苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.1.1

1.1.1棱柱、棱锥和棱台

学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台

.

知识点一棱柱的结构特征

思考观察下列多面体，有什么共同特点？

★★答案★★(1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形.

梳理棱柱的结构特征

名称定义图形及表示相关概念分类

棱柱由一个平面多边

形沿某一方向平

移形成的空间几

何体叫做棱柱

如图可记作：棱柱

ABCDEF—A′B′C′

D′E′F′

底面：平移起止位置的

两个面，侧面：多边形

的边平移所形成的面，

侧棱：相邻侧面的公共

边，

顶点：侧面与底面的公

共顶点

底面为三角

形、四边形、

五边形……

的棱柱分别

称为三棱柱、

四棱柱、五棱

柱……

知识点二棱锥的结构特征

思考观察下列多面体，有什么共同特点？

★★答案★★(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 梳理棱锥的结构特征

名

称

定义图形及表示相关概念分类

棱

锥

当棱柱的一个底

面收缩为一点

时，得到的几何

体叫做棱锥如图可记作：棱锥

S—ABCD

底面(底)：多边形面，

侧面：有公共顶点的

各个三角形面，

侧棱：相邻侧面的公

共边，

顶点：由棱柱的一个

底面收缩而成

按底面多边形的边

数分：三棱锥、四

棱锥、……

知识点三棱台的结构特征

思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？

★★答案★★(1)区别：有两个面相互平行.

(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.

梳理棱台的结构特征

名称定义图形及表示相关概念分类

棱

台

用一个平行于棱锥

底面的平面去截棱

锥，得到两个几何

体，一个仍然是棱

锥，另一个我们称

之为棱台

如图可记作：棱台

ABCD—A′B′C′

D′

上底面：原棱锥的

截面，

下底面：原棱锥的

底面，

侧面：其余各面，

侧棱：相邻侧面的

公共边，

由三棱锥、四棱锥、

五棱锥、……

截得的棱台分别叫

做三棱台、四棱台、

五棱台、……

顶点：侧面与上

(下)底面的公共顶

点

知识点四多面体

思考一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？

★★答案★★多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点.

梳理

类别多面体

定义由一些平面多边形围成的几何体

图形

相关

概念

面：围成多面体的各个多边形，

棱：相邻两个面的公共边，

顶点：棱与棱的公共点

类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征

命题角度1棱柱的结构特征

例1下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是________.

★★答案★★③④

解析①错误，底面可以不是平行四边形；②错误，底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义可知；④正确，被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.

反思与感悟关于棱柱的辨析

(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.

①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.

特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

跟踪训练1关于棱柱，下列说法正确的是__________.(填序号)

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；

③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.

★★答案★★②

解析①不正确，反例如图所示.

②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形.

③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.

命题角度2棱锥、棱台的结构特征

例2(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？

解该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥.

(2)如图所示的多面体是不是棱台？

解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行.即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可.据此，图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.

反思与感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法

(1)举反例法