高中数学选修2-3优质三段式学案1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
[学习目标]
1.知道“杨辉三角”的特征，并能记住二项式系数规律
2.能够记住二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题
[重点难点]
重点：二项式系数的性质及其应用
难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现
[学法指导]
阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练
[知识链接]
1．二项式定理
2．二项展开式的特征
[学习过程]
知识点一：杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a +b )n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数，你能发现什么规律？ 问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，试根据杨辉三角的特点说说二项式系数有何性质？
对于( a +b ) n 展开式的二项式系数____________________，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{0,1,2，…，n}，令f (r )=__________,定义域为_____. 问题3：当n =6时，作出函数f （r ）的图像，并结合图像分析二项式系数的性质.
知识点二：二项式系数的重要性质
问题1:对称性：二项展开式中，与首末两端“_______”的两项的_____________；即0n C =
n n C ，1n C =1-n n C ，……，r n C =r n n C -.
问题2:增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大. 当2
1+<n k 时，二项式系数是逐渐________，由对称性可知它的后半部分是逐渐_______的，且在中间取到最大值；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数________取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数_____________相等，且同时取得最大值.
问题3:各项二项式系数的和：( a +b )n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n
（1）()n
x +1的展开式为___________________________________； （2）在上式中令1=x 得=+++n n n n C C C 10___________________；
（3） +++=++531420n n n n n n C C C C C C =____________________.
[例题精析]
例1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.
例2．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
例3.在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和．
[课堂达标]
1.在二项式6(12)x -的展开式中，所有项的系数之和为______．
2．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________ .
3.若6(1)mx +＝0a ＋1a x ＋22a x ＋…＋66a x ，且12663a a a +++=，
则实数m 的值为________．
4.已知(1n +的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56
.求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和．
5.设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求：
(1)a 8＋a 7＋…＋a 1；(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.
6．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．
[学后反思]
本节课我最大的收获是
——★ 参 考 答 案 ★——
例1. 解，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是
C 210，第18项是C 110，第19项是C 211
. ∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 211)＝2＋10×92
＋C 312＝274. 例2.解 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.
∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·
(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧
C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6. ∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 例3. 解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.
(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.
(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，
令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，
将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12
，即为所有奇数项系数之和． (4)方法一 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，
令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59.
方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项系数之和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.
课堂达标
1.[[解析]]令x ＝1，得6(12)x -展开式中所有项的系数和为6(12)-＝1．
2.[[解析]] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12
. 令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12
－1＝364. 3.[[解析]]令x ＝0得，0a ＝1.
令x ＝1，则6(1)m +＝0a 12664a a a ++++=，∴m ＋1＝±
2，∴m ＝1或－3. 4.[[解析]]根据题意，设该项为第r ＋1项，则有
11112225226r r r r n n r r r r n n C C r C C --++⎧=⎪⎨=⎪⎩即1153r r n n r r n n C C C C -+⎧=⎪⎨=⎪⎩亦即21!5!!()!3(1)!(1)!n r n n r n r r n r =-⎧⎪⎨=⨯⎪-+--⎩
解得47
r n =⎧⎨=⎩令x ＝1得展开式中所有项的系数和为77(12)32187+==. 所有项的二项式系数和为72128=.
5.解 令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1得a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0＝28.①
(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝28－1.
(2)再令x ＝－1得48＝a 8－a 7＋a 6－a 5＋…＋a 2－a 1＋a 0，②
①＋②得48＋28＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)，所以a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2·47＋27.
6.[解] ⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭
⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165
＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，
从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.。