尺规作图、投影与视图
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第1题图
牟合方盖 【文化背景】《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面 积之比．魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释中指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方 盖”(垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积)与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之 比，但刘徽没有给出牟合方盖的体积公式，所以也就得不出球体的体积公式．一直到南北朝时，数学家祖 冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积．他们的求法记录在唐代李淳风为《九章算术》作 的注解中，流传至今．
第 3 题答图
投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面上、墙壁上等)得到的影子，叫做物体的投影．
2．平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影．
3．中心投影：由① 同一点
(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
三视图(10 年 7 考)
1．三视图的概念与画法
主视图 从正面(从前向后)观察物体时，看到的图形叫做主视图 三视图 左视图 从侧面(从左向右)观察物体时，看到的图形叫做左视图
点 M，N；
垂直平分线上；
(2)连接 M，N，MN 即为线段 AB 的垂直 两点确定一条直线
平分线
点在直 线上
过一点作已 知直线的垂 线(已知点 P
和直线 l)
点在直 线外
(1)以 P 为圆心，任意长为半径向点 P 两侧
作弧，交直线 l 于 A，B 两点；
等腰三角形“三线合
(2)分别以 A，B 为圆心，大于12AB 长为半 一”；
交 OA，OB 于点 N，M；
三角形全等；
(2)分别以 M，N 为圆心，以大于12MN 长 全等三角形对应角相
为半径作弧，两弧相交于点 P；
等；
(3)作射线 OP，OP 即为所求作的角平分线 两点确定一条直线
(1)分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 长为 到线段两端点距离相
半径，在 AB 两侧作弧，两弧分别相交于 等的点在这条线段的
O′A 于点 M；
全等三角形对应角相
(4)以 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交 等；
步骤(3)中的弧于点 N；
两点确定一条直线
(5)过点 N 作射线 O′B，∠AO′B 即为所
求角
作已知角的平分线 (已知∠AOB)
作线段的垂直平分线 (已知线段 AB)
(1)以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别 三边分别相等的两个
他的研究成果 30 年以后才得以公开.1798～1799 年，蒙日的《画法几何》出版，它第一次系统阐述 了在平面内绘制空间物体的一般方法，由于画法几何在工程中有着广泛的应用，因此画法几何又被称为 “工程师的语言”．蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图，二视图由主视图和俯视图组成．后来根 据实际需要，由二视图发展为今天在工程中广泛使用的三视图． 【中考对接】1.如图，是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( B )
第七章 图形的变化
第26节 尺规作图、投影与视图
[教材链接] 七(上)第四章 P113—P124，P142—P150，八(上)第十三章 P61—P66，
九(下)第二十九章 P86—P111.
尺规作图（10 年 2 考）
要求
作一条线段等于已知线段 (已知线段 a)
图示
步骤
作图原理
(1)作射线 OP；
(2)以 O 为圆心，a 为半径作 圆上的点到圆心的距离等
弧，交射线 OP 于点 A，OA 于半径长
即为所求作的线段
作一个角等于已知角 (已知∠α)
(1)在∠α 上以 O 为圆心，任意长为半径
作弧，分别交∠α 的两边于点 P，Q；
(2)作射线 O′A；
三边分别相等的两个
(3)以 O′为圆心，OP 长为半径作弧，交 三角形全等；
俯视图 从上面(从上往下)观察物体时，看到的图形叫做俯视图 (1)主视图与俯视图长对正，主视图与左视图② 高平齐 ，左视图与俯视图宽相等
视图的 画法 (2)画图时，看得见的轮廓线画成③ 实线
，看不见的轮廓线画成④ 虚线
2.常见几何体的三视图
几何体
主视图 左视图 俯视图
正方体 长方体
圆柱
圆锥 球体 三棱柱 三棱锥
2．如图，利用尺规作图法，在△ABC 的边 AC 上方作∠EAC＝∠ACB(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，∠EAC 即为所求．
第 2 题图
第 2 题答图
3．如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC 各边距离相等(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，点 O 即为所求．
第 3 题图
【中考对接】2.我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两 个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形 成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( C )
第 2 题图
对常见几何体的组合体，在判断其三视图时，要注意分清每一部分的三视图形状，然后根据其摆放位 置及各部分大小决定组合体的具体视图.
3．由三视图还原几何体
4.如图放置的几何体，它的主视图是( A ) 第 4 题图
5．某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是( C )
A．正方体 C．圆柱体
B．长方体 D．圆锥体
径向直线 l 同侧作弧，两弧交于点 M； 两点确定一条直线
(3)连接 PM，则直线 PM 即为所求的垂线
(1)在直线 l 另一侧取点 M；
(2)以 P 为圆心，以 PM 长为半径作弧，交 到线段两端点距离相
直线 l 于 A，B 两点；
等的点在这条线段的
(3)分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 长为 垂直平分线上；
第 5 题图
6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( B )
A．三棱锥 C．圆柱
B．三棱柱 D．长方体
第 6 题图
立体图形的展开与折叠
1．常见几何体的展开图 常见几何体
展开图形式
图示
六个大小相等的⑤ 正方形 正方体
圆柱
两个圆和一个⑥ 矩形
圆锥
一个圆和一个⑦ 扇形
两个⑧ 全等 三棱柱
的三角形和三个矩形
半径作弧，交于点 M 同侧的点 N；
两点确定一条直线
(4)连接 PN，则直线 PN 即为所求的垂线
1.已知：线段 a，b，c，求作三角形 ABC，使 BC＝a，BA＝b，AC＝c(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，三角形 ABC 即为所求．
第 1 题图
第 1 题答图
播放状态点击此箭 头回到相应知识点
2．正方体的展开图 常见展开图类型 一四一型
一三二型 三三型 二二二型 注：相同颜色表示相对的面.
图示
巧记口诀
中间四个面， 上、下各一面
中间三个面， 一、二隔河见 中间没有面， 三、三连一线 中间两个面， 楼梯天天见
1.正方体的表面展开图中不能出现
(“田”字型)和
(“凹”字型)图形；
2．正方体的表面展开图将 6 个正方形分成既不共边也不共点的 3 组，其中每组的 2 个面必是正方体
中相对的面；若出现“
”类型，则另外两面必须在其两侧(在选择题中可依此排除错误选项).
《画法几何》——二视图 【教材链接】人教·九(下)P104. 【文化背景】画法几何是几何学的一个分支，视图是它研究的主要内容，投影理论是它的基础．法国 几何学家加斯帕尔·蒙日(Gaspard Monge)对画法几何的发展有重要贡献.1764 年，蒙日用自制的测量工具 画出家乡城镇的平面图；1765 年，他用画法几何原理绘制了防御工程设计图，但由于军事保密的缘故，
牟合方盖 【文化背景】《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面 积之比．魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释中指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方 盖”(垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积)与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之 比，但刘徽没有给出牟合方盖的体积公式，所以也就得不出球体的体积公式．一直到南北朝时，数学家祖 冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积．他们的求法记录在唐代李淳风为《九章算术》作 的注解中，流传至今．
第 3 题答图
投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面上、墙壁上等)得到的影子，叫做物体的投影．
2．平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影．
3．中心投影：由① 同一点
(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
三视图(10 年 7 考)
1．三视图的概念与画法
主视图 从正面(从前向后)观察物体时，看到的图形叫做主视图 三视图 左视图 从侧面(从左向右)观察物体时，看到的图形叫做左视图
点 M，N；
垂直平分线上；
(2)连接 M，N，MN 即为线段 AB 的垂直 两点确定一条直线
平分线
点在直 线上
过一点作已 知直线的垂 线(已知点 P
和直线 l)
点在直 线外
(1)以 P 为圆心，任意长为半径向点 P 两侧
作弧，交直线 l 于 A，B 两点；
等腰三角形“三线合
(2)分别以 A，B 为圆心，大于12AB 长为半 一”；
交 OA，OB 于点 N，M；
三角形全等；
(2)分别以 M，N 为圆心，以大于12MN 长 全等三角形对应角相
为半径作弧，两弧相交于点 P；
等；
(3)作射线 OP，OP 即为所求作的角平分线 两点确定一条直线
(1)分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 长为 到线段两端点距离相
半径，在 AB 两侧作弧，两弧分别相交于 等的点在这条线段的
O′A 于点 M；
全等三角形对应角相
(4)以 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交 等；
步骤(3)中的弧于点 N；
两点确定一条直线
(5)过点 N 作射线 O′B，∠AO′B 即为所
求角
作已知角的平分线 (已知∠AOB)
作线段的垂直平分线 (已知线段 AB)
(1)以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别 三边分别相等的两个
他的研究成果 30 年以后才得以公开.1798～1799 年，蒙日的《画法几何》出版，它第一次系统阐述 了在平面内绘制空间物体的一般方法，由于画法几何在工程中有着广泛的应用，因此画法几何又被称为 “工程师的语言”．蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图，二视图由主视图和俯视图组成．后来根 据实际需要，由二视图发展为今天在工程中广泛使用的三视图． 【中考对接】1.如图，是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( B )
第七章 图形的变化
第26节 尺规作图、投影与视图
[教材链接] 七(上)第四章 P113—P124，P142—P150，八(上)第十三章 P61—P66，
九(下)第二十九章 P86—P111.
尺规作图（10 年 2 考）
要求
作一条线段等于已知线段 (已知线段 a)
图示
步骤
作图原理
(1)作射线 OP；
(2)以 O 为圆心，a 为半径作 圆上的点到圆心的距离等
弧，交射线 OP 于点 A，OA 于半径长
即为所求作的线段
作一个角等于已知角 (已知∠α)
(1)在∠α 上以 O 为圆心，任意长为半径
作弧，分别交∠α 的两边于点 P，Q；
(2)作射线 O′A；
三边分别相等的两个
(3)以 O′为圆心，OP 长为半径作弧，交 三角形全等；
俯视图 从上面(从上往下)观察物体时，看到的图形叫做俯视图 (1)主视图与俯视图长对正，主视图与左视图② 高平齐 ，左视图与俯视图宽相等
视图的 画法 (2)画图时，看得见的轮廓线画成③ 实线
，看不见的轮廓线画成④ 虚线
2.常见几何体的三视图
几何体
主视图 左视图 俯视图
正方体 长方体
圆柱
圆锥 球体 三棱柱 三棱锥
2．如图，利用尺规作图法，在△ABC 的边 AC 上方作∠EAC＝∠ACB(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，∠EAC 即为所求．
第 2 题图
第 2 题答图
3．如图，已知△ABC，请用尺规作图，使得圆心到△ABC 各边距离相等(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，点 O 即为所求．
第 3 题图
【中考对接】2.我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两 个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形 成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( C )
第 2 题图
对常见几何体的组合体，在判断其三视图时，要注意分清每一部分的三视图形状，然后根据其摆放位 置及各部分大小决定组合体的具体视图.
3．由三视图还原几何体
4.如图放置的几何体，它的主视图是( A ) 第 4 题图
5．某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是( C )
A．正方体 C．圆柱体
B．长方体 D．圆锥体
径向直线 l 同侧作弧，两弧交于点 M； 两点确定一条直线
(3)连接 PM，则直线 PM 即为所求的垂线
(1)在直线 l 另一侧取点 M；
(2)以 P 为圆心，以 PM 长为半径作弧，交 到线段两端点距离相
直线 l 于 A，B 两点；
等的点在这条线段的
(3)分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 长为 垂直平分线上；
第 5 题图
6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( B )
A．三棱锥 C．圆柱
B．三棱柱 D．长方体
第 6 题图
立体图形的展开与折叠
1．常见几何体的展开图 常见几何体
展开图形式
图示
六个大小相等的⑤ 正方形 正方体
圆柱
两个圆和一个⑥ 矩形
圆锥
一个圆和一个⑦ 扇形
两个⑧ 全等 三棱柱
的三角形和三个矩形
半径作弧，交于点 M 同侧的点 N；
两点确定一条直线
(4)连接 PN，则直线 PN 即为所求的垂线
1.已知：线段 a，b，c，求作三角形 ABC，使 BC＝a，BA＝b，AC＝c(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如答图，三角形 ABC 即为所求．
第 1 题图
第 1 题答图
播放状态点击此箭 头回到相应知识点
2．正方体的展开图 常见展开图类型 一四一型
一三二型 三三型 二二二型 注：相同颜色表示相对的面.
图示
巧记口诀
中间四个面， 上、下各一面
中间三个面， 一、二隔河见 中间没有面， 三、三连一线 中间两个面， 楼梯天天见
1.正方体的表面展开图中不能出现
(“田”字型)和
(“凹”字型)图形；
2．正方体的表面展开图将 6 个正方形分成既不共边也不共点的 3 组，其中每组的 2 个面必是正方体
中相对的面；若出现“
”类型，则另外两面必须在其两侧(在选择题中可依此排除错误选项).
《画法几何》——二视图 【教材链接】人教·九(下)P104. 【文化背景】画法几何是几何学的一个分支，视图是它研究的主要内容，投影理论是它的基础．法国 几何学家加斯帕尔·蒙日(Gaspard Monge)对画法几何的发展有重要贡献.1764 年，蒙日用自制的测量工具 画出家乡城镇的平面图；1765 年，他用画法几何原理绘制了防御工程设计图，但由于军事保密的缘故，