BS期权定价模型课件详解精讲

f Sdz
S
f
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )t
f Sz
S
为了消除z，我们可以构建一个包括一单位衍 生证券空头和 单位f 标的证券多头的组合。令
代表 该投资组合的S价值，那么：
f(6.1f5S)
S
由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲 组合消除这个随机过程。
2G x 2
b2 )dt
G x
bdz〔〕
由于 dS Sdt Sdz〔〕
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
(GS6.1S0d)z
六、证券价格自然对数变化过程
令 代入式〔〕，:由于 G ln S
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
表示将来价格变化率符合普通布朗运动，〔描绘运动偏离标注布朗运动的漂移 率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数〕
从〔〕可知，在短时间后，证券价格比
率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
, t, , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
〔二〕风险中性定价原理
B-s微分方程中不包含股票收益率，说明衍生工具自身 的市场价值并不随人们主观的风险偏好有关，因此可 在任何风险偏好下求解该方程，但只有风险中性条件 下才会有任何证券的期望收益率与无风险利率一致， 不过多也不过低奢求，其他偏好过多或者过保守。
2S 2 )t
在没有套利时机的条件下：无风险套利情形：1、可以复制的两个 投资组合将来损益一样，但本钱不同；
2、一个投资组合在任何条件下损益不
rt 表示这样的对冲组合获得的价值不应该
比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行获得的收益是一致的，
低于另一个投资组合，即随即占优；3、 投资组合构建本钱为零，但任何条件 下损益不为零。
标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z的值互相独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得： N
z(T ) z(0) i t
〔〕
i 1
当0时，d我z 们就d可t 以得到极限的标准布
朗运动：
〔〕
〔二〕普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为。
3、远期证券市价st的期望值按风险中 性者要求就是如今的市价s按无风险利 率给予的到期本利就可以了。
4、最终的式子同样表示：衍生品如今 的价格就等于证券如今的市价—到期 执行价的贴现值。在如今的时间点去 比较。
5、这只是期权在如今看来其内在价值 的表达。并没有包含时间价值，时间 价值是表达在随机性质里的。Bs定价 模型的推导和最终结果就包含了随机 过程是包含时间价值的。
4、这里的波动率是指标的资产将来的波动率，而这个显 然是不知道的，只能通过预估得到。
其中，
d1
ln(S
/
X
)
(r
T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/ 2)(T
t)
d1
T t
我们可以从三个角度来理解这个公式的金 融含义：
首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X 的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的 概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期 望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1) 是ST的风险中性期望值的现值。
但后面用了概率论推导方法。
f rS f t S
1
2
2S
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f〔s，t〕,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利时机 的价格；假设不满足此方程的衍生品价格f〔s，t〕也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利时 机。
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，假 设把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t 的函数，我们可以从公式〔〕得到伊藤过程 〔Ito Process〕：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
〕
漂移非常数，正态规律项非常数，都是与时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
二、布朗运动
〔一〕标准布朗运动
设t代表一个小的时间间隔长度，z代表变
量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运
动的z具有两种特征： 特征1：和z 的t 关系满足〔〕：
这是一个按正态规律 集中在起始点的一个 随机运动。
z t 〔〕
其中，代表从标准正态分布〔即均值为0、
标准差为的正态分布〕中取的一个随机 值。
S ~ (t, t )
S
(6.7)
例
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
五、伊藤引理
假设变量x遵循伊藤过程，那么变量x和t
的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
必须至少获得无风险利率。既然已经不
把式〔〕和〔〕代入上式得： 包含随机过程，
那么结果是无风
险确定的， 应该不存在
( f 瞬时无风险套利。 t
1 2
2 f S 2
2S
2
)t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
假设解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解，
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
Bs模型的概率论推导方法
Bs模型的概率论推导方法
关于推导过程：1、这里用的是概率论法，直接解偏微分 方程也可以得到结果。期权的价格是到期日行权后价值的 期望值，因为如今并不知道st是多少。并且认为将来这段 时间st的对数呈正态分布，也即虽然将来是个随机过程， 但是我们认为是能用概率分布描绘的随机过程。这样便可 以用密度函数求解这个期望值了。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗
运动：
b是标准差 〔〕
其中，dax和 ba均dt为 b常dz数，dz遵循标准布朗 运动。普通的布朗运动随时间间隔的增 加，需要加上一个漂移项，表示分开起 始位置的程度〔常数比率〕，而其运动 是正态规律运动。总体是一个叠加运动。
t),
T t]
证券价格的对数变化量服从正态分布，从而知晓st的分布函数
例
设A股票价格的当前值为50元,预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例
请问在例中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 〔Markov Stochastic Process〕来表述。
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
假如证券价格遵循马尔可夫过程，那么其 将来价格的概率分布只取决于该证券如今 的价格。
BS期权定价模型课件详解精讲
第一节 证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛〔Fama〕提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反响是迅速 而准确的，证券价格能完全反响全部信 息；市场竞争使证券价格从一个平衡程 度过渡到另一个平衡程度，而与新信息 相应的价格变动是互相独立的。
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S 2 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
两边同除以S得： 表示将来时间间隔后的证券价格增量变化是符合 漂移和方差率只和目前价格有关系〔线性关系〕 的伊藤随机过程〔即普通布朗运动的晋级版〕。 dS dt dz 〔〕 S
该看涨期权的价值应为元
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
本质是对期权在将来的某一段时间内变为实值的可能性进展定价
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时
〔其现T时值刻为〕c的期er望(T 值t) E为[m：aEx([SmTax(XST,0)〔] X〕,0)]
对数股票价格的分布为：看涨期权价用c，看跌用p表示，根据边界条件带入公
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯 微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得 的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投 资者风险的所有情况。
例子
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要 么是11元，要么是9元。如今我们要找出 一份3个月期协议价格为元的该股票欧式 看涨期权的价值。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式 〔〕也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关 系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价 公式 ：
〔〕 由p于美Xe式r看(T 跌t)N期(权d2与) 看SN涨(期d权1) 之间不存在严密 的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树 和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求 出。
2、如今定的期权价格上限是标的资产价格s，下限是sexp-〔T-t〕X。而bs模型的最终结果是
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 ) 虽然s和x的折现值都被乘以一个小于1的数值，但是可以 数学证明这个c值是大于下限值的。
3、c值大于下限值是因为该模型包含了期望价值的两个分 量，即内在价值s-exp-〔T-t〕X和时间价值，时间价值是因 为将来的时间间隔里标的资产会产生随机波动，而bs模型 已经考虑在内了。
补充：C—期权初始合理价格，是指不存在
其次， N (d1)是复制交易策略中股票的数 量，SN〔d1)就是股票的市值, -e-r(Tt)XN(d2)那么是复制交易策略中负债的价 值。
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 〔Asset-or-noting call option〕多头和 现金或无价值看涨期权〔cash-or-nothing option〕空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现 金或无价值看涨期权空头的价值。
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 〔一〕布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz
那么： S St Sz 〔〕
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，那么：
df
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )dt
ln ST
~ [ln S
(r
2 )(T
2
式。
t),〔T〕 t ]
对式〔〕求解： 用条件概率公式求
c SN (d1) Xer(T t) N (d〔2 )〕
风险中性下的期权价格
1、边界条件表示远期获利最大值也就 是到期市价—执行价
2、那么如今的衍生品价值应该等于最 大值的期望值〔因为并不确定将来怎 样，只能看期望值〕按无风险利率贴 现〔因为是风险中性偏好〕。
, G t
0
这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消
dG ( )dt d〔z 〕 2
除变为简单的服从正态分布的方程。同时也说明之前的假设是要成立 的：证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布。
2
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln STLeabharlann ln S~[(
2 2
)(T
这里表达了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去获得
确定的报酬，且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的，即无套
利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论，无风险组合
在 时间后： 只能获得无风险利率。
t
f f S
S
〔〕
将式〔〕和〔〕代入式〔〕，可得：
〔〕
( f t
1 2
2 f S 2