等差数列(3)

础
知 识 点
∴d＝－53.
方 法 技 巧
∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635.
令 an≥0 得 n≤13，
课
核 心
即当 n≤12 时，an＞0；n≥14 时，an＜0.
时 限
考 向
∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为
时 检
测
S12＝S13＝12×20＋12×2 11×－53＝130.
【尝试解答】 设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn.由
基 础
已知可得．
知
识 点
2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，
方 法 技 巧
所以 a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，
解得 a1＝4，d＝0 或 a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为
4，公差为 0，或首项为 1，公差为 3.
课
核 心
即 bn＋1＝bn＋2.
时 限
考 向
又 b1＝a2－a1＝1，
时 检
测
所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
菜单
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基
础 知
②由①得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
识 点
即 an＋1－an＝2n－1.
方 法 技 巧
n
n
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
②求 m，k(m，k∈N*)的值，使得 am＋am＋1＋am＋2＋…＋
课
核 am＋k＝65.
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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【解】 ①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将 a1＝1 代入上式解得 d＝2 或 d＝－5.
基 础 知 识 点
方
因为 d＞0，所以 d＝2，Sn＝n2(n∈N*)．
核
最值．②利用等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)
课 时
心
限
考 向
为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
时 检
测
菜单
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基 础 知 识
点 对点训练 6 已知{an}是一个等差数列，且 a2＝1，a5＝－5.
方 法 技 巧
(1)求{an}的通项 an；
时 检
测
a3＝2a2＋23＋3＝13.
菜单
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基
(2)证明：对于任意 n∈N*，
础
知 识 点
∵bn＋1－bn＝an2＋n1＋＋1 3－an2＋n 3＝2n1＋1[(an＋1－2an)－3]
方 法 技 巧
＝2n1＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，
核
∴数列{bn}是首项为a1＋2 3＝－32＋3＝0，公差为 1 的等差
方 法 技 巧
A．10
B．20
C．30
D．40
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝10，S20
＝30，则 S30＝
.
课
核
时
心 考
【答案】 (1)A (2)60
限 时
向
检
测
菜单
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基
础
知
识
点
考向四 [089] 等差数列前 n 项和的最值
方 法 技 巧
测
菜单
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考向三 [088] 等差数列的性质及应用
基 础 知 识 点
(1)在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数
方 法
技
B 列前 11 项和 S11＝( )
巧
A．58
B．88
C．143
D．176
(2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，
(12 分)(2013·浙江高考)在公差为 d 的等差数列
{an}中，已知 a1＝10，且 a1,2a2＋2,5a3 成等比数列．
(1)求 d，an；
课
核
时
心 考
(2)若 d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
限 时
向
检
测
菜单
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基 础 知 识 点
方 法 技
(2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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基 础 知 识 点
【 解 】 (1) 设 {an} 的 公 差 为 d ， 由 已 知 条 件 a1＋d＝1， a1＋4d＝－5，
方 法 技 巧
解出 a1＝3，d＝－2，
所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
核 心
(2)Sn＝na1＋nn2－1d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，
课 时 限
考
时
向
所以 n＝2 时，Sn 取到最大值 4.
检 测
菜单
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基 础 知 识 点
规范解答之八 等差数列的通项与求和问题
方 法
技
————————— [1 个示范例] ——————— 巧
菜单
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基
础
知 识 点
法二 同法一得 d＝－53.
方 法 技 巧
又由 S10＝S15，得 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即 a13＝0.
∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值， 课
核 心
且最大值为 S12＝S13＝130.
时 限
考
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，
又 Sn＝na12＋an＝324，
课
核 心
∴18n＝324，∴n＝18.
时 限
考
时
向
由 a1＋an＝36，n＝18.
检 测
∴a1＋a18＝36，从而 a9＋a10＝a1＋a18＝36.
菜单
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时
向
检
测
菜单
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基 础 知 识 点
规律方法 4 求等差数列前 n 项和的最值常用的方法
方
法
(1)先求 an，再利用aann≥ ＋1≤0 0 或aann≤ ＋1≥0 0 求出其正负转折
技 巧
项，最后利用单调性确定最值．
(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前 n 项和的
a＋b
课
核
4．a、b 的等差中项 A＝__2__.
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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基 础 知 识 点
方
证明{an}为等差数列的方法：
法 技
巧
(1)用定义证明：an－an－1＝d(d 为常数，n≥2)⇔{an}为等
差数列；
(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；
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基 础
第二节 等差数列
知
识
点
方 法 技 巧
[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问
题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证
明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差
核 数的性质解决相应问题．
课 时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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课
核 心
最后 6 项的和为 180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及
时 限
考 向
a9＋a10.
时 检 测
菜单
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【尝试解答】 由题意知 a1＋a2＋…＋a6＝36， ①
基 础 知 识 点
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，
②
方
①＋②得
法
技
巧
法 技
②由①得 am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋ 巧
1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由 m ， k ∈ N* 知 2m ＋ k － 1 ＞ k ＋ 1 ＞ 1 ， 故
2m＋k－1＝13，
课
核 心 考
k＋1＝5，
时 限 时
向
检
所以mk＝＝45.，
限
考
时
向
检
测
菜单
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对点训练 3 设{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn 为其前 n 项
B 基
础
和，若 S10＝S11，则 a1＝(
)
知
识 点
A．18 B．20
C．22
D．24
方 法 技 巧
4．(2013·重庆高考)若 2，a，b，c,9 成等差数列，则 c－a 7
课
核 心 考 向
所以数列的前 n 项和 Sn＝4n 或 Sn＝3n22－n.
时 限 时 检
测
菜单
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基 础 知 识 点
对点训练 2
(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差 d＞0.
方 法 技 巧
设{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
①求 d 及 Sn；
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对点训练 1 (2014·大纲全国卷)数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，
基
an＋2＝2an＋1－an＋2.
础
知 识
①设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
点
方 法 技 巧
②求{an}的通项公式．
【证明】 ①由 an＋2＝2an＋1－an＋2 得
an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
【规范解答】 (1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由 a1 巧
在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，
且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最
大值．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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【尝试解答】 法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
基
∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15×2 14d，
课 时
心
限
考 向
数列．
时 检
测
菜单
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基 础 知 识 点
方 法 技 巧
规律方法 1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式
子 an＋1－an＝d 和 an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须
加上“n≥2”，否则 n＝1 时，a0 无定义．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
方 法
技
C 和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝( )
巧
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)(2013·四川高考)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且 a4
核 为 a2 和 a9 的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前 n 项和．
课 时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
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在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，
方 法 技
且 n∈N*)．
巧
(1)求 a2，a3 的值；
(2)设 bn＝an2＋n 3(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．
核 心
【尝试解答】
(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2)．
课 时 限
考 向
∴a2＝2a1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.
k＝1
k＝1
所以 an＋1－a1＝n2，即 an＋1＝n2＋a1.
课
核
时
心 考
又 a1＝1，所以{an}的通项公式为 an＝n2－2n＋2.
限 时
向
检
测
菜单
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考向二 [087] 等差数列的基本运算
பைடு நூலகம்
基 础 知 识 点
(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项
基
础
一、等差数列
知
识 点
1．定义：___a_n_＋_1－__a_n_＝__d_(常 __数 __)_(_n_∈__N_*_)_．
方 法 技 巧
2．通项公式：a_n_＝__a_1_＋__(n_－__1_)_d_，__a_n_＝__a_m_＋__(n_－__m__)d_.
3．前 n 项和公式：S_n＝ ___n_a_1＋__n__n_－2__1__d＝__n__a_1_2＋__a_n_.__
＝2.
核
5．(2013·广东高考)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝10，则
课 时
心
限
考 向
3a5＋a7＝ 20
.
时 检
测
菜单
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对点训练 (1)已知等差数列{an}的公差为 2，项数是偶
基 础 知 识 点
数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数 列的项数为( )
基 础 知 识 点
规律方法 3
1.在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k，
方 法
技
则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了 巧
这个性质．
2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件
及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解 课
核
时
心 题的突破口．
核
(3)通项法：an 为 n 的一次函数⇔{an}为等差数列；
课 时
心
限
考 向
(4)前 n 项和法：Sn＝An2＋Bn 或 Sn＝na12＋an.
时 检 测
菜单
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基
础
二、等差数列的性质
知
识
点
已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和．
方 法 技 巧
(1)若 m、n、p、q、k 是正整数，且 m＋n＝p＋q＝2k，
则 am＋an＝_a_p＋__a_q_＝_2_a_k_
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_k_d_. 课
核
时
心 考
(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．
限 时
向
检
测
菜单
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考向一 等差数列的判定与证明
基 础 知 识 点