2018年高考数学(理)一轮复习第八章第2讲

所以|b＋2|＝4，所以 b＝－6 或 b＝2. 因为点 A 不在直线 x＋2y－3＝0 上， 所以两直线不能重合，所以 b＝2. 法二：在直线 x＋2y－3＝0 上取两点 P1(1，1)、P2(3，0)， 则 P1、P2 关于点 A 的对称点 P′1、P′2 都在直线 ax＋4y＋b＝0 上． 因为易知 P′1(1，－1)、P′2(－1，0)， 所以a－－a4＋＋bb＝＝00， 所以 b＝2.
法二：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点， 所以可设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为 l 与 l3 平行， 所以 3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所 以 λ＝27，所以直线 l 的方程为 3x－4y＋8＝0.
对称问题 [典例引领] 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程； (3)直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
【解】 (1)设 A′(x，y)，由已知
2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可 设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)； (2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且 n≠C)．
1．直线 l 过点(－1，2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则直线
l 的方程是( A )
(2)因为直线 l2 的斜率存在，l1∥l2， 所以直线 l1 的斜率存在． 所以ab＝1－a.① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以 l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.② 联立①②可得 a＝2，b＝－2 或 a＝23，b＝2.
距离公式(高频考点) 距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高 考中经常出现，试题难度不大． 高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离； (2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标．
法二：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点， 所以可设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 因为 l 与 l3 垂直， 所以 3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以 λ＝11， 所以直线 l 的方程为 12x＋9y－18＝0， 即 4x＋3y－6＝0.
设直线 m 与直线 l 的交点为 N， 则由23xx－ －32yy＋ －16＝ ＝00. 得 N(4，3)． 又因为 m′经过点 N(4，3)， 所以由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
(3)设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)， 因为 P′在直线 l 上， 所以 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
AA12≠BB12(A2B2≠0) AA12＝BB12＝CC12(A2B2C2≠0)
已知两直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x ＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值． (1)l1⊥l2，且直线 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)因为 l1⊥l2，所以 a(a－1)－b＝0. 又因为直线 l1 过点(－3，－1)， 所以－3a＋b＋4＝0. 故 a＝2，b＝2.
xy＋＋21×23＝－1 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得x＝－3133所以 y＝143.
A′－3133，143.
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)， 则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 设 M′(a，b)，则 2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0 ba－ －02×23＝－1. 解得 M′163，3103.
第八章 平面解析几何
第2讲 两直线的位置关系
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位 置关系
两条不重合的直 线 l1，l2，斜率分
别为 k1，k2
平行 垂直
斜率的关系
____k_1＝__k_2____
k1 与 k2 都不存在 __k_1_k_2＝__－__1___
k1 与 k2 一个为零、 另一个不存在
将本例(2)中条件“与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直”改为“与 直线 l3：3x－4y＋5＝0 平行”，求此时直线 l 的方程． [解] 法一：由方程组xx－ ＋2y－y＋24＝＝00，，得xy＝＝20，，即 P(0，2)．因 为 l∥l3，所以直线 l 的斜率 k＝34， 所以直线 l 的方程为 y－2＝34x，即 3x－4y＋8＝0.
解得 0≤a≤10，所以 a 的取值范围是[0，10]．
角度三 已知距离求点的坐标
3．P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 点到直线 x－y－1＝0
的距离为 2，则 P 点坐标为( C )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1)
D．(2，1)或(－1，2)
[解析] 设 P 点坐标为(x，5－3x)，则 P 点到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝|x－（5－23x）－1|＝|4x－2 6|＝ 2，所以|2x－3|＝1， 所以 x＝1 或 x＝2. 所以 P 点坐标为(1，2)或(2，－1)．
将其代入 x＋by＝0，得 b＝－12.
5．已知坐标平面内两点 A(x，
2－x)和

B

22，0，那么这两
1
点之间距离的最小值是___2_____．
[解析] 由题意可得两点间的距离
d＝

x－

222＋（
2－x）2＝
小值为12.
2x－3

4Байду номын сангаас
22＋14≥12
，
即最
两条直线平行与垂直
A．1
B． 2
C． 3
D．2
[解析] l1 与 l2 之间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2＝|1－（－2 1）|＝ 2，
故选 B．
3.教材习题改编 已知直线 l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y
＋1＝0 互相平行，则实数 a 的值是( A )
A．－3
B．2
C．－3 或 2
D．3 或－2
(2)依题意知，63＝－a2≠－c1， 解得 a＝－4，c≠－2， 即直线 6x＋ay＋c＝0 可化为 3x－2y＋2c＝0， 又两平行线之间的距离为2 1313， 所以 32＋2c（＋－12）2＝21313，因此 c＝2 或－6.
距离的求法 (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方 程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离 ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．
直线 x＋2y－3＝0 与直线 ax＋4y＋b＝0 关于 点 A(1，0)对称，则 b＝__2______． [解析] 法一：由题知，点 A 不在直线 x＋2y－3＝0 上， 所以两直线平行， 所以－12＝－a4，所以 a＝2. 又点 A 到两直线距离相等， 所以|1－3|＝|2＋b|，
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[典例引领]
(1)已知 A(2，0)，B(0，2)，若点 C 在函数 y＝x2 的图
象上，则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
(2)若两平行直线 3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0 之间的距离为
21313，则 c 的值是_2_或__－__6__．
【解析】 (1)设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 x＋y－2＝0， |AB|＝2 2. 由于△ABC 的面积为 2， 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程12×2 2h＝2，即 h ＝ 2. 由点到直线的距离公式得 2＝|t＋t22－2|， 即|t＋t2－2|＝2，即 t2＋t－2＝2 或者 t2＋t－2＝－2. 因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点 C 有 4 个．
【解析】 (1)当 m＝2 时，代入两直线方程中，易知两直线 平行，即充分性成立．当 l1∥l2 时，显然 m≠0，从而有m2 ＝ m－1，解得 m＝2 或 m＝－1，但当 m＝－1 时，两直线重合， 不合要求，故必要性成立． (2)法一：由方程组xx－ ＋2y－y＋24＝＝00，，得xy＝＝20，， 即 P(0，2)． 因为 l⊥l3，所以直线 l 的斜率 k＝－43， 所以直线 l 的方程为 y－2＝－43x， 即 4x＋3y－6＝0.
[解析] 由直线 l1 与 l2 平行，可得aa（ ×a1＋ ≠12） ，＝2×3解得 a＝－3.
4．若三条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 和 x＋by＝0 相交 于一点，则 b＝_－__12_____．
[解析] 由2xx－＋y－3y＋1＝8＝0 0解得xy＝＝－－21.
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距
点 P1(x1，y1)，P2(x2，
|P1P2|＝
y2)之间的距离
__（__x_2－___x_1）__2_＋__（__y_2_－__y_1_）__2
点 P0(x0，y0)到直线 l： 点线距 Ax＋By＋C＝0 的距
|Ax0＋By0＋C| d＝_____A_2_＋__B__2 _
角度二 已知距离求参数值
2．已知点 P(4，a)到直线 4x－3y－1＝0 的距离不大于 3，则
a 的取值范围是( D )
A．[－10，10]
B．[－10，5]
C．[－5，5]
D．[0，10]
[解析] 由题意得，点 P 到直线的距离为
|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|.
又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，
离
两条平行线 Ax＋By 线线距 ＋C1＝0 与 Ax＋By＋
C2＝0 间的距离
|C1－C2| d＝___A_2_＋__B__2 ___
1．辨明三个易误点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是 否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断， 若直线无斜率，要单独考虑． (2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化 为一般式． (3)在运用两平行直线间的距离公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2时，一定要 注意将两方程中 x，y 的系数化为相同的形式．
A．3x＋2y－1＝0
B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0
D．2x－3y＋8＝0
[解析] 由题意知，直线 l 的斜率是－32，因此直线 l 的方程为
y－2＝－32(x＋1)，即 3x＋2y－1＝0.
2.教材习题改编 已知直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，
则 l1，l2 之间的距离为( B )
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
l1 与 l2 垂直 的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1 与 l2 平行 的充分条件
AA12＝BB12≠CC12(A2B2C2≠0)
l1 与 l2 相交 的充分条件 l1 与 l2 重合 的充分条件
[题点通关] 角度一 求距离 1．已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x－y＝0 和 x ＋ay＝0 上，且线段 AB 的中点为 P(0，1a0)，则线段 AB 的长 为___1_0____． [解析] 依题意，a＝2，P(0，5)，设 A(x，2x)、B(－2y，y)， 故x2－x＋2yy＝＝010，则 A(4，8)、B(－4，2)， 所以|AB|＝ （4＋4）2＋（8－2）2＝10.
[典例引领] (1)设不同直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋ 1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( C ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P， 且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为 _4_x_＋__3_y_－__6_＝__0__．