小学奥数思维训练-最佳策略问题(通用,含答案)

小学奥数思维训练-最佳策略问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．有一堆棋子共有2002粒，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏．甲先取乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取．如果规定取到最后一粒棋子的人为胜者，那么甲应如何制定策略以取胜？
2．某学校资金存款的年利息为10%，积压资金100元，相当于损失了10元．现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤．根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨．而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？
3．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？
4．两个人轮流在国际象棋盘的空格内放入“相”棋（国际象棋盘为8×8的方格棋盘，共有64个格，“相”是国际象棋中的一种棋子，它的走法是沿斜线方向，格数不限，并且在它的行走路线上可攻击其他棋）．一方持黑棋，另一方持白棋．当任何一方放入“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”棋的攻击．谁先无法放入棋子者为输．请问：先放入棋子者是赢是输？
5．这是两人竞赛．方法是：在如图3所示的井字方格内填写符号，先填一方画“○”后填一方画“×”谁能够先使三个“○”或三个“×”排在一条直线上（水平或竖直或成45度角的直线），谁就获胜．那么，为了取胜，第一个“○”应画在哪里？相应地，第一个“×”又应画在哪里？试分析胜负的情况如何？
6．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？
7．三堆火柴分别有2001根、2002根、2003根．甲、乙两人轮流从中取出火柴．规则是：每人每次只能从其中的一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走，可以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根谁就获胜．如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略？
8．有m个减号“－”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“－”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“－”改为加号“+”谁就获胜．如果甲先改，请问甲是否有必胜的策略？
9．甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报．例如，甲报1，乙就接着报2或2、3；而甲也可以报1、2，乙接着报3或3、4．这样连续报下去，谁报出100，谁就获胜．甲要怎样才能获胜？先报还是后报？
10．在黑板上写下数1，2，3，4，…，100，101，甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数．如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜．按此规则，请为甲制定一个必胜策略．
11．有2002个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？
12．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？
13．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车．
14．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？
参考答案：
1．由于2002÷8=250…2，所以一开始甲先取2粒棋子，以后的每一轮，乙如果取a
（1≤a≤7）粒棋子，甲就取（8－a）粒，从而到最后一轮前，只剩下8粒棋子，而轮到乙取，无论乙取几粒棋子，甲都可以将剩下的棋子一次取完，从而获得胜利．
【解析】
【详解】
甲为了能取到最后一粒棋子，必须使得当他取到倒数第二轮时，还有8粒棋子．因为此时轮到乙来取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此无论乙取几粒，甲都可以将剩下的棋子一次取完，从而保证必胜．可见，“8”是个关键数字，一开始甲取的棋子数，应该保证余下的棋子数是8的倍数．往后的每一轮，不管乙取多少粒（1至7粒），甲总可以使自己所取的棋子数和乙所取棋子数和为8，从而将主动权控制在自己手中．这样到了最后一轮，只剩下8粒棋子，迫使乙败，从而甲取胜．
2．花2000元购进20吨的煤最好．
【解析】
【分析】
注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失．因而买多少煤是一个策略问题．根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨．我们比较这三具策略，选择出最佳策略．
【详解】
（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100×10+150×5=1750（元）；当天气转寒时要再购进10吨煤，总共花费了
100×10+200×10=3000（元）．
（2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱
100×5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100×15+200×5=2500（元）．
（3）如果学校在初秋时购买了20吨煤，则当天气正常时积压资金为100×5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100×10=1000（元）．
比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200－100）×10=100×10=1000（元）．第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150－100）×5=50×5=250（元）．第三种策略最大的损失是在天气转暖
的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%，相当于损失了2年的利息，即损失了1000×10%×2=200（元）．
所以最佳策略是花2000元购进20吨的煤，此时可能的损失最小．
3．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟
【解析】
【分析】
煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略．
【详解】
煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。

煎n只饼，需要n分钟．因为，当n 是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了．
4．先放入棋子的人会输
【解析】
【分析】
由“相”棋的特点，每一“相”棋在棋盘上可以控制两条斜路，如图1所示，凡落入这两条斜路上的棋都要受到攻击．双方在放“相”棋时必须避开对方盘的“轴对称性”，我们可以判断，只要后放入者有合适的策略，必定能够取胜．
【详解】
如下图所示，在棋盘上建立一条对称轴（黑粗实线），无论先放棋子的人将棋子放在什么位置，后放棋子的人都可以将棋子放在其对称的位置上，并且不被攻击，这样就能保证：（1）只要先放棋子的人能够在棋盘上放入棋子，后放入棋子的人就一定可以在棋盘上放入
棋子．
（2）后放入的棋子与先放入的棋子在一条水平线上，所以不会受到先放入的棋子的攻击．如此摆放下去，必定是先放入棋子的人找不到放棋的位置，从而认输．
5．第一个“○”应该画在正中的位置，第一个“×”应该画在角上．但是一般情况下，如果双方都掌握了其中的奥秘，此竞赛便成了和局．不过，一般先填的一方稍占优势，后填都有稍有不慎便有可能落败．而若先填的乱填一通，后填的一方又掌握其中的奥秘，便有可能乘机取胜．
【解析】
【分析】
我们来看这九个格子所经过的直线的总数：中心一格——4条；角上一项——3条；边上一格——2条．为了能尽快连成一条直线，先填者必须选择所经过的直线的总数最多的格数，而后填者也要尽量选择所经过的直线总数最多的格数．
【详解】
第一个“○”应该画在正中的位置，第一个“×”应该画在角上．但是一般情况下，如果双方都掌握了其中的奥秘，此竞赛便成了和局．不过，一般先填的一方稍占优势，后填都有稍有不慎便有可能落败．而若先填的乱填一通，后填的一方又掌握其中的奥秘，便有可能乘机取胜．
6．为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟．
【解析】
【分析】
由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少
等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油．
【详解】
为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）．
答：最节省的时间是29分钟．
7．甲先从2001根的那一堆中取走2000根，这样剩下的三堆分别为：1根、2002根、2003根，这是个必输形（两奇一偶并且1+2002=2003）．这样不论后拿人如何拿火柴，必定破坏了必输形的特征，再轮到甲时，甲可以再制造出新的“必输形”，直到出现“1，2，3”情形，从而取得胜利．
【解析】
【分析】
我们首先来看两种特殊的情况：
（1）只有两堆火柴
①若两堆火柴数目相同，那么谁先拿谁就输．因为先拿火柴的人无论选择哪一堆拿走多少根，对方只需要在另一堆拿走相同数量的火柴，总使剩下的两堆火柴的数目一样，最终迫使先拿火柴的人拿光其中的一堆火柴，而他自己就拿光另一堆火柴，即他可以拿到最后一根火柴．
①若两堆火柴的数目不同，那么谁先拿就谁赢．先拿火柴的人只要将较多的一堆火柴中拿走比另一堆多出的火柴，使剩下的两堆火柴数目相同，即将问题转化为①的情形，从而他取胜．
（2）假设三堆火柴的数目分别为1根、2根、3根，这种情形下谁先拿谁就输．因为无论先拿的人如何取火柴，对方都可使之变为上面①的情形．这种情形我们称之为“必输形”．必输形的特点是：两堆为奇数，一堆为偶数，并且一堆奇数与一堆偶数的和为另一堆奇数．
现在回到原题上来，先取的甲要想办法使这三堆火柴形成“必输形”，这样形成之后轮到乙取了，从而甲有必胜的把握．
【详解】
甲先从2001根的那一堆中取走2000根，这样剩下的三堆分别为：1根、2002根、2003根，这是个必输形（两奇一偶并且1+2002=2003）．这样不论后拿人如何拿火柴，必定破坏了必输形的特征，再轮到甲时，甲可以再制造出新的“必输形”，直到出现“1，2，3”情形，从而取得胜利．
8．甲有必胜的策略
【解析】
【分析】
我们先从简单的情况入手来寻找获胜的策略．若m=1，甲必胜；若m=2时，甲可以改相邻的两个减号“－”，也必胜；若m=3，甲可以改第2个减号“－”为“+”，这时剩下的两上减号“－”不相邻且关于加号“+”对称，无率乙改哪一个，甲可以改最后一个，甲必胜；若m=4，甲可以改2、3个关于中间的两个加号“+”对称，无论乙如何改，甲都必胜．依此类推，甲有必胜的策略．
【详解】
甲可以制定下面的策略，从而稳操胜券．
当m是奇数时，甲先将中间的一个“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙将哪一侧的一个或相邻的两个减号“－”改为“+”，甲都可以将另一侧与乙所改的一个或相邻的两个对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必定是最后将减号“－”改为加号“+”的人；当m 是偶数时，甲先将中间的两个减号“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙在哪一侧将一个或相邻的两上减号“－”改为加号“+”，甲都可以选择在另一侧与乙所改的对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必胜．
9．甲必须先报数，并且先报1；以后乙若报1个数，则甲就报2个数，乙若报2个数，甲就报1个数，依次类推，当甲报数“97”后，无论乙如何报数，甲都可以报到数“100”．
【解析】
【详解】
略
10．首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜．
【解析】
【详解】
相邻的两个自然数是互素的，只要利用这一基本知识，甲就能够获胜．首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜．
11．先走者胜．如甲先走，他可以把棋子向前移动3格．以后若乙将棋子向前移动3格，则甲将棋子向前移动6格；若乙将棋子向前移动6格，则甲将棋子向前移动3格，总保持每轮甲、乙共移动棋子格数为9格，由于（2002－1－3）÷222，所以经过222轮，先走者将到达第2002格．
【解析】
【详解】
略
12．先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元
【解析】
【分析】
如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失．
【详解】
最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为
10×156=1560（元）．
13．可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升．
【解析】
【详解】
如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案：
（1）两辆大卡车，则耗油20升；
（2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升；
（3）三辆小卡车，则耗油15升．
综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升．
14．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元．【解析】
【详解】
假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有
，解这个方程可得x=120（公斤），从而
；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）．。