2020-2021学年安庆市太湖县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年安庆市太湖县九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.二次函数y=−(x−1)2−2的最大值是()
A. B. C. 1 D. 2
2.将抛物线y=−3x2向左平移4个单位，得到的解析式是()
A. y=−3x2−4
B. y=−3(x+4)2
C. y=−3(x−4)2
D. y=−3x2+4
3.重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小
王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为37°，接着向大佛走了10米来到B处，再经过一段坡度i=4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C处，此时与大佛的水平距离DH=6.2米(其中点A、B、C、E、F在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上)，请问大佛的高度EF为()(参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)．
A. 15米
B. 16米
C. 17米
D. 18米
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误
的是()
A. abc>0
B. 4ac−b2<0
C. 3a+c>0
D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根
5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点
(x>0)的图象经过边BC的中点E，交AB
C在x轴正半轴上，函数y=k
x
于点D.若四边形ODBC的面积为6，则k的值为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
6.如图，直线a//b//c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和
点D、E、F.若AB=3.BC=5，DF=12，则DE的值为()
A. 9
4
B. 4
C. 9
2
D. 15
2
7.如图，将平行四边形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，
点A、B落在点M处，点C、D落在点N处，若EH=7，EF=24.则边AD的长为()
A. 20
B. 22
C. 24
D. 25
8.⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=
30°，则弦CD的长为()
A. 8cm
B. 4cm
C. 2√15
D. 2√17
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下面五条信息：①c<0；②ab<0；③a−
b+c>0；④2a−3b=0；⑤c−4b>0.你认为其中正确的个数有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
=()
10.如图，在△ABC中，DE//BC，若DE=2，BC=6，则△ADE的周长
△ABC的周长
A. 1
3
B. 1
4
C. 1
6
D. 1
9
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.二次函数y=−x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方
程−x2+2x+k=0的一个解x1=4，另一个解x2=______．
12.五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄
，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为______．金分割点，已知黄金比为√5−1
2
13.在△ABC中，∠C=90°，cosB=√3
，a=√3，则b=______ ．
2
14.已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
15.(1)计算：2sin30°−tan60°+cos245°；
(2)解方程：x(x−4)=8−2x．
16.如图所示，抛物线与直线交于A，B两点．
(1)A点坐标为，B点坐标为。

(2)当自变量x的取值范围为时，的值随x的增大而增大；
(3)当−1x<2时，函数的取值范围为；
(4)当自变量x的取值范围为时，<．
17. 如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且AE
DE =5
3
，CE交BD于点F．
(Ⅰ)若BF=15，求DF的长；
(Ⅱ)如图②，若延长BA和CE交于点P，AB=8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
18. 23.(本题满分9分).如图，已知A(−4,−1)，B(−5,−4)，C(−1,−3)，△ABC经过平移得到的△A′B′C′，
△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为P′(x1+6,y1+4)。

(1)请在图中作出△A′B′C′；
(2)写出点A′、B′、C′的坐标.­
(3)求出△ABC的面积．
四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）
19. 如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中
点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q
在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
(1)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是
否全等？请说明理由；
(2)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存
在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
20. 如图所示，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点
160m处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在
以P为圆心，100m为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影
响．且卡车P与学校A的距离越近，噪声影响越大．若已知重型运输
卡车P沿道路ON方向行驶的速度为15km/ℎ．
(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
21. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠DBC=90°，BD平分∠ADC，连接AC交BD于点O．
(1)如图1，求证：BD2=AD⋅CD；
(2)如图2，若DO=3
2OB，求CD
BC
的值；
(3)如图3，延长DA、CB交于点E，连接EO交AB于点G，若tan∠BCD=1
2
，AE=8，则AG的长为______.(直接写出答案)
x的图象相交于点(4,a)．22. 已知一次函数y1=kx+b的图象经过点(−1,−3).且与正比例函数y2=1
2
(1)求a的值；
(2)求一次函数y1=kx+b的表达式；
(3)请你画出这两个函数的图象，并判断当x取何值时，y1>y2；
(4)求这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积．
23. 已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点
P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．
求证：(1)∠APB=60°；
(2)CM=CN．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：∵二次函数y=−(x−1)2−2，
∴当x=1时，二次函数y=−(x−1)2−2的最大值为−2，
故选A．
2.答案：B
解析：解：将抛物线y=−3x2向左平移4个单位，得到的解析式是y=−3(x+4)2．
故选：B．
根据“左加右减，上加下减”平移规律即可解决．
本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．
3.答案：B
解析：解：过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，
∵斜坡BC的坡度i=4：3，BC=5米，
∴设CM=4x，BM=3x，
∴(4x)2+(3x)2=52，
解得x=1，
∴CM=4米，BM=3米，
由题意可知四边形DHFM和四边形AGNF是矩形，
∴DH=FM=6.2米，
∵AB=10米，
∴AF=GN=AB+BM+MF=10+3+6.2=19.2米，
在Rt△ENG中，∵∠EGN=37°，
∴tan37°=EN
≈0.75，
NG
∴EN=0.75×NG=0.75×19.2=14.4米，
∴EF=EN+NF=14.4+1.6=16米．
故选：B．
过点C作CM⊥BF于点M，过点G作GN⊥EF于点N，设CM=4x，BM=3x，得出(4x)2+(3x)2=52，解得x=1，求出BM=3米，解直角三角形求出EN的长，则可求出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4.答案：C
解析：解：A.∵抛物线开口向下，
∴a<0，
=−1，
∵对称轴为直线x=−b
2a
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc>0，
故A正确；
B.∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，
故B正确；
C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，
∴x=1时，y<0，
即a+b+c<0，
∵b=2a，
∴3a+c<0，
故C错误；
D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，
故D正确．
故选：C．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5.答案：C
解析：解：连接OB、OE，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
(x>0)的图象上，
∵D、E在反比例函数y=k
x
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积，
∵BE=EC，
∴△OCE的面积=△OBE的面积
∵△OCE的面积=1
四边形ODBC的面积=2，
3
∴k=4．
故选：C．
四边形连接OB、OE，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=△OCE的面积=1
3 ODBC的面积，即可求出△OCE的面积，即可得出k的值．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴
|k|，且保持不变．
作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1
2
6.答案：C
解析：解：∵DF=12，∴EF=12−DE，
∵a//b//c，
∴AB
BC =DE
EF
，
即：3
5=DE
12−DE
，
解得：DE=9
2
，故选：C．
由平行线的性质得出AB
BC =DE
EF
，即3
5
=DE
12−DE
，解方程即可得出结果．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
7.答案：D
解析：解：由折叠的性质可得：∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∠DHG=∠GHN，∠BFE=∠EFM，DH=HN，BF=FM，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=1
2
×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴GH//EF，GH=EF，
∴∠GHN=∠EFM=∠BFE=∠DHG，
在△DHG和△BFE中，
{∠B=∠D
∠BFE=∠DHG EF=HG
，
∴△DHG≌△BFE(AAS)，
∴BF=HD，
∴HD=MF，
∴AD=AH+HD=HM+MF=HF，
∵HF=√EH2+EF2=√49+576=25，
∴AD=25，
故选：D．
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．
本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．8.答案：C
解析：解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD=2CM，
∵AE=6cm，EB=2cm，
∴AB=8cm，
∴OC=OB=4cm，
∴OE=4−2=2(cm)，
∵∠CEA=30°，
∴OM=1
2OE=1
2
×2=1(cm)，
∴CM=√OC2−OM2=√42−12=√15，
∴CD=2√15．
故选：C．
先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD=2CM，再根据AE=6cm，EB=2cm，求
出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA=30°，求出OM=1
2OE=1
2
×2=1，根据CM=√OC2−OM2，
求出CM，最后根据CD=2CM即可得出答案．
此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．
9.答案：D
解析：解：∵抛物线开口方向向上，
∴a>0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c<0，
∵−b
2a =1
3
>0，
∴2a=−3b，
∵a>0，
∴b<0，
2a−3b>0，
∴ab<0，
由此看来①②是正确的，而④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，
而点(−1,a−b+c)在第二象限，
∴③a−b+c>0是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，而点(2,c−4b)在第一象限，
∴⑤c−4b>0正确．
其中正确信息的有①②③⑤．
故选：D．
观察图象易得a>0，−b
2a =1
3
>0，所以b<0，2a−3b>0，因此ab<0，由此可以判定①②是
正确的，而④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，由点(−1,a−b+c)在第二象限可以判定a−b+c>0③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，由点(2,c−4b)在第一象限可以判定c−4b>0⑤是正确的．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，以及从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是熟练掌握并应用二次函数的图象和性质．
10.答案：A
解析：解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的周长△ABC的周长=DE
BC
=1
3
，
故选：A．
根据相似三角形的判定以及相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．11.答案：−2
解析：解：(4,0)关于x=1的对称点是(−2,0)，
则方程的另一个解是x=−2．
故答案是：−2．
求出(4,0)关于x=1的对称点，对称点的横坐标就是方程的解．
本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是关键．
12.答案：10√5−20
解析：解：∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=√5−1
2AB=√5−1，BC=3−√5
2
AB=3−√5，
∴CD=BD−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，∴五边形CDEFG的周长=5(2√5−4)=10√5−20．故答案为10√5−20．
根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=√5−1
2AB，BC=3−√5
2
AB，
再根据CD=BD−BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
13.答案：1
解析：解：∵∠C=90°，cosB=√3
2
，
∴B=30°，
∵a=√3，
tanB=b
a =√3
3
，
∴b=1．
根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解．
此题考查三角函数的定义及应用．
14.答案：12
5
解析：解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，∴BC=√AB2−AC2 =√132−52 =12．
∴tanA=BC
AC =12
5
．
先根据勾股定理求出BC的长，再由直角三角形中锐角三角函数的定义解答．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．
15.答案：解：(1)原式=2×1
2−√3+(√2
2
)2
=1−√3+
1
2
=3
2
−√3；
(2)x(x−4)=8−2x，
解：x(x−4)+2(x−4)=0，
(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
解得：x1=4，x2=−2．
解析：【试题解析】
(1)先将特殊锐角的三角函数值代入，再依次计算乘方、乘法和加减运算可得；
(2)利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
16.答案：
解析：
(2)∵抛物线y1=−x2的开口向下，对称轴是y轴，
∴当x<0时，y1的值随x的增大而增大；
(3)∵−1<0<2，
∴当x=0时，函数值最大y=0，当x=2时，函数值最小y=−4，∴当−1≤x<2时，函数的取值范围是：−4<y≤0；
17.答案：解：(Ⅰ)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE
DE =5
3
，
∴ED
BC =3
8
=DF
BF
，
又∵B F=15，
∴8
3=15
DF
，
∴DF=45
8
；
(Ⅱ)解：能．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB//DC，AB=DC=8，
∴PA
DC =AE
ED
，
∴PA
8=5
3
，
∴PA=40
3
．
解析：(Ⅰ)由DE//BC，可得DE
BC =DF
BF
=3
8
，由此即可解决问题；
(Ⅱ)由PB//DC，可得PA
DC =AE
ED
，可得PA的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.答案：
解析：本题主要考查了用坐标表示平移.熟知平移与坐标的变换规律是解题的关键．
(1)由点P(x1,y1)平移后的对应点为P′(x1+6,y1+4)可得其平移规律为：向右平移6个单位，向上平移4个单位；故把△ABC的各顶点向右平移6个单位，再向上平移4个单位，顺次连接各顶点即为△A′B′C′；
(2)根据各点所在的象限和距离坐标轴的距离得到平移后相应各点的坐标即可；
(3)通过补全法可求得△ABC的面积．
19.答案：解：(1)△BPD与△CQP全等；理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，
则CP=BC−BP=10−4=6cm，
CQ=AC−AQ=12−8=4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD=1
2AB=1
2
×12=6cm，
∴BP=CQ，BD=CP，又∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BPD 和△CQP 中，
BP =CQ ，∠B =∠C ，BD =CP ，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
(2)△CPQ 不存在是等腰三角形；理由如下：
设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，
有BP =2t ，AQ =4t
∴t 的取值范围为0≤t ≤3，
则CP =10−2t ，CQ =12−4t ，
要使△CPQ 是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP =CQ 时，则有10−2t =12−4t
解得：t =1
∴CP =CQ =8cm ，
此时不满足△CPQ 的周长为16cm ，不符合题意，舍去；
②当PQ =PC 时，则有12QC PC =cosC ，可得：t =117 ∴CP =PQ =48
7cm ，CQ =407cm ，
此时不满足△CPQ 的周长为16cm ，不符合题意，舍去；
③当QP =QC 时，则有12
PC QC =cosC ，可得：t =0
∴CQ =PQ =12cm ，CP =10cm ，
此时不满足△CPQ 的周长为16cm ，不符合题意，舍去；
综上所述，△CPQ 不存在是等腰三角形．
解析：(1)经过1秒后，PB =2m ，PC =8m ，CQ =6m ，由已知可得BD =PC ，
BP =CQ ，∠ABC =∠ACB ，即据SAS 可证得△BPD≌△CQP ；
(2)可设点Q 的运动时间为ts △CPQ 是等腰三角形，则可知PB =2tcm ，PC =(10−2t)cm ，CQ =(12−4t)cm ，分三种情形分别求解即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.答案：解：(1)作AD ⊥ON 于D ，
∵∠MON =30°，AO =160m ，
∴AD=1
2
OA=80m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离80m．
(2)如图以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC，
在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√1002−802=60m，
∴BC=120m，
∵重型运输卡车的速度为15千米/时=250米/分钟，
∴重型运输卡车经过BC的时间=120÷250=0.48分钟=28.8秒，
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为28.8秒．
解析：(1)作AD⊥ON于D，求出AD的长即可解决问题．
(2)如图以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间=路程
速度
计算即可．本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21.答案：8
7
解析：(1)证明：如图1，∵∠A=∠DBC=90°，∠ADB=∠BDC，
∴△ADB∽△BDC，
∴AD
BD =BD
CD
，
∴BD2=AD⋅CD．
(2)如图2，作CH//AD，交DB的延长线于点H，则∠H=∠ADB，△AOD∽△COH，∵∠ADB=∠BDC，
∴∠H=∠BDC，
∴CH=CD，
∵∠DBC=90°，
∴BC⊥DH，
∴BH=BD；
设OB=m，则DO=3
2OB=3
2
m，
∴BH=BD=m+3
2m=5
2
m，
∴HO=5
2m+m=7
2
m，
∴AD
CH =DO
HO
=
3
2
m
7
2
m
=3
7
，
∴AD=3
7CH=3
7
CD；
由(1)得，BD2=AD⋅CD，
∴BD2=3
7CD⋅CD=3
7
CD2，
∴BC2=CD2−BD2=CD2−3
7CD2=4
7
CD2，
∴CD2
BC2=CD2
4
7
CD2
=7
4
，
∴CD
BC =√7
2
．
(3)如图3，作CH//AD，交DB的延长线于点H，作OM⊥CD于点M，由(1)得，△ADB∽△BDC，BD2=AD⋅CD，
∴∠ABD=∠BCD，AD
AB =BD
BC
=tan∠BCD=1
2
，
∴AB=2AD，BC=2BD，
∴BD2=AD2+AB2=AD2+(2AD)2=5AD2，∴5AD2=AD⋅CD，
∴CD=5AD；
由(2)得，BH=BD，CH=CD，
∴CH=5AD；
∵△AOD∽△COH，
∴OD
OH =AD
CH
=AD
5AD
=1
5
，
∴OH=5OD，
∴DH=5OD+OD=6OD，
∴BD=1
2
DH=3OD；
由BD2=5AD2，得BD=√5AD，
∵∠OMD=90°，
∴∠MOD=90°−∠BDC=∠BCD=∠ABD，
∴MO OD =BD CD =AD BD =sin∠ABD =AD √5AD =1√5，
∴OD =√5MD ，CD =√5BD ；
设MD =a ，则OD =√5a ，
∴BD =3√5a ，
∴CD =√5×3√5=15a ，
∴CM =15a −a =14a ，
∴DM OM =tan∠MOD =tan∠BCD =12，
∴OM =2DM =2a ，
∵∠DBE =∠DBC =90°，BD =BD ，∠EDB =∠CDB ，
∴△BDE≌△BDC(ASA)，
∴ED =CD ，BE =BC ，
∴BD 垂直平分CE ，
∴OE =OC ，
∵OD =OD ，
∴△EOD≌△COD(SSS)，
∴∠AEG =∠MCO ，
∵∠GAE =∠OMC =180°−90°=90°，
∴AG
AE =OM
CM
=tan∠MCO =2a 14a =17， ∴AG =17AE =17×8=87
， 故答案为：8
7．
(1)证明△ADB∽△BDC ，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式再变形即可证明结论；
(2)过点C 作CH//AD ，交DB 的延长线于点H ，构造与△AOD 相似的三角形，再利用相似比及(1)中的结论推得CD 2与BC 2之间的关系，即可求出CD BC 的值；
(3)在(2)的基础上，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，由tan∠BCD =12及前面得出的结论计算出OM CM 的值，再证明∠AEG =∠MCO ，根据这两个角的正切值相等求出AG 的长．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造相应的全等三角形或相似三角形，此题计算与推理较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
22.答案：解：(1)∵正比例函数y 2=12x 的图象过点(4,a)，
∴a =12×4=2； (2)∵一次函数y 1=kx +b 的图象经过两点(−1,−3)、(4,2)，
∴{−k +b =−34k +b =2，解得{k =1b =−2
， ∴y =x −2．
故所求一次函数的解析式为y 1=x −2；
(3)函数图象如图：
由图象可知，当x >4时，y 1>y 2；
(4)一次函数的表达式为：y 1=x −2，与x 轴交于(2,0)，
∵正比例函数y =1
2x 与一次函数y =x −2的交点为(4,2)，
∴两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积为12×2×2=2．
解析：(1)将点(4,a)代入正比例函数y 2=12x 即可求出a 的值；
(2)根据(1)所求，及一次函数y =kx +b 的图象经过两点(−1,−3)、(4,2)，用待定系数法可求出函数关系式；
(3)根据两点确定一直线画出这两个函数的图象，观察函数图象得到当x >4时，一次函数y 1=kx +b 的图象在正比例函数y 2=12x 的图象的上方，即y 1>y 2；
(4)先确定一次函数与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了一次函数函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积等知识，都是基础知识，需熟练掌握．
23.答案：证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
{AC=BC
∠ACD=∠BCE DC=EC
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CAD=∠CBE．
又∵∠AMC=∠BMP，
∴∠APB=∠ACB=60°；
(2)在△ACM和△BCN中
{∠CAD=∠CBE AC=BC
∠ACB=∠BCD
∴△ACM≌△BCN(ASA)，
∴CM=CN．
解析：(1)根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质、三角形内角和可以求得∠APB的度数；
(3)证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。