中考数学创新题型

专题四新题型
考点精要解析
新题型是近几年中考试题的一个考试热点，这类试题取材广泛，题目灵活性较大．
1．试题呈现形式主要有：纯文型(全部用文字展示条件和问题)，图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)，表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)，改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．
2．常见的类型有：规律探索、图形变换与动手操作和阅读理解等．
高频考点过关
考点一：规律探索
例题1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，……，现用等式A M＝(i，j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2013＝( )．
A．(45，77) B．(45，39) C．(32，46) D．(32，23)
答案：C
考点二：图形变换
例题2．对正方形ABCD进行分割，如图(a)所示，
其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，
G分别是OB，O D，E F的中点，沿分化线可以
剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼
出很多图案，图(b)所示就是用其中6块拼
出的“飞机”，若△GOM的面积为1，则
“飞机”的面积为________________．
答案：14
考点三：阅读理解(新定义运算)
例题3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A，B，使
得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点.已知点D(1
2
，
1
2
)，E(0，－2)，F(230)．
(1) 当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是________．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若
直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的
半径r的取值范围
解：(1)①如右图所示，过点E作⊙O的切线，设切点为R，
∵⊙O的半径为l，∴RO＝l，∵EO＝2，∴∠OER＝30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°∴E点是⊙O的关联点．
∵D(1
2
，
1
2
)，E(0，－2)，F(23，0)，∴OF＞EO，DO＜EO．
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，故在点D，E，F中，⊙的关联点是D，E．
②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由右图可知∠APB＝60°，则∠CPB＝30°．
连接BC，则PC＝2BC＝2r，∴若P点为⊙OC的关联点，则需点
P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如下左图所示，点P到原点的距离OP＝2×l＝2，
过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，t an∠OGF＝
23
3 FO
OG
==．
∴∠OGF＝60°，∴OH＝OG sin60°＝3，sin∠OPH＝
3
OH
OP
=.∴∠OPH＝60°，可得点P1与
点G重合．
过点P2作P2M丄x轴于点M，可得∠P2OM＝30°，∴OM＝OP2cos30°＝3．
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，∴0≤m≤3．
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如下右图所示，
即恰好E，F点为⊙K的关联时，则KF＝2KN＝1
2
EF＝2，此时r＝l．
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥l．
中考真题链接
真题1．(日照中考)如下图所示，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是( )
A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1) 真题2．(重庆中考)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )
A．51 B．70 C．76 D．81
真题3．(永州中考)我们知道，一元二次方程x2＝－l没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－l(即方程x2＝－1有一个根为i)；并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i；i2＝－1，i3＝i2•i＝(－l) •i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1.从而对任意正整数n，我们可得到i4n＋1＝(i) 4n•i＝(i4)n•i＝i，同理可得i4n＋2＝－l，i4n＋3＝—i，i4n＝l，那么，i＋i2＋i3＋i4＋…
＋i2012＋i2013的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．i
真题4．(菏泽中考)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫作该平面图形的“面线.“面线”被这个平面图形截得的线段叫作该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________ (写出1个即可)．
真题5．(扬州中考)如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d(n)，由定义可知:10b＝n与b＝d(n)所表示的b，n两个量之间的同一关系．
1．根据劳格数的定义，填空d(10) ＝ ______，d(10－2)＝_________；
2．劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d(mn) ＝d(m)＋d(n)，d(m
n
)＝d(m)－d(n).
根据运算性质，填空：() ()
3
d a
d a
＝_____________(a为正数)，若d(2)＝0.3010，则d(4)＝_______，d(5)＝_________，d(0.08)＝__________．
(3)下表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由
并改正．
真题6．(绍兴中考)如下图所示，矩形ABCD中，AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2……，第n次平移将矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n (n＞2)．
⑴求AB1和AB2的长；
⑵若AB n长为56，求n．
真题7．(台州中考)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
(2)如图(a)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A 3
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
(3)如图(b)，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求a
s
的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
(4)依据(3)的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．
真题8．(宁波中考)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
(1)如图(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：
BD是梯形ABCD的和谐线；
(2)如图(b)，在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC，点A．B．C
均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的
度数．
真题9．(绵阳中考)我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫作三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段的比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)若O是△ABC的重心(如图(a)所示)，连接AO并延长交BC于点D，证明：
2
3 AO
AD
=．
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图(b)所示)，O是AD上一点，且满足
2
3
AO
AD
=，试判断O是
△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(3)若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB，AC相交于G，H(均不与△ABC的顶点
重合)(如图(c )所示)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，
试探究BCHG AGH
S S V 四边形的最大值．
创新思维训练
创新1．△ABC 内部一点P ，若点P 与△ABC 其中两个顶点构成的一个三角形与△ABC 相似，则称点
P 是△ABC 的内相似点．
(1)对于一类特殊的三角形，譬如有一个角为30°的直角三角形，小峰同学说他可以仅利用一次折叠与直尺就可以找出这类三角形的内相似点.你能替小峰同学说明如何寻找这类三角形的内相似点的过程吗？
(2)对于另一类特殊三角形，譬如满足∠A ＜36°，∠B ＝2∠A
的△ABC ，小林同学说她利用两次折叠与直尺也可以找出这
类三角形的内相似点.你能替小林同学说明如何寻找这类三
角形的内相似点的过程吗？
(3)如右图所示，在R t △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝8，将△ABC 折叠一次后点A 恰好与其内相似点重合，求折痕的长度．
若直线l :y kx b =+与抛物线C :2y ax bx c =++只有一个公共点P (x 0,y 0)，那么称直线l 与抛物线C 相切于点P ，此时点P 成为切点，直线l 称为切线，直线l 的方程称为切线方程。

现在有抛物线C :214
y x =。

(1)若点P 1(2,1)为切点，求其对应的切线l 1的方程；
(2)如下左图所示，若在抛物线C 上任取不同于P 1的一点P 2(s ,t )，设其对应的切线l 2与(1)中的切线交于点T (x ,y )，探索T 点的横坐标x 与P 1，P 2的横坐标之间的数量关系，并证明。

当点P 1在抛物线C 上运动时，这一数量关系仍然成立吗？（只需要说明是否成立，无须证明）
(3)在(2)中的图形中，设点P 3(m ,n )（m 在2与s 之间）为抛物线上不同于P 1，P 2的一点，设其对应的切线为l 3，三个切点P 1、P 2、P 3构成的三角形称为切点三角形，三条切线围城的三角形TAB 称为切线三角形。

①如下右图所示，试探究P 1P 2之间的水平距离P 2D 与AB 的水平距离BC 之间的关系，写出结论，并证明。

②试探索切点三角形P1P2P3与切线三角形TAB的面积关系，直接写出结论（不必说明理由）。