北师大版 高考数学总复习 数列-等差数列的概念及通项公式 名师点悟+思路启迪
高中数学必修五北师大版 等差数列的概念与通项公式 教案
等差数列的概念与通项公式
一、教学目标：
1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认
识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公
式解决实际问题的能力
3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动
与他人合作
交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精
神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：
高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：。
高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 理 北师大版
变式训练1 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝
0，Sm＋1＝3，则m＝( )
B. 2
C．10 解析
D．12 ∵公差 d＝1，S8＝4S4，∴8a1＋ 2 a8＝4×4a21＋a4，
即 2a1＋7d＝4a1＋6d，解得 a1＝12。
∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝129。
答案 B
4．(2016·宜春模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N＋)，则
a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝( )
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝__a_1＋__(_n_－__1_)_d______。 (2)前 n 项和公式：Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d_＝__a_1_＋_2_a_n_n__。 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m) d，(n，m∈N＋)。 (2) 若{an}为等差 数列， 且 k＋l＝ m＋ n， (k， l， m，n ∈ N＋) ，则 ___a_k＋__a_l_＝__am_＋__a_n_____。
B．10 D．14
【解析】 (1)因为 S3＝3a1＋3×23－1d＝3×2＋3×2 2d＝12，所以 d ＝2。所以 a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12。
【答案】 C
(2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零。若a2，a3，a7成 2
等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝___3_____，d＝____－__1__。 【解析】 由题意得2a23a＝1＋aa2·2a＝7，1， 即2aa11＋＋2ad1＋2＝d＝a11＋，d·a1＋6d，
A．120
B．125
C．130
数学北师大版高中必修5等差数列(第1课时：等差数列的概念、通项公式)
例2、（1）求等差数列9，5，1，…第10项；
（2）已知等差数列 中，
求首项 和公差 。
解：（1）
（2）
7（2）盯住基本量，强化方程思想的运用
例3、已知在等差数列 中，
试求出数列的通项公式。
解：设公差为 ，则可建立一个以首项 和公差 为未知数的二元一次方程组，如下：
③老师视具体情况可择讲解：迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式。
7、概念、公式的运用。
7（1）基本运用及其变通、提高
例1：判断下列数列是否为等差数列。
分析：注意等差数列定义运用及变通，若是等差数列，则运用正整数 的任意性，尝试运算求差 为一个常数；否则，只需找出一个反倒，足以说明不是等差数列。
略解：（1） 由 的任意性，此数列是等差数列；
⑥概念:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，称这个数列为等差数列，称此常数为等差数列的公差，通常用字母 表示。对于以上四个等差数列，它们的公差依次是2，-2，- ， 。
3、等差数列通项公式的互动探究
（1）提出问题:对于以上四个等差数列，能不能用通项公式将它们表示出来呢？
提示：写出通项公式 ，即第 项 与其序号 之间的函数关系表达式 ,可根据前三或四项,猜想出一个。
2、过程与方法：通过数学情境与实践活动，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；指导自主学习，猜想确定等差数列通项公式，从而逐步建立等差数列模型。学习运用这一模型，解决一些简单的问题；强化实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到相应等差数列的问题研究，逐步感悟函数思想、特殊性到一般性思想、方程思想、数形结合思想、化归思想、数形结合思想等重要数学思想方法。
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式
令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(111)×1.2=23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
在实际问题中,若一组数依次成等数额增长或下降,则可考虑建立等差数列
探究三
等差数列的实际应用
【例3】 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4
km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的
地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需
模型解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键
问题.
【变式训练3】 在通常情况下,从地面到10 km高空,高度每增加1 km,气温
就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃,5 km高度的气温是17.5 ℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温.
解:用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,
第一章
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及运用.
3.会判断一个数列是不是等差数列.
4.加强数学运算和逻辑推理能力的培养.
自主预习 新知导学
一、等差数列的定义
【问题思考】
解:(1)由题意知
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。
本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。
用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。
假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。
2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。
3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。
4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。
2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。
3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。
4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。
六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。
2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。
总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。
了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。
希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
等差数列的概念及其通项公式 高中数学北师大版选择性必修第二册
4
4
解析：法一：(方程组法)由൞
得൞
解得൞
3
7
7
d=− ，
a7 = − ，
a1 + 6d = − ，
4
4
4
11
4
∴a15＝a1＋(15－1)d＝ ＋14× −
3
4
31
4
＝－ .
7 5
法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－ ＝ ＋4d，解得
4 4
3
d＝－4，
5
3
31
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，1，2，…；
(4)1，2，4，6，8，10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
解析：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
题型二 等差数列的基本量的计算
例 2 (1) 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 已 知 a6 ＝ 12 ， a18 ＝ 36 ， 则2ann ＝
3
解析：由通项公式得：
1
a7＝a1＋(7－1) − ＝8
解得：a1＝10.
3
题型一 等差数列的判断
例1 判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.
解析： (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是
等差数列．
(2)∵an ＋1 －an ＝[(n＋1)2 －(n＋1)]－(n2 － n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是
d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加
d.
斜率
等差数列知识点归纳总结重点
等差数列知识点归纳总结重点等差数列是数学中的一个重要概念，是指数列中任意两项之间的差等于同一个常数的数列。
在学习数学的过程中，我们会遇到许多关于等差数列的问题和应用。
因此，对于等差数列的重要知识点进行归纳总结，有助于我们更好地掌握和应用这一概念。
本文将从等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用等方面进行论述。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两项之间的差等于同一个常数的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示第n项，a₁表示首项，n为正整数，d表示公差。
二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的通项公式是一个重要的公式，通过这个公式我们可以根据首项和公差来求出任意一项的值。
2. 前n项和公式等差数列前n项和的公式是另一个重要的公式，通过这个公式我们可以根据首项、公差和项数来求出前n项的和。
Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示前n项和，a₁表示首项，aₙ表示第n项，n为正整数。
3. 公差与项数的关系在等差数列中，如果已知首项和第n项，那么公差可以通过下面的公式计算：d = (aₙ - a₁) / (n - 1)其中，d表示公差，a₁表示首项，aₙ表示第n项，n为正整数。
三、等差数列的应用等差数列在数学和实际生活中有很多应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数学题在解决一些数学问题时，等差数列的概念常常被用到。
例如，解决找规律、求和等问题时，可以利用等差数列的特性来简化计算过程。
2. 财务分析在财务分析中，等差数列可以用来描述一些财务指标的变化。
例如，某个公司的年利润按照等差数列递增或递减，可以通过等差数列的性质进行分析和预测。
3. 运动训练在一些运动训练中，等差数列也有应用。
例如，按照等差数列的规律进行训练强度的递增，有助于提高运动员的体能和技术水平。
四、总结通过对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用的归纳总结，我们可以更好地理解和应用等差数列这一数学概念。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：等差数列课件北师大版
C正
确;S10-S8=a9+a10=a10=a1+9d=-8d+9d=d,d 正负不一定,故 D 错误.故选 BC.
规律方法 解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通
6. 数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100.求数列{an+bn}
的前100项的和.
解 依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.
又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为100×(20+100)=6 000.
2
研考点 精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
题组(1)(2023·山东烟台高三月考)已知在等差数列{an}中,Sn为其前n项
和,S4=24,S9=99,则a7等于(
A.13
)
B.14 C.15 D.16
(2)(多选)(2023·湖南岳阳高三模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n
项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是(
第六章
第二节 等差数列
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
课标解读 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数
列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与源自次函数的关系.强基础 固本增分
1.2.1等差数列的概念及其通项公式课件高二下学期数学北师大版选择性必修二册
注意： (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去它前 项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数， 否则这个数列不能称为等差数列．
等差数列的概念及其通项公式
课堂小结
1.知识清单： (1)等差数列的相关概念. (2)等差数列的通项公式 2. 方法总结： 等差数列的判定方法：定义法 通项公式的推导：不完全归纳法、累加法 求通项公式的方法：列方程组法
等差数列的概念及其通项公式
课后作业： 完成课本P13课后练习。
等差数列的概念及其通项公式
型号
S
M
L
XL
XXL
XXXL
尺码
38
40
42
44
46
48
38, 40, 42, 44, 46, 48
②
3、全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）
由大至小可排列为
25, 24.5, 24, 23.5, 23, 22.5, 22, 21.5, 21, ③
等差数列的概念及其通项公式
观察下列例子，探讨等差数列特征： 1.北京天坛圜丘坛的地面有石板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈 扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 ①
等差数列的概念及其通项公式
2、S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码如图表：
等差数列知识点总结2024
引言概述：等差数列是高中数学中常见的数列类型，它具有一定的规律性和特征。
在本文中，将详细阐述等差数列的定义、性质以及常见的求和公式和应用。
通过深入的探讨，希望读者能够更好地理解等差数列，并在解题过程中能够更加熟练和灵活地应用。
正文内容：一、等差数列的定义1. 等差数列的概念：等差数列是指由一项到另一项之间公差相等的数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的递推公式：等差数列的递推公式指的是通过前一项求得下一项的关系式，即aₙ₊₁ = aₙ + d。
二、等差数列的性质1. 等差数列的对称性：对于等差数列中的任意两项aₙ和aₙ，有aₙ + aₙ = aₙ₊ₙ。
2. 等差数列的性质：等差数列的任意三项aₙ、aₙ和aₙ，若满足aₙ - aₙ = aₙ - aₙ，则这三项成等差数列。
3. 等差数列的等差中项：等差数列的等差中项指的是等差数列中的两项之和等于中间的项，如aₙ + aₙ = 2aₙ。
4. 等差数列的等差数列和等比数列的关系：若等差数列的首项从1开始，公差为1，则得到的数列为等比数列。
5. 等差数列的性质推论：等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列的首项a₁和末项aₙ求和公式得到，即Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
三、等差数列的求和公式1. 等差数列前n项和的通项公式：等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列的首项a₁和公差d的关系得到，即Sn =(n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
2. 等差数列的常用求和公式：常用的等差数列求和公式有等差数列的前n项和公式和等差数列的末项和首项差的公式。
3. 等差数列的前n项和与末项和的关系：等差数列的前n项和Sn等于首项和末项和之和，即Sn = a₁ + aₙ。
四、等差数列的应用1. 等差数列在数学问题中的运用：等差数列在数学问题中的应用非常广泛，如等差数列求和、等差数列求项、等差数列求公差等。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的概念，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛应用。
了解等差数列的性质和运算规律对于理解数学问题和解题非常有帮助。
本文将对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及常见问题进行总结。
一、等差数列的定义等差数列由一系列有规律的数构成，这些数之间的差值保持不变。
等差数列的全体数可以用以下表示形式来描述：an = a1 + (n - 1)d其中an表示等差数列的第n个数，a1表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
二、等差数列的性质1. 公差等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正、零或负。
当公差为正时，数列递增；当公差为负时，数列递减。
2. 通项公式等差数列的通项公式用来表示数列中任意一项与首项之间的关系。
通项公式可表示为：an = a1 + (n - 1)d3. 前n项和等差数列前n项和表示数列的前n项之和，通常用Sn表示。
前n 项和公式可表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
三、等差数列的运算规律1. 求任意项的值根据通项公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。
已知首项a1、公差d和项数n，可以使用以下公式求得第n项的值：an = a1 + (n - 1)d2. 求前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
具体计算步骤如下：（1）求得第n项an的值；（2）代入前n项和公式，得到Sn的值。
3. 求公差如果已知等差数列的两个相邻项或任意两项的值，可以通过求差的方式计算出公差。
公式如下：d = an - an-1四、等差数列的常见问题1. 求等差数列的第n项的值已知首项a1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算等差数列的第n项的值。
具体计算步骤如下：an = a1 + (n - 1)d2. 求等差数列的前n项和已知首项a1、公差d和项数n，可以使用前n项和公式计算等差数列的前n项和Sn。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第6章 数列 第2节 等差数列
(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(4)数列
也成等差数列,公差为 .
2
(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
奇
(6)若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S 偶-S 奇=nd; =
d=na1+n(n-1)a1=n2a1,
2
所以 − -1 =n 1 -(n-1) 1 = 1 .
所以{ }是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列.
若选②③⇒①
设数列{ }的公差为 d,则 2 − 1 =d,
即 1 + 2 − 1 =d.
∵a2=3a1,∴ 41 − 1 =d,即 d= 1 ,
所以
( 1 + 21 )·21
S21=
=21a11=0.
2
(2)由题得数列{an+bn+cn}是以0为首项、1为公差的等差数列,
故an+bn+cn=0+(n-1)×1=n-1.
1 + 6 + 14 + 19
(3) + + +
5
8
12
15
=
4 10
410
=
19 10
1910
n 的最大值是 6.
7×(7-1)
7a1+
d=7a1+21d=56.
2
因为 a5+a6=22,所以 2a1+9d=22,
71 + 21 = 56,
联立
解得 a1=2,d=2.
等差数列的概念及通项公式
等差数列的概念及通项公式在咱们的数学世界里，等差数列可是个相当重要的角色。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，其中一道大题就是关于等差数列的。
当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，砰砰直跳。
题目是这样的：已知一个等差数列的前三项分别是 3，7，11，求它的通项公式。
我一开始有点懵，脑子像被浆糊糊住了一样。
但我深吸一口气，告诉自己别慌，然后开始回忆老师讲的知识点。
咱们先来说说啥是等差数列。
简单来说，就是一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数就叫公差。
比如说 1，3，5，7，9 这个数列，每一项跟前一项的差都是 2，那 2 就是这个等差数列的公差。
那等差数列的通项公式是啥呢？它是 aₙ = a₁ + (n - 1)d 。
这里的aₙ 表示第 n 项的值，a₁是首项，n 是项数，d 就是公差。
咱们再回到我考试的那道题。
已知前三项是 3，7，11，那公差 d 就是 7 - 3 = 4 。
首项 a₁是 3 。
所以通项公式就是 aₙ = 3 + (n - 1)×4 ，化简一下就是 aₙ = 4n - 1 。
再比如说，有一个等差数列，首项是 5，公差是 3。
那它的第二项就是 5 + 3 = 8 ，第三项就是 5 + 2×3 = 11 ，第四项就是 5 + 3×3 = 14 ，依此类推。
按照通项公式，第 n 项就是 5 + (n - 1)×3 ，整理一下就是3n + 2 。
在实际生活中，等差数列也有不少用处呢。
比如说，你去爬楼梯，每层楼的台阶数都一样，这就是个等差数列。
或者存钱，每个月固定存一笔钱，存的钱数也能构成一个等差数列。
总之，等差数列虽然听起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的概念和通项公式，多做几道题练练手，就能把它拿下！就像我那次考试，虽然一开始有点紧张，但最后还是顺利做出来啦。
所以同学们，别害怕等差数列，跟它好好“打交道”，相信你们一定能行！。
高中数学等差数列2-1等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的性质及应用北师大版选择性必修第二册
知识点 2 等差数列的性质
(1)等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成__等__差__数__列___，那么A叫
a＋b 作a与b的等差中项，A＝___2___.
(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝ 2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at.
[提醒] 在一个等差数列中，从第2项起，每一项an(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项an－1与后一项an＋1的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．
∴a75＝a1＋74d＝1654＋74×145＝24.
方法二：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项， ∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24. 方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d， ∴d＝a6600－ －1a515＝145.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750， ∴5a5＝750， ∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300. 方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750， ∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750， ∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
则aa－－3dd＋aa＋－dd＝＋4a0＋，d＋a＋3d＝28，
a＝7， a＝7， 解得d＝3 或d＝－3， 所以这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70， 则a3＋b3＝___9_0___.
[解析] 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了 等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
[数学]高考基础知识总结：第三章 数列(北师大版)
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[数学]高考基础知识总结：第三章数列（北师大版）[数学]高考基础知识总结：第三章数列（北师大版）知识改变命运，学习创造未来高中数学第三章数列测试内容：序列等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解序列的概念，理解序列的一般术语公式的含义，理解递归公式是给出序列的一种方法，能够根据递归公式写出序列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的一般项公式和前n项及公式，能解决简单的实际问题数列等差数列等距序列的定义等距序列的一般项等距序列的性质等距序列的前n项与等距序列的定义等距序列的一般项等距序列的性质等距序列的前n项与序列的相关概念一般术语序列和函数一般术语序列的定义§03序列知识要点第1页共6页知识改变命运，学习创造未来定义an?1?an?dan?1an?q(q?0)递推公式通项公式中项an?an?1?d；an?am?n?mdan?an?1q；an?amqn?man?a1?(n?1)dan?a1qn?1（a1,q?0）a?an?k?an?k2k?0g??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?n*,n?前和sn?na1?n）（n,k?n*,n?k?0）项sn?n2(a1?an)dn(n?1)2?na1(q?1)?sn??a1?qna1?anq1?(q?2)?1?q1?q重要性质am?an?ap?aq(m,n,p,q?n,m?n?p?q)*am?an?ap?aq(m,n,p,q?n,m?n?p?q)*1.⑴等差、等比数列：定义等差数列{an}为a?p?an?1?an?d(常数）等比数列{an}为g?p?an?1ann?k?q(常数）通项公式求和公式an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dan?a1qn?1?akqsn??d2n(a1?an)2n?(a1?2?na1?)nn(n?1)2dd2?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq?? 1?q?1?q(q?1)(q?1)第2页，共6页知识改变命运，学习成就未来2如果{K}变成A.P（其中kn？N），那么{AK}NN如果{kn}变成等比序列（其中kn？N），那么{AK}变成等比序列。
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作 业
要
点 导
数即可．
学
【解】 (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由
n 的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常
数，所以这个数列不是等差数列．
第13页
第一章 2.1 第一课时
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课
∴数列不是等差数列．
时
作
业
要
(3)∵(3m＋a)－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m
点
导 学
＋2a)＝a，
∴数列是等差数列．
(4)∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，
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第
一
数列
章
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第一章 数 列
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自
主
预
习
§2 等差数列
课
时
要
2．1 等差数列
作 业
点
导 学
第一课时
等差数列的概念及通项公式
第2页
第一章 2.1 第一课时
自 主 预 习 要 点 导 学
第3页
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自主预习
课 时
作
业
第一章 2.1 第一课时
预 习
与 an＋1 的等差中项吗？
提示：a、A、b 成等差数列，当且仅当 A＝a＋2 b(或 2A＝a
课 时 作 业
要
点 导
＋b)．等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项之间的数量关
学
系 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，还可推广为：若 2n＝m＋p，则 2an
＝am＋ap.这是等差数列的一条重要性质.
点 导
(1)若 an－an－1＝d(n≥2，d 为常数)，则{an}是等差数列；
学
(2)若 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，则{an}是等差数列；
(3)形如 a，a＋d，a＋2d，a＋3d，……的数列叫作等差数
列．
第8页
第一章 2.1 第一课时
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自 主
问题探究 2：在等差数列{an}中，当 n≥2 时，an 是 an－1
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学习目标
目标解读
自
主 预
1.理解等差数列的概念，并会用等差数列
习 要 点 导 学
的概念判断一个数列是否为等差数列． 2．探索并掌握等差数列的通项公式的求 法． 3．体会等差数列与一次函数的关系，能 用函数的观点解决等差数列问题． 4．掌握等差中项的定义，并能运用它们
重点：等差数 列的概念． 难点：等差数 列的通项公式 及其运用.
那么 A 叫作a与b的等差中项 ．
第5页
第一章 2.1 第一课时
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自
3．等差数列的判断方法
主
预 习
(1)要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当 n≥2
时，an－an－1＝d(常数) ．
课 时
作
要 点 导
(2)如果 an＋1＝an＋2an＋2对任意的正整数 n 都成立，那么数 业
课 时 作 业
解决问题.
第4页
第一章 2.1 第一课时
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自
主 预
1．等差数列
习
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项
课 时
作
的 差 是 同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列．
业
要
点
导 学
2．等差中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数列，
(1)判断一个数列是等差数列的常用方法
自
主 预
①an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
习
②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
课
时
③an＝kn＋b(k，b 是常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
作 业
要 点
(2)用定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：
点
导 学
(3)求公差时，要注意相邻两项相减的顺序．d＝an＋1－an(n
∈N＋)或者 d＝an－an－1 (n∈N＋且 n≥2)．
第12页
第一章 2.1 第一课时
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判断下列数列是否为等差数列．
自
主 预
(1)an＝3n＋2；
习
(2)an＝n2＋n.
课 时
【思路启迪】
利用等差数列定义，看 an＋1－an 是否为常
学 列{an}是 等差数列
．
a＋b
(3)若 a，A，b 成等差数列，则 A＝ 2 .
第6页
第一章 2.1 第一课时
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自
主 预
4．等差数列的通项公式
习
等差数列的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d
，它的推广通
课 时
要 项公式为 an＝am＋(n－m)d .
作 业
点
导 学
问题探究 1：等差数列的基本特征是什么？你能否从代数
式的角度描述等差数列的定义？
第7页
第一章 2.1 第一课时
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提示：在等差数列的定义中，要强调“从第 2 项起”和
自 主
“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差
预
习 是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒．如 课
时
果用数学符号来描述，可叙述为
作 业
要
导
学
①作差 an＋1－an，将差变形；
②当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差
数列；当 an＋1－an 不是常数，而是与 n 有关的代数式时，数列
{an}不是等差数列．
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第一章 2.1 第一课时
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自
主
预
习
判断下列各组数是否构成等差数列：
课
时
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第一章 2.1 第一课时
自 主 预 习 要 点 导 学
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要点导学
课 时
作
业
第一章 2.1 第一课时
要点一 等差数列的定义及应用
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自
主
预
习
关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面
课
时
(1)如果一个数列，不是从第 2 项起，而是从第 3 项起或第
作 业
要
点 导
4 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数
学
列不是等差数列．
第11页
第一章 2.1 第一课时
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自
主
预 习
(2)一个数列从第 2 项起，每一项与其前一项的差尽管等于
课
常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相 时 作 业
要 同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列．
(1)6,6,6,6；
作 业
要
点 导
(2)cos 0，cos 1，cos 2，cos 3；
学
(3)3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a；
(4)a－1，a＋1，a＋3.
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第一章 2.1 第一课时
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解：(1)∵6－6＝6－6＝6－6＝0，
自
∴数列是等差数列．
主
预 习
(2)∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，