=4，
|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3即所求，
故选C．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5= ﹣4 ；S11= ﹣
66 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的前n项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5，S11．
【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，
∴，
解得a1=4，d=﹣2，
∴a5=a1+4d=4﹣8=﹣4，
S11==11×4+×（﹣2）=﹣66．
故答案为：﹣4，﹣66．
10．一个多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为88cm2；体积为48cm3．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个等腰三角形，其高为4，底边长为6．据此即可计算出表面积和体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，高为4，
底面是一个等腰三角形，其高为4，底边长为6．
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB==5．
∴该几何体的表面积S=4×5×2+4×6+2×=88cm2；
V==48cm3．
故答案为：88cm2，48cm3．
11．函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m
＞0，n＞0）上，则+= 4 ；m+n的最小值为 1 ．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用对数的性质可得：函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，
1），代入直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，可得+=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，
∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，
∴+=4．
∴m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），
≥（2+2）=1，当且仅当m=n=时取等号．
故答案是：4；1．
12．在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）的最小正周期为，
在一个最小正周期长的区间上的图象与函数的图象所围成的封闭图形的面积
是．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；定积分的简单应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期
（2）由三角函数的图象的对称性，把要求的面积转化为长度为，宽度为矩形
的面积的一半来解决；或者利用定积分的意义转化为定积分
来求解．
【解答】解：（1）由f（x）=asinax+cosax（a＞0）
⇔f（x）=，其中
∴f（x）的最小正周期
（2）取长度为，宽度为矩形，根据三角函数的图象的对称性，所围成的封闭
图形的面积为矩形的一半，
∴=；
所以：；
故答案为：．
13．已知点A（﹣1，0），点B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，则点M轨迹是直线x=﹣2（除去点（﹣2，0））．
【考点】轨迹方程．
【分析】设M（x，y），先表示直线AM、BM的斜率，再利用斜率之商是3可得所求方程，即可得出结论．
【解答】解：设M（x，y），
因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，
所以k AM÷k BM=3，
所以=3，（x≠±1，y≠0），
整理得x=﹣2（y≠0），
所以点M轨迹是直线x=﹣2（除去点（﹣2，0））．
故答案为：直线x=﹣2（除去点（﹣2，0））．
14．已知函数，数列a n满足a n=f（n）（n∈N*），且a n是
递增数列，则实数a的取值范围是（2，3）．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由函数，数列a n满足a n=f（n）（n∈N*），且a n
是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，
我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3﹣a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，
又∵
a n=f（n）（n∈N*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3﹣a）﹣3＜a2
解得a＜﹣9，或a＞2
故实数a的取值范围是（2，3）
故答案为：（2，3）
15．设实数x，y满足，则u=+的取值范围是[，] ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，显然当x，y都取得最大值时u取得最小值，当u取得最大值时，点（x，y）必在可行域的边界上，此时根据基本不等式求出u的最大值．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：
由可行域可知当x=4，y=2时，u=取得最小值．
当点（x，y）落在直线x+2y﹣5=0上某处时，u=取得最小值．
此时，x+2y=5，2xy≤（）2=．
∴u=≥．
当且仅当x=2y，即x=，y=时取等号．显然点（）在可行域内．
故答案为：[，]．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2，求AB的长．
【考点】解三角形．
【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．
【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，
所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…
因为∠D∈（0，π），
所以sinD=．…
因为AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S===．…
（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．
所以AC=2．…
因为BC=2，，…
所以=．
所以AB=4．…
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB ⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；
（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
【解答】证明：如图，
（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，
∴ABFD为矩形，AB⊥BF．
∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF．
（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．
以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）
平面BCD的法向量，
设平面EBD的法向量为，
由⇒，即，取y=1，得x=2，z=
则．
所以．
因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，
所以cosθ∈，即．
由得：
由得：或．
所以a的取值范围是．
18．设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理；分段函数的应用．
【分析】（I）先讨论去绝对值，写成分段函数，然后分别当x≥2时与当x＜2时的单调区间；（II）讨论a的正负，利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较，进行分别判定函数y=f（x）的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，①当x≥2时，
f（x）=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（﹣∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；
（2）当a＞0时，，
故当x≥a时，，二次函数对称轴，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，，二次函数对称轴，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；
∴f（x）的极大值为，
1°当，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x2﹣ax﹣a=0解之得函数y=f（x）的零点为或
（舍去）；
2°当，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为
x1=2和；
3°当，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由﹣x2+ax﹣a=0解得，，
∴函数y=f（x）的零点为和．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为；
当a=4时，有两个零点2和；
当a＞4时，函数有三个零点和．
19．已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求得另一条切线方程，与圆方程联立，从而可得直线AB的方程，由此可求椭圆T的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出|PQ|，求出原点到直线l的距离，表示出三角形的面积，进而利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y﹣4=k（x﹣2）．．
则：，解得：，此时切线方程为：
切线方程与圆方程联立，可得x2+（）2=4，从而可得，
则直线AB的方程为x+2y=2…．
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为…．
（2）联立整理得，
令P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
，即：2k2﹣1＞0…．．
又原点到直线l的距离为，，…．．
∴
=
当且仅当时取等号，则△OPQ面积的最大值为1．…．．
20．对任意正整数n，设a n是方程x2+=1的正根．求证：
（1）a n+1＞a n；
（2）++…+＜1+++…+．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）解方程可得a n=，再由分子有理化，结合，在n∈N*上递减，即可得证；
（2）求出=，分析法可得＜，累加并运用不等式的性质即可得证．
【解答】解：（1）a n是方程x2+=1的正根，
解得a n=，
由分子有理化，可得a n=
=，
由，在n∈N*上递减，
可得a n为递增数列，
即为a n+1＞a n；
（2）证明：由a n=，可得
=，
由＜⇔2n﹣1＜
⇔1+4n2﹣4n＜1+4n2⇔﹣4n＜0，显然成立，
即有++…+＜1+++…+
＜1+++…+．
2016年10月18日。