矩阵理论(第三章矩阵的标准型)

100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
D4 ( ) ( 1)3 ( 2)
1 2, 2,3 1, 求得对应的特征向量为
X1 (1,1,1)T , X 2 (2,1,0)T , X3 (0,0,1)T ,
故
1 2 0 P 1 1 0 1 0 1
从而
2 0 0 P 1 AP 0 1 0 0 0 1
( 1)3 , ( 2)
1 1 1 J 1 1 2
初级因子为
Jordan标准形为
例4 设多项式
f ( ) ( 1)3 ( 2) 2 ( 5), g ( ) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3), h( ) ( 1) 2 ( 2)( 3)5
则有最大公因式
( f ( ), g ( ), h( )) ( 1)2 ( 2)
B P 1 AP
第二节 矩阵的约当标准形
1、最大公因式：设f(λ), g(λ)是P上多项式，如果 存在d(λ)满足： （1） d(λ)|f(λ), d(λ)| g(λ)； （2）若有d1(λ)有 d1 (λ)|f(λ), d1(λ)| g(λ)， 则有 d1 (λ)|d(λ). 则称d(λ)是f(λ), g(λ)的一个最大公因式. 以（ f(λ), g(λ) ）表示首项系数为1的最大公因式. 容易得到：（ f(λ), c）=1. （ f(λ), 0）= f(λ).
D1 ( ) (( 1),( 2), c) 1
2 1 1 3
5
D2 ( ) (( 1)2 ,( 1)( 2), 5, c) 1
特征矩阵为
1 2 1 E A 1 3 2 2 3 1 1
Ax x
称λ是A的特征值，x是对应于λ的特征向量。 矩阵的相似：对于n阶矩阵A、B，若存在可逆矩阵P,使
B P 1 AP
称A、B矩阵相似。
2、矩阵对角化：设P=（X1，X2，..Xn）
1 1 2 2 AP P P 1 AP n n 1 2 ( X , X , , X ) ( AX 1 , AX 2 , , AX n ) P 1 1 2 2 n n n
第三章
矩阵的标准形
内容： 理解矩阵的Jordan分解和Jordan标准形的概念， 会求Jordan标准形； 会求 矩阵的Smith标准形，以及 矩阵的不变 因子和初级因子； 重点：矩阵相似于对角阵的条件，标准形， 约当标准形
第一节
矩阵的相似对角形
预备知识：矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值：设A是n×n矩阵，对于数λ满足
1 A 1 2
D1 ( ) (( 1),( 1),( 2)) 1
D2 ( ) (( 1)( 1),( 1)( 2),( 1)( 2)) 1
D3 ( ) ( 1)( 1)( 2)
2 0 0 P 1 A100 P 0 1 0 0 0 1
100 1 2 0 2 0 0 1 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1
( 1),( 1),( 2)
4、Jordan标准形 设 A (aij )nn 的全体初级因子为 ( 1 )m ,,( i )m ,,( s )m .
1 i s
对于每个初级因子构作一个mi阶矩阵（约当块）
i 1 Ji J1 J
3、 Dk(λ)是特征矩阵A(λ)的k级行列式因子，定义 不变因子为
d1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) D ( ) D ( ) D2 ( ) , , d k ( ) k , d n ( ) n D1 ( ) Dk 1 ( ) Dn 1 ( )
初级因子： dk(λ)的不可约因式。 例5的不变因子为
例6
1 2 1 求A 1 3 2 2 3 1 1
的Jordan标准形。
解：特征矩阵为
1级因子，因为 c 2, 3, 1 2级因子，因为存在
1 3 2 3 3
1 2 1 E A 1 3 2 2 3 1 1
D1 ( ) (( 1),( 1),( 2)) 1 d1 ( ) D1 ( ) 1
D2 ( ) (( 1)( 1),( 1)( 2),( 1)( 2)) 1 D2 ( ) d 2 ( ) 1 D3 ( ) ( 1)( 1)( 2) D1 ( ) D3 ( ) d 3 ( ) ( 1)( 1)( 2) D2 ( ) 例5的初级因子为