2015年广西中考数学真题卷含答案解析

2015年南宁市初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
每小题都给出代号为A、B、C、D四个结论,其中只有一个是正确的.
1.3的绝对值是( )
A.3
B.-3
C.1
3D.-1
3
2.如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是( )
3.南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计2016年下半年建成并投入试运营.首条BRT西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为11300米.其中数据11300用科学记数法表示为( )
A.0.113×105
B.1.13×104
C.11.3×103
D.113×102
4.某校男子足球队的年龄分布如条形图所示,则这些队员年龄的众数是( )
A.12
B.13
C.14
D.15
5.如图,一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上,且BC∥DE,则∠CAE等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
6.不等式2x-3<1的解集在数轴上表示为( )
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( )
A.35°
B.40°
C.45°
D.50° 8.下列运算正确的是( )
A.4ab÷2a=2ab
B.(3x 2)3
=9x 6
C.a 3
·a 4
=a 7
D.√6÷√3=2 9.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每个外角等于( ) A.60° B.72° C.90° D.108°
10.如图,已知经过原点的抛物线y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的对称轴为直线x=-1.下列结论中:①ab>0;②a+b+c>0;③当-2<x<0时,y<0.正确的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11.如图,AB 是☉O 的直径,AB=8,点M 在☉O 上,∠MAB=20°,N 是MB
⏜的中点,P 是直径AB 上一动点.若MN=1,则△PMN 周长的最小值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
12.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b 中较大的数,如:max{2,4}=4.按照这个规定,方程max{x,-x}=2x+1x
的解为( )
A.1-√2
B.2-√2
C.1-√2或1+√2
D.1+√2或-1
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.分解因式:ax+ay= .
14.要使分式1
x -1有意义,则字母x 的取值范围是 .
15.一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5.随机摸取一个小球,则取出的小球标号是奇数的概率是 .
16.如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边△ADE,则∠BED 的度数为 °.
17.如图,点A 在双曲线y=
2√3x
(x>0)上,点B 在双曲线y=k
x (x>0)上(点B 在点A 的右侧),且AB ∥x
轴.若四边形OABC 是菱形,且∠AOC=60°,则k= .
18.如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动:第1次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第2次从点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第3次从点A2向左移动9个单位长度到达点A3,……,按照这种移动规律进行下去,第n次移动到达点A n.如果点A n与原点的距离不小于20,那么n的最小值是.
三、解答题(本大题共2小题,每小题满分6分,共12分)
19.计算:20150+(-1)2-2tan45°+√4.
.
20.先化简,再求值:(1+x)(1-x)+x(x+2)-1,其中x=1
2
四、解答题(本大题共2小题,每小题满分8分,共16分)
21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-3,1),C(-1,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2.请在图中画出△A2BC2,并求出线段BC在旋转过程中所扫过的面积.(结果保留π)
22.今年5月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试.为了了解该校九年级(1)班学生的中考体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制出以下不完整的频数分布表和扇形统计图.请根据图表中的信息解答下列问题:
分组分数段(分)频数
A36≤x<412
B41≤x<465
C46≤x<5115
D51≤x<56m
E56≤x<6110
(1)求全班学生人数和m的值;
(2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段;
(3)该班中考体育成绩满分(60分)共有3人,其中男生2人,女生1人,现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流.请用“列表法”或“画树状图法”,求出恰好选到一男一女的概率.
五、解答题(本大题满分8分)
23.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,DC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠DEB=90°,求证:四边形DEBF是矩形.
六、解答题(本大题满分10分)
24.如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上,修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道,设甬道的宽为a米.
图①
(1)用含a的式子表示花圃的面积;
,求此时甬道的宽;
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图②所示.如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过10米,那么甬道宽为多少米时,修建的甬道和花圃的总造价最低?最低总造价为多少元?
图②
七、解答题(本大题满分10分)
25.如图,AB是☉O的直径,C,G是☉O上两点,且AC
⏜=CG⏜.过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA 的延长线于点E,连结BC,交OD于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若OF
FD =2
3
,求∠E的度数;
(3)连结AD,在(2)的条件下,若CD=√3,求AD的长.
八、解答题(本大题满分10分)
26.在平面直角坐标系中,已知A,B是抛物线y=ax2(a>0)上两个不同的动点,其中A在第二象限,B在第一象限.
(1)如图①所示,当直线AB与x轴平行,∠AOB=90°,且AB=2时,求此抛物线的解析式和A,B 两点的横坐标的乘积;
(2)如图②所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠AOB仍为90°时,A,B 两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若直线y=-2x-2分别交直线AB,y轴于点P,C,直线AB交y轴于点D,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
图①图②
答案全解全析：
一、选择题
1.A因为|3|=3,所以选项A正确.故选A.
2.B由题意可知,主视图有两层,上面的一层有一个正方形,在左侧下面的一层有两个正方形.选项B符合.故选B.
3.B11300=1.13×10
4.故选B.
4.C14岁的人数最多,所以众数为14.故选C.
5.A∵DE∥BC,∴∠CAE=∠C=30°.故选A.
6.D∵2x-3<1,∴2x<4,∴x<2.在数轴上表示应为从2画起(空心),向左,选项D符合题意,故选D.
7.A∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC的外
∠ADB=35°.故选A.
角,∴∠C=1
2
8.C4ab÷2a=2b,选项A错误;(3x2)3=27x6,选项B错误;√6÷√3=√2,选项D错误;a3·a4=a7,选项C正确.故选C.
9.B由(n-2)·180°=540°,得n=5,所以每一个外角等于360°
=72°.故选B.
5
<0,所以ab>0,所以①正确;当x=1时,y=a+b+c>0,所以②正10.D因为对称轴为直线x=-b
2a
确;由对称轴可知抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(0,0),所以-2<x<0时,图象在x轴下方,
即y<0,所以③正确.故选D.
11.B△PMN的周长为PM、PN、MN的和,其中MN=1,所以只要PM、PN的和最小即可.如图,取N关于AB的对称点C,连结MC交AB于P,此时PM、PN的和最小,PM、PN的和就是MC的长
⏜的中点,∴∠NOB=20°.∵直径度.连结OM、ON、OC.∵∠MAB=20°,∴∠MOB=40°.∵N为BM
AB⊥CN,∴∠COB=20°.∴∠MOC=60°.∵OM=OC,∴△MOC为等边三角
形.∵AB=8,∴MC=OM=4.∴△PMN的周长的最小值为1+4=5.故选B.
12.D(1)当x>-x,即x>0时,max{x,-x}=x,
2x+1
=x,解这个方程可得x=1±√2.经检验,x=1±√2是原方程的解.∵x>0,∴x=1+√2.
x
(2)当x<-x,即x<0时,max{x,-x}=-x,
2x+1
=-x,解这个方程可得x=-1.经检验,x=-1是原方程的解.
x
综上所述,x=1+√2或x=-1.故选D.
评析本题是新概念学习题,考查的是分类讨论思想与解一元二次方程.属中档题.
二、填空题
13.答案a(x+y)
解析ax+ay=a(x+y).
14.答案x≠1
解析若分式1
有意义,则分母x-1≠0,即x≠1.
x-1
15.答案0.6
解析一共有5个小球,标号是奇数的小球有3个,所以取出的小球标号是奇数的概率是3÷5=0.6.
16.答案45
解析由题意可知,∠BAE=150°,BA=AE,∴∠AEB=15°.∴∠BED=45°.
17.答案 6√3
解析 作AD ⊥x 轴交x 轴于点D,∵∠AOC=60°,∴AD=√3OD,∴可设A(x,√3x). ∵点A 在双曲线y=
2√3
x
(x>0)上,∴x ·√3x=2√3. ∴x 2
=2.∵x>0,∴x=√2.∴A(√2,√6).
∴OA=2√2.∵四边形OABC 是菱形, ∴AB=OA=2√2.
∵AB ∥x 轴,∴B(3√2,√6). ∵点B 在双曲线y=k x
(x>0)上, ∴k=xy=3√2×√6=6√3.
评析 本题考查了反比例函数与菱形的综合应用,需要借助反比例函数关系式求出菱形的边长,再利用菱形的性质求出反比例函数图象上的点的坐标.属中档题. 18.答案 13
解析 根据题意,写出移动后各点所表示的数:
A 1:-2 A 2:4 A 3:-5 A 4:7 A 5:-8 A 6:10 A 7:-11 A 8:13 A 9:-14 A 10:16 A 11:-17 A 12:19 A 13:-20
如果点A n 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是13.
三、解答题
19.解析 原式=1+1-2×1+2(4分) =2.(6分)
20.解析 原式=1-x 2
+x 2
+2x-1(2分) =2x.(4分)
当x=12
时,原式=2×12
=1.(6分)
四、解答题
21.解析 (1)△A 1B 1C 1如图所示.(3分,正确作出一点给1分) (2)△A 2BC 2如图所示.(6分,正确作出一点给1分)
在Rt △ABC 中,AB=2,AC=3, ∴BC=√22+32=√13.(7分) ∵∠CBC 2=90°,
∴S 扇形BCC 2=90π(√13)2360=13π
4
.(8
分)
22.解析 (1)全班学生人数:15÷30%=50(人).(2分) m=50-2-5-15-10=18.(3分)
(2)51≤x<56.(5分)
(3)画树状图或列表如下:
或
男1
男2 女 男1
男2男1
女男1 男2 男1男2
女男2
女
男1女
男2女
(7分)
由图或表可知,所有可能出现的结果共有6种,并且它们出现的可能性相等,“一男一女”的结果有4种,即:男1女,男2女,女男1,女男2. ∴P(一男一女)=2
3
.(8分) 五、解答题
23.证明 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=CB,∠A=∠C.(2分) ∵AE=CF,(3分)
∴△ADE ≌△CBF.(4分)
(2)证法一:∵△ADE ≌△CBF, ∴DE=BF.(5分)
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD.
∵AE=CF,
∴AB -AE=CD-CF.
∴EB=DF.(6分)
∴四边形DEBF 是平行四边形.(7分)
∵∠DEB=90°,
∴▱DEBF 是矩形.(8分)
证法二:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD,AB=CD.(5分)
∵AE=CF,
∴AB -AE=CD-CF.
∴EB=DF.(6分)
∴四边形DEBF 是平行四边形.(7分)
∵∠DEB=90°,
∴▱DEBF 是矩形.(8分)
六、解答题
24.解析 (1)花圃的面积为
(60-2a)(40-2a)平方米或(4a 2-200a+2 400)平方米.(2分)
(2)(60-2a)(40-2a)=60×40×(1-38),(4分)
即a 2-50a+225=0,解得a 1=5,a 2=45(不合题意,舍去).
∴此时甬道的宽为5米.(5分)
(3)∵2≤a ≤10,花圃面积随着甬道宽的增大而减小,
∴800≤x 花圃≤2 016.
由图象可知,当x ≥800时,设y 2=k 2x+b,因为直线y 2=k 2x+b 经过点(800,48 000)与(1 200,62 000),所以
{800k 2+b =48 000,1 200k 2+b =62 000.解得{k 2=35,b =20 000.
∴y 2=35x+20 000.(6分)
当x ≥0时,设y 1=k 1x,因为直线y 1=k 1x 经过点(1 200,48 000),所以1 200k 1=48 000. 解得k 1=40.∴y 1=40x.(7分)
设修建甬道、花圃的总造价为y 元,依题意,得
解法一:y=y 甬道+y 花圃=40(60×40-x 花圃)+35x 花圃+20 000
=40(2 400-4a 2+200a-2 400)+35(4a 2-200a+2 400)+20 000(8分)
=-20a 2+1 000a+104 000=-20(a-25)2+116 500.
∵-20<0,∴当a<25时,y 随a 的增大而增大.(9分)
而2≤a ≤10,∴当a=2时,y 最小=105 920.
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105 920元.(10分) 解法二:y=y 甬道+y 花圃=40(60×40-x 花圃)+35x 花圃+20 000(8分)
=-5x 花圃+116 000.
∵-5<0,∴y 随x 花圃的增大而减小.(9分)
而800≤x 花圃≤2 016,
∴当x花圃=2016时,y最小=105920.
∴当x花圃=2016时,4a2-200a+2400=2016.
解得a1=2,a2=48(不合题意,舍去).
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105920元.(10分)
解法三:y=y甬道+y花圃=40x甬道+35(60×40-x甬道)+20000(8分)
=5x甬道+104000.
∵5>0,∴y随x甬道的增大而增大.(9分)
而800≤x花圃≤2016,
∴384≤x甬道≤1600.
∴当x甬道=384时,y最小=105920.
∴当x甬道=384时,60×40-(4a2-200a+2400)=384.
解得a1=2,a2=48(不合题意,舍去).
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105920元.(10分)
评析本题考查的是一元二次方程与函数的实际应用,需要通过实际问题的情境和函数图象
列出合理的表达式,属较难题.
七、解答题
25.解析(1)证法一:连结半径OC.
⏜=CG⏜,
∵AC
∴∠ABC=∠CBG.(1分)
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠CBG.
∴OC∥BD.(2分)
∵CD⊥BD,
∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.(3分)
证法二:连结半径OC.
⏜=CG⏜,
∵AC
∴∠ABC=∠CBG.(1分)
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠CBG.(2分)
∵CD⊥BD,
∴∠DCB+∠CBG=90°.
∴∠DCB+∠OCB=90°.
∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.(3分)
(2)∵OC ∥BD,
∴△OCF ∽△DBF,△EOC ∽△EBD.(4分,至少写出一对三角形相似给1分)
∴OC BD =OF DF ,OC BD =OE BE
. ∵OF DF =23,
∴OE BE =23.(5分)
设OC=OB=r,OE=x,则
x x+r =23, 解得x=2r.
∴OE=2r.(6分)
在Rt △OEC 中,sin E=OC OE =r 2r =12,
∴∠E=30°.(7分)
(3)∵∠E=30°,CD ⊥BD,
∴∠ABD=60°,∠ABC=∠CBD=30°.
∴BC=2CD=2√3,BD=CD tan30°=3.
解法一:∵OC BD =OF DF =23,
∴OC=2,AB=4.(8分)
连结AG.
∵AB 是☉O 的直径,
∴∠AGB=90°,
∵∠ABD=60°,
∴∠BAG=30°.
∴BG=12AB=2,AG=2√3.(9分)
∴DG=BD -BG=1.
∴AD=√AG 2+DG 2=√(2√3)2+12=√13.(10分)
解法二:连结AC.
∵AB 是☉O 直径,
∴∠ACB=90°.
∴AB=BC cos ∠ABC =2√3cos30°=4.(8分)
过点D 作DM ⊥AB 于点M.
∴DM=BD ·sin 60°=
3√32,BM=BD ·cos 60°=32. ∴AM=AB -BM=4-32=52.(9分)
∴AD=2+AM 2√(3√32)2+(52)2=√13.(10分)
八、解答题
26.解析 (1)∵抛物线y=ax 2
(a>0)关于y 轴对称,AB 与x 轴平行,
∴A,B 关于y 轴对称.
∵∠AOB=90°,AB=2,
∴A(-1,1),B(1,1).(1分)
∴1=a(-1)2,解得a=1.
∴抛物线的解析式为y=x 2.(2分)
∵A(-1,1),B(1,1),
∴A,B 两点的横坐标的乘积为-1.(3分)
(2)过A,B 分别作AG,BH 垂直x 轴于G,H.
由(1)可设A(m,m 2),B(n,n 2),m<0,n>0.(4分)
∵∠AOB=∠AGO=∠BHO=90°,
∴∠AOG+∠BOH=∠AOG+∠OAG=90°.
∴∠BOH=∠OAG.(5分)
∴△AGO ∽△OHB.
∴AG OG =OH BH
.(6分) ∴m 2-m =n n 2,化简得mn=-1.
∴A,B 两点的横坐标的乘积是常数-1.(7分)
(3)解法一:过A,B 分别作AA 1,BB 1垂直y 轴于A 1,B 1.
设A(m,m 2),B(n,n 2),D(0,b),m<0,n>0,b>0.
∵AA 1∥BB 1,
∴△AA 1D ∽△BB 1D.
∴AA 1DA 1=BB 1B 1D ,即-m m 2-b =n
b -n 2,化简得mn=-b. ∵mn=-1,
∴b=1,D(0,1).(8分)
∵∠BPC=∠OCP,C(0,-2),
∴DP=DC=3.
设P(c,-2c-2),过点P 作PQ ⊥y 轴于Q.
∵PQ 2+DQ 2=PD 2,
∴c 2+(-2c-2-1)2=32.(9分)
解得c 1=0(舍去),c 2=-125,
-2c-2=145.
∴P (-125,145).(10分)
解法二:设直线AB:y=kx+b(k ≠0),A(m,m 2),B(n,n 2),m<0,n>0,b>0.
联立得{y =kx +b,y =x 2,
得x 2-kx-b=0,依题意可知m,n 是方程x 2-kx-b=0的两根. ∴m 2-km-b=0,n 2-kn-b=0.
∴nm 2-kmn-bn=0,mn 2-kmn-bm=0.
两式相减,并化简得mn=-b.
∵mn=-1,
∴b=1,D(0,1).(8分)
∵∠BPC=∠OCP,C(0,-2),
∴DP=DC=3.
设P(c,-2c-2),过点P 作PQ ⊥y 轴于Q.
∵PQ 2+DQ 2=PD 2,
∴c 2+(-2c-2-1)2=32.(9分)
解得c 1=0(舍去),c 2=-125,
-2c-2=14.
∴P (-125,145).(10分)
评析 本题考查的是函数图象与三角形的综合应用,需要借助抛物线表示出点的坐标,并借助相似三角形的性质、勾股定理列出方程.属较难题.。