信号与系统-信号与系统的频域分析

§3.1 周期信号的分解与合成
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用收敛 的正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一 书中。
§3.1 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
周期信号 f t,周期为T1
F () 0 0
F () , j
F () 0 0
说明：
F() F(0) f (t)dt
0
时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直
0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
co sn1t n1
2 0
4 A (n 1, 3, 5,) nπ 0 (n 2, 4, 6,)
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t )
4A π
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
2
( n1 )
)
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数：
Sa(t) sin t t
Sa (0) 1
当 t k (k 1,2,3 时，) Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号 可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系 统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中， 应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面 的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而， 常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为
周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化的图 形。 振幅频谱：所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图； 描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
相位频谱：为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图描述傅氏级数 相位随频率变化的图形。
狄里赫利（Dirichlet）条件
, 基波角频率为
1
2
T1
条件1：在一周期内，有有限个间断点。
条件2：在一周期内，有有限个极大值和极小值。
T
条件3: 在一周期内，信号绝对可积,即
2 T
f (t) d t
2
在满足狄氏条件时，可展成
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
二. 周期信号的复指数级数表示
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成：
f (t)
Fne jn1t
n
其中：
Fn
1 T
T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
系数与三角形式傅立叶级数的关系：
F0 a0
Fn
an
jbn 2
Fn e jn
Fn
an
jbn 2
Fn e jn
其中 Fn 为各次谐波的幅度
则 f (t)ej0t F( 0 )
f
(t) cos 0t
1 [F (
2
0 )
F (
0 )]
图17
频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f (t)cosω0t或f(t)sinω0t 的信号。因为
时-频对称性
若 f (t) F(), 则F(t) 2f () 若 f (t)为偶函数, 则有F(t) 2f ()
2
当T趋于无穷大时， 趋F于n无穷小，若上式两边同乘以T，有
FnT
Fn
2
T
2 T
f (t)e jn1tdt
2
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而
离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn 趋于无穷小量，但
ω)，即
可
望
趋于
有F限n
值 T，且2为一Fn个
连
0
j
即：
et ε(t)
1
j
图12
➢ 符号函数的频谱： 符号函数定义为：
则
1 sgn(t) 1
F () 2 j
(t 0) (t 0)
图13
➢ 阶跃信号：
F () π () 1 j
图14
结论：
f( t )为实偶函数，F( )也为实偶函数； f( t )为奇函数，F( )为纯虚函数； f( t )为非奇非偶函数，F( )为复函数；
n ：n 次谐波初相角
an An cosn
An an2 bn2
n
arct an(bn an
)
bn An sin n
例3.1-1 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0
1 T
T
f (t)dt 0
0
an
2 T
T
2 T
f (t)cosn1tdt
2
频带宽度（带宽）：
2π (rad / s)
f 1 (Hz )
结论： 信号的带宽与信号的持续时间（脉冲宽度）成反比。
3.2.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功 率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期
信号的功率。显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，
H () h(t)ejtdt -
频域卷积定理
f1 (t)
f 2 (t)
1 2π
F1 ( ) * F2 ( )
图 20
时域微分特性
若 f (t) F() 则 f (t) jF()
例如，我们知道 (t) , 利1用时域微分性质显然有
(t) j
此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数，对应于频域中用jω乘f(t)
信号的延时与相位移动（延时特性）
若 f (t) F()
则 f (t t0 ) F()e jt0
因为
F() F() e j()
故
F()e jt0 F( ) ej[()t0 ]
即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。
图16
信号的调制与频谱搬移（调制定理）
若 f (t) F()
(1)
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0
1 T
T
f (t) d t
0
余弦分量的幅度
an
2 T
T 0
f (t) cosn1t d t
正弦分量的幅度
bn
2 T
T 0
f (t) sinn1td t
余弦形式
f (t) a0 An cos(n1t n )
2
n1
An：n次谐波幅度
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
矩形波频谱图
f
(t )
4A π
(sin 1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
4A π
cos(1t
π) 2
1 3
co
s(31t
π) 2
图3
图4
周期信号频谱的特点：
•离散性：频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以 此频谱称为不连续谱或离散谱。 •谐波性：频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含 有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。
•收敛性：频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总 的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
3.2.2 周期矩形脉冲频谱与信号的带宽
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A
f (t)
0
t
2
t
2
则复系数
图5
Fn
1 T
2
Ae jn1t dt
-
2
A
T
sin ( n1
非周期信号的频谱为连续谱； 若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域延续到无限； 信号的能量主要集中在低频分量； 信号的带宽与脉冲宽度成反比，脉冲宽度越窄，其频带越宽。
能量定理
信号f ( t ) 在1电阻上的能量满足
f 2 (t)dt 1 F () 2d
2π
表 3.1 常用傅里叶变换对
1
-
即：
(t) 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的 频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上
是无法实现的。
图3 图10
➢ 直流信号：
1 2π ()
图11
➢ 指数信号：
f (t) et ( 0, t 0)
F ( ) e( j )t dt 1
若 f (t) F() 则 f (at) 1 F ( )
aa
尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系 统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价， 故在实际应用中要权衡考虑。
在尺度变换性质中， 当a=-1时，有
f( t ) F( ω)
时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。 图15
Fn
(nA=n1,2,3….) 2
例3.1-2 对于周期矩形波，试求其指数表示式。
解
Fn

1 T
T
2 -T
f (t)e jn1tdt
2
1 2
(an
jbn )
2A
jn
(n 1,3,5)
图2
F0 a0 0
所以
f (t)
2A e jn1t
n jn
(n 1,3,5)
§3.2 周期信号的频谱
3.2.1 频谱的特点
例如，设有
f (t) 2 S，a(求2tF)(ω )。
因
g
(t
)
Sa
(
2
)
令 = 4，ωt， t ω ，则
4Sa
(
4t 2
)
2g 4
(
)
即
2
Sa (2t )
g4
( )
F ()
说明Sa( )函数（时域无限）对应的频谱是门函数（频域有
限）。
图18
卷积定理
设 f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2
f (t)
Fne jn1t
n
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理，有
§3.3 非周期信号的频谱
傅里叶变换
设一周期信号f(t)，将其展开成复指数形式的傅里叶级数：
f (t)
Fn e jn1t
其复振幅
n
Fn
1 T
T
2 T
f (t)ejn1t dt
y f (t) f (t) h(t)
在频域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］， 则据卷积 性质可知
F[ y f (t)] H( j) F( j)
应用 系统响应的频谱
因
y(t) f (t) h(t)
故
Y () F () H ()
即系统响应的频谱等于输入信号频谱F( )与系统频率特性H ( )的乘积。
则 f1 (t) f2 (t) F1 () F2 ()
例如 则
f (t) gτ (t) gτ (t)
F () Sa( ) Sa( ) 2Sa 2 ( )
2
2
2
图19
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域 方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统的零状态 响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有
续表
§3.4 傅里叶变换的性质与应用
线性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 () 则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2F2 ()
如符号函数
sgn(t) 2 (t) 1 2[π () 1 ] 2π () j
2
j
脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，即可将微分
方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新
的方法。
推广到f(t)的n阶导数， 即
d
n f (t) d tn
(
j )n
F(
j )
时域积分特性
若 f (t) F()
则
t
f ( )d
πF (0) () F () , j
信号与系统的频域分析
学习重点：
• 周期信号频谱的特点； • 非周期信号的频谱函数； • 信号的频带宽度； • 傅氏变换的性质和应用； • 系统的频率特性； • 无失真传输条件； • 采样定理及其应用；
本章目录
§3.1 周期信号的分解与合成 §3.2 周期信号的频谱 §3.3 非周期信号的频谱 §3.4 傅里叶变换的性质 §3.5 周期信号的傅里叶变换 §3.6 连续系统的频域分析 §3.7 取样定理 §3.8 频域分析用于通信系统
续
函
数
，
通
常记
为
F(j
F
(
j
)
lim
T
Fn
2
lim T
T
2 T
2
f (t)e jn1tdt
可得
F ( ) f (t)e jt dt
上式中，F(jω) 称为f( t )的频谱密度函数
反之对f(t)的傅里叶级数展开也可改写为如下形式
f
(t)
Fne jn1t
n
n
Fn
e jn1t
f
(t)
lim
T n
Fn e jn1t
1
1
1
2
F ()e jt d
常用信号的频谱函数
➢ 门函数：
1
g (t) 0
t
2
t
2
F()
2
2
e jt dt
sin(
2
( )
)
Sa
(
2
)
2
图8
矩形脉冲（门函数）的幅度谱和相位谱： 图9
➢ 冲激函数( t )：
F()
(t)ejt dt