(必考题)高中数学必修一第二单元《函数》检测(含答案解析)(5)

一、选择题
1．若关于x 的不等式342
x
x a
+-在[0x ∈，1
]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(-∞，1
]2
-
B ．(0，1]
C ．1
[2
-，1]
D ．[1，)+∞
2．已知函数()2
1
f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．04m ≤≤
B ．04m <≤
C ．04m ≤<
D ．04m <<
3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设
()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q
中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-
B ．16
C ．8a
D ．816a -
4．已知函数()3
1,03,0
x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()2
32f x f x ->的解集为（ ）
A ．()(),31,-∞-⋃+∞
B ．()
3,1-
C ．()
(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-
5．函数sin y x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]
4,-+∞
B ．9,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．9,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,4
7．已知函数22
4
()3f x x x =-+
，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-
，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．
A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．以上都不对
8．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:
①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确
B ．①错误②错误
C ．①正确②错误
D ．①错误②正确
9．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式
()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()()
,20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
10．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3
4
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 11．若函数()()12311a
x f x x a x x ⎧>⎪
=⎨⎪-+≤⎩
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12．已知函数()11
3sin 22
f x x x ⎛⎫=+-
+ ⎪⎝
⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036
D ．4038
二、填空题
13．已知函数()3
1f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．
14．
关于函数()f x =_________.
①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.
15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()
g x =
的定义域是______．
16．已知函数()()1f x a =-[]
0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.
17．设函数2222,0
(),0
x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a =___________.
18．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有
1()2f f x x ⎡
⎤-=⎢⎥⎣
⎦，则
12020f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是______________. 19．若233()1
x x f x x -+=-，()2
g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.
20．已知函数()4
f x x a a x
=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取
值范围是______．
三、解答题
21．已知函数()221
x m
f x x +=
+，x ∈R 是奇函数. （1）求实数m 的值；
（2）讨论函数()f x 在[]2,3上的单调性，并求函数()f x 在[]2,3上的最大值和最小值. 22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()2
22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值． 24．已知函数()x a
f x x
+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；
（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 25．已知函数()b
f x ax x
=+
的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]
2,5的最大值和最小值. 26．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．
（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【详解】
解：由题意知，342x
x a +-
在(0x ∈，1
]2上恒成立，设3()42
x f x x =+-，
则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222
f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：
本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.
2．C
解析：C 【分析】
由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】
由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有2
40m m m >⎧⎨
∆=-<⎩
，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<.
故选：C. 【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()2
0f x ax bx c a =++≠
①()0f x >在R 上恒成立，则0
0a >⎧⎨∆<⎩；
②()0f x <在R 上恒成立，则0
0a <⎧⎨∆<⎩
；
③()0f x ≥在R 上恒成立，则0
0a >⎧⎨
∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0
0a <⎧⎨∆≤⎩.
3．A
解析：A 【分析】
根据()()2
2
()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由
()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到
max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.
【详解】
因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()2
2
()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：
当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，
所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+，
因为min ()44f x a =--，
所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】
方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
4．B
解析：B 【分析】
先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =
在R 上单调递增，所以31
3
y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为x y e =在R 上单调递增，所以x y e =在[)0,+∞上单调递增，且
031
1003
e =>=⋅，
所以()f x 在R 上单调递增，
又因为()
()2
32f x f x ->，所以232x x ->，解得()3,1x ∈
-，
故选：B. 【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.
5．A
解析：A 【分析】
先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】
设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．B
解析：B 【分析】
结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】
因为函数()()()
2
1f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1
x =对称，
所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以
()()()22223f x x x x x =---，令()2
22111t x x x =-=--≥-，则
()()2
2
3933124
y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
. 故选：B 【点睛】
关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：
（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.
7．C
解析：C 【分析】
根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】
解：∵[1x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴22
4
()3[1,2]f x x x =-∈+
． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．
当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得1
02k >>-．
∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
8．D
解析：D 【分析】
可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】
①错误，可举反例：21()31x
x f x x x ⎧=⎨
-+>⎩
，
230
()30121x x g x x x x x +⎧⎪
=-+<⎨⎪>⎩
，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；
但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②
()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数； ()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；
()f x ∴为奇函数；
同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．
9．A
解析：A
【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
10．C
解析：C 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a
--=，
x 2=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
11．C
解析：C 【分析】
由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】
因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a
>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩
，故23
34a <≤，
故选：C 【点睛】
本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】
()11
113sin 22
f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，
令122018201920192019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.
二、填空题
13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-
【分析】
根据题意，令()()3
1g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3
g x ax bx g x -=-+=-，得到
()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.
【详解】
设()()3
1g x f x ax bx =-=-，
则()()3
g x ax bx g x -=-+=-，
即()g x 为奇函数，
故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下： （1）构造奇函数()()3
1g x f x ax bx =-=-；
（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.
14．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单
解析：①②④ 【分析】
求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】
函数()f x =满足2
1011
x x ⎧-⎪⎨
+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为
[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．
当[1x ∈-，0)时(][)(]2
211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，
当(0x ∈，1]时，(][)2
20,,111x x ∈∈⇒
+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．
③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．
④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()f x ==()()f x f x -=-，
()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
15．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义
解析：31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()
g x =. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()
g x =满足021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得3
12x <≤，
即函数()
g x =
的定义域是31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
求抽象函数定义域的方法：
已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式
()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；
已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数
()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.
16．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析：012a a <<≤或
【分析】
根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围． 【详解】
∵f （x ）定义在[0，2]上；
∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；
①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；
∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；
③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0； ∵
[0，2]上是减函数；
∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；
④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；
⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；
[0，2]上是增函数；
∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或． 故答案为012a a <<≤或． 【点睛】
考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．
17．【分析】先令则求解的值然后再分类讨论求解的值【详解】令则当时有无解当时有解得或所以或当时故无解；当时若则得若则即无解综上所述：故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用考查根据函数值求参难度一般解答时
【分析】
先令()f a t =，则()2f t =，求解t 的值，然后再分类讨论，求解a 的值. 【详解】
令()f a t =，则()2f t =，当0t >时，有22t -=，无解， 当0t ≤时，有2222t t ++=，解得0t =，或2t =-， 所以()0f a =或()2f a =-，
当()0f a =时，()2
2
22110a a a ++=++>，20a -<，故 ()0f a =无解；
当()2f a =-时，若0a >，则22a -=-，得a =
若0a ≤，则2222a a ++=-，即2240a a ++=，无解，
综上所述：a =
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.
18．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c
解析：2021 【分析】
由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】
已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣
1
x
]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1
c
＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1
x
+1， 则f （
1
2020
）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．
19．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的 解析：(]
[),31,-∞-+∞
【分析】
将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域． 【详解】
要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入
233
()1
x x f x x -+=
-得： ()()
()()2
223231
11
x x x x y f g x x x +-++++==
=
++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)11
1t t t t y t t t t
-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，
故函数()()f g x 的值域为(][),31,-∞-+∞.
故答案为：(][),31,-∞-+∞.
【点睛】
求解复合函数()()
f g x 的值域的一般方法如下：
（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()
f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；
（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．
20．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞
【分析】
对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】
当1a ≤时，()44
f x x a a x x x
=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；
当14a <<时，()42,14,4a x x a x
f x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩
，则()1325f a =+>，不符合题意；
当4a ≥时，()4
2f x a x x
=-+
，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.
【点睛】
本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.
三、解答题
21．（1）0m =；（2）函数()221x f x x =+在[]2,3上单调递减；最大值45，最小值3
5
. 【分析】
（1）根据奇函数性质()00f =求解计算即可；
（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值. 【详解】 （1）∵()2
2,1
x m
f x x R x +=
∈+是奇函数，所以()00f m ==， 检验知，0m =时，()221
x
f x x =
+，x ∈R 是奇函数，所以0m =； （2）[]12,2,3x x ∀∈，且12x x <，有
()()()()()()()()()()
2
21221121212
12222222
12121221212122111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1223x x ≤<≤，∴12120,1x x x x -<>，即1210x x -<，
又()()
22
12110x x ++>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，
所以函数()221
x
f x x =
+在[]2,3上单调递减， 所以当2x =时，()f x 取得最大值45；当3x =时，()f x 取得最小值35
. 【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题. 22．（1）()2
243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．
【分析】
（1）设函数()2
f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；
（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】
（1）设函数()2
f x ax bx c =++（0a ≠）
∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴()2
243f x x x =-+．
（2）由（1）()()2
243g x x m x =-++，其对称轴为4144
m m
x +=
=+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，
∴134m +
≥，或114m
+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】
方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(]
[),55,-∞-+∞；（3）
()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【分析】
（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出
()g a 的最大值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()2
2
2211f x x x x =-+=-+.
所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，
()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；
（2）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.
①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(]
[),55,-∞-+∞；
（3）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数，
则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，
函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(]
,5a -上为增函数， 则()()2
2g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；
③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，
则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.
综上所述，()2
2710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
24．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【分析】
（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ． （2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可． 【详解】
（1）因为()00x a
f x x
+<⇔<的解集为()4,0-， 故()0x a
f x x
+=
=一个根为-4， 404
a
-+=- 得4a =
（2）()()44
1x g x x f x x x x x
+=+=+=++ 因为0x >
，所以4115x x ++≥=， 当且仅当4
x x
=
，即2x =时取等号； 所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 25．（1）()()2
0f x x x x
=-+
≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235
f x =-
. 【分析】
（1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；
（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可； （3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案； 【详解】
（1）由()f x 的图象过A 、B ，
则1
212a b b
a +=⎧⎪
⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()2
0f x x x x
=-+
≠. （2）证明：
设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，
∴()()()12122112122222
f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()()212112211212
2=2x x x x x x x x x x x x --+-+
=
由1x ，()20,x ∈+∞，得12
0x x >，1220x x +>. 由12
x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >. ∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.
（3）由（2）知函数为减函数，
∴()()max 21f x f ==-，()()min 23
55
f x f ==-
. 【点睛】
利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤. 26．（1）4k ≤；（2）k 2≤. 【分析】
（1）解不等式
22
k
≤即得解； （2）化为1≤+k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1
()g x x x
=+，求出函数()g x 的最小值即可. 【详解】
（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则
22
k
≤，所以4k ≤； （2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立， 即1
≤+
k x x
在(0,)x ∈+∞恒成立
令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立 所以k 2≤. 【点睛】
方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.。