布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

T

1
1 (H )2
e 2 dH

S0N(d2 T )=S0N(d1) 此处，d1=d2 T
这样，就推导出了欧式看涨期权价格为： C=S0N(d1) KerT N(d2 )

ln( K )
S0
1
1 2 2T

RT
(r

2 2
)T
2
T e dR 2
T
令Z

RT

(r

2 2
)T
，则：
T
KerT ln( K S0 )
1
1 2 2T

RT
(
r

2 2
)T
2
T e dR 2
T
Ke rT
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
准正态分布的随机变量，故 2t 也是一个
随机变量。
由于D =E( 2 ) E( )2 E( 2 ) 1
所以：E( 2t) tE( 2 ) t
再看 2t的方差D 2t t2D 2 ，
是t高阶无穷小，在t 0时，可忽略为0
G x
x

G t
t

1 2
2G x 2
x 2

2G xt
xt

1 2
2G t 2
t
2

....
G x G t 1 2G b2 2t
x
t
2 x2
其余x和t的高阶项全部忽略
• 再看 2t ，很显然，由于 是一个遵循标
从性质2可看出，Z遵循马尔科夫过程。
将时间T分成N等份，则：
NBaidu Nhomakorabea
z(T ) z(0) i t i 1
E z(T )

z(0)

E

N i 1
i
t


z(0)
D z(T
)

D

N i 1
i
t


t
N i 1
D(i )
N t T
dS Sdt Sdz
• 两边同除以S得：
dS dt dz
S
• 可知，在短时间后，证券价格比率的变 化值为：
S t t
S • 也符合正态分布
S ~ (t, t )
S
2、几何布朗运动假设的合理性
a、收益率与价格水平无关 b、收益率波动性与价格水平无关 c、收益既有可合理预期部分，又有不可预测部分，符合
t

1 2
2G x 2
x 2

2G xt
xt

1 2
2G t 2

t
2

....
由于x=a(x,t)t b(x,t) t
故（x）2

a（2 t）2
2ab
2t
3 2

b2
2t
最后一项是t一次项。(简写a(x, t )为a )
• 所以
G


2 2
)T
,

2T
]
此处，为标准正态分布，r为无风险利率。
风险中性概率下T时刻股票价格则为： ST SteRT
在风险中性情况下， p表示风险中性概率， 则欧式看涨期权定价为：
C=Ep[erT max(ST K, 0)]
Ep[erT max(S0eRT K,0)]
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。

1 2
2 f S 2
2S 2 )t
可见，实际上是确定的，不包括随机变量。
因此，组合实际上是一个无风险组合。
在没有套利机会情况下，组合只能获得无风险收益
rt
代入和，得到
( f t

1 2
2 f S 2
2S 2 )t

r(
f

f S
S )t，即
S0
e e
rT RT
ln( K )
S0
1
1 2 2T
RT
(
r

2 2
)T

2
T e dR 2
T
由于Z

RT
(r
2 2
T
)T
，RT

Z
T
(r

2 2
)T
上式 S e e 0 d2
rT
Z
T

(
r

2 2
)T
1 1 Z2 e 2 dZ
第七章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 数学基础知识
• 一、标准布朗运动（或维纳过程）
• 设t代表一个小的时间间隔长度，z代 表变量z在时间t内的变化。如果 z具 有如下两个基本性质，则 z是一个标准
布朗运动（维纳过程）：
• 性质1：z 与 t 的关系为:
z t
其中， N (0,1) ，即标准正态分布中取 的一个随机值。
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
七、无收益资产欧式看跌期权的定价公式
第三节 BS 定价公式的精确度评价

S e d2 0
Z
T

2 2
T
1
1 Z2
e 2 dZ

S0
d2

1
1 (Z2 2Z T 2T )
e2
dZ
=S0
d2

1
1 (Z T )2
e2
dZ

令H=Z T
则上式 S0
d2
三、期权定价的鞅方法
为方便起见，将时间间隔表述为0，T，即原来的T-t就用T表示。
根据前述推理，在标的资产服从dS Sdt Sdz情况下，
根据伊藤引理，有：
ln
ST
ln
S0
~ [(

2 2
)T
,

2T
]
则在风险中性概率下：
R T = ln ST
ln S0
~ [(r
这样， 2t是期望值为t，方差近似为0的
随机变量。故可直接用期望值t近似代替。
• 这样，
G G x G t 1 2G b2 2t
x
t
2 x2

G x
x

G t
t

1 2
2G x 2
b2t

G x
at

bz
G t
t

1 2
性质2：对于任何两个不同时间间隔 t，
z 的值都相互独立。
二、对维纳过程的分析
从性质1可看出：z 服从正态分布，即：
E z E t tE 0
• 方差则为
Dz D t tD t
z的标准差为 t
• 故:
z N (0, t)
,
2G S 2


1 S2
,
G t

0
• 根据伊藤引理：
dG ( 2 )dt dz
2
• 证券价格对数G遵循普通布朗运动,且
ln
ST
ln S
~
[(

2
2
)(T
t), (T
t) 2]
• 4、股票价格服从几何布朗运动后具有的性质：
• 5、百分比收益率与对数收益率
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG

( G x
a

G t

1 2
2G x2
b2
)dt

G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G

G x
x

G t

ln( K
S0
)(
r

12
2
)T

T
1
1 Z2
e 2 dZ

令 ln(S0
K
)

(r

2
2
)T
T
d2
则上式 KerT


d2
1
1 Z2
e 2 dZ

=KerT d2 1
1 Z2
e 2 dZ


=KerT N(d2 )
再来看第一项

2S
2
)t

f Sz
S
• 为了消除 z ，我们可以构建一个包括一
单位衍生证券空头和 f 单位标的证券多 S
头的组合。令 代表该投资组合的价值，
则：
f S f S
• 在 t时间后：
f S f S
• 将前述 f 和S 代入，有：
f S f S

f S
S
( f S
S

f t

1 2
2 f S 2
2S 2 )t
f Sz
S
f（ S t S z） ( f S f 1 2 f 2S 2 )t f S z
S
S
t 2 S 2
S
（ f t
• 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗 运动。
• 四、伊藤过程 （Ito Process） • 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常
数，若把变量x的漂移率和方差率当作变 量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
• 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是 变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方 差率为b2。
现实。 d、正态分布：经验事实证明，股票价格的连续复利收益
率近似地服从正态分布 e、数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是
一个马尔可夫随机过程，从而与弱式EMH 相符。
• 3、证券价格的自然对数变化过程
• 假定dS Sdt Sdz ，令G ln S ，由
于
G S

1 S
2G x 2
b2t

G

x
a

G t

1 2
2G x 2
b2

t

G x
bz
将G、t、z分别换成dG、dt、dz,
就得到伊藤引理。故引理得证。
伊藤引理的运用
• 六、证券价格变化——几何布朗运动 • 1、证券价格的变化过程可以用漂移率为
μ S、方差率为 2S 2 的伊藤过程来表示：

erT

max(S0eRT

K , 0)dp

erT

max(S0eRT

K , 0)
1
1 2 2T

RT
(
r
22
)T

2
T e dR 2
T
显然，当S0eRT
K，即RT
ln( K )时， S0
C=
即：z(T ) N (z(0),T )的正态分布
且，当t 0时，得到Z的极限分布：
dz dt
• 三、普通布朗运动 • 引入两个概念：漂移率和方差率。 • 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1 • 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量 x 的普通布朗 运动
dx adt bdz
ln( K
)
e
rT
(S0
e
RT
K)
S0
1
1 2 2T
RT
(
r

2 2
)T
2
T e dR 2
T
S0
e e
ln( K )
rT RT
S0
1
1 2 2T

RT
(r

2 2
)T
2
T e dR 2
T
KerT
• 6、波动率σ
第二节 B-S-M 期权定价公式
• 一、假设
二、 B-S模型的推导
• 假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz 则S St Sz
• 假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
f
( f S
S
f t

1 2
2 f S 2